函数的概念与表示（基础+重难点）-2025年高考数学一轮复习（新高考）解析版

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

第06练函数的概念与表示（精练）

明课标要求知练题方向

11,了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.

3,了解简单的分段函数，并能简单应用.

真题风向标

一、填空题

1.（2023・北京•高考真题）己知函数f（x）=4、k）g2X,则/

【答案】1

【分析】根据给定条件，把x代入，利用指数、对数运算计算作答.

【详解】函数/*）=4'+1%孙所以/（；）=4：+1鸣；=2-1=1.

故答案为：1

—丁+2,xW1,

则小出卜

2.（2022•浙江•高考真题）已知函数/（*=〈1若当回时,

x+——1,x>1,

X

I</U）<3,则〃-。的最大值是

【答案】-3+x/3/\/3+3

【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出。的最小值”的最大值即可.

【详解】由已知/（1）=-（；）+2=:,37

28

所以f

当时，由14/（X）43可得|工一/+243,所以一1<工<1,

当工>1时，由可得lWx+'—IK3,所以1<XK2+VL

x

1"（不）43等价于—1二42+石，所以口向0-1,2+百］,

所以的最大值为3+百.

37

故答案为；3+V3.

2o

-av+l,x<a,

3.（2022・北京・高考真题）设函数/（》）二•（一八a若,存在最小值'则〃的一个取值为

的最大值为.

【答案】0（答案不唯一）1

【分析】根据分段函数中的函数产-奴+1的单调性进行分类讨论，可知，〃=。符合条件，。<0不符合条件,

”0时函数F=e+1没有最小值，故/（幻的最小值只能取>=（工-2）2的最小值，根据定义域讨论可知

一a：+120或一/+12（〃一2）~,解得0<«<1.

【详解】解：若a=0时，fM=）・・・/*）*=。；

（x-2）,x>0

若*0时，当时，/（x）=-at+l单调递增，当xfro时，/（x）->-oo,故/（幻没有最小值，不符合题

目要求;

若4>。时,

当x<a时，/(幻=一"+1单调递减，f(x)>f(a)=-a2+1,

0(0<«<2)

当"时，G=｛（s

(a>2)

**»—cr+1>0或—er+1之(a—2)~,

解得0<4«l,

综上可得0«a§；

故答案为：0（答案不唯一），1

4.（2022・北京・高考真题）函数.f（x）=』+Ji二7的定义域是.

x

【答案】（F,0）5。』

【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可;

【详解】解：因为f（x）='+vn,所以解得且户0,

故函数的定义域为（f0）=（05；

故答案为：（­,0）5°』

5.（2021・浙江・高考真题）已知awR,函数八幻=二;二42若/[八"）]=?，则〃=

【答案】2

【分析】由题意结合函数的解析式得到关于，的方程，解方程可得。的值.

【详解】/[/（V6）]=f（6-4）=/（2）=|2-3|+^=3,故〃=2,

故答案为：2.

【A级基础巩固练】

06讲A组2.0

一、单选题

1.（23-24高一下.山西临汾.阶段练习）/（另="^7+勺的定义域为（）

2-x

A.[―2,-KO）B.[—2,2）C.（-2,2]D.（―℃,2]

【答案】B

【分析】

根据具体函数定义域的要求列不等式组求解.

【详解】要使函数六有意义，

4-x2>0

必须满足r"，解得-2。<2,

27W0

函数"力=+白的定义域为[-2,2）.

2-x

故选；B.

2.（23-24高二下•河北承德•开学考试）下列函数中，表示同一函数的是（）

A.〃x)=x,g(x)=J?B./(x)=lgv2,^(x)=21gv

【分析】根据函数的定义列出不等式解得即可.

16-X2>0,J-4<x<4

【详解】根据题意得解得2k7r<x<2k7r+7r\k.eZ)

sinx>0

即1，一乃)50㈤.

故选：D.

5.(23-24高一下广东广州•期中)已知函数=+2了巴若/(2-叫>八孙则实数〃?的取值

2x-x<0

范围是()

A.(-2,1)B.(^o,-))0(2,+co)

C.(f,-2)U(L位)D.(-1,2)

【答案】A

【分析】结合二次函数性质判断函数一("的单调性，再借助单调性求解不等式作答.

【详解】因为)，=/+2户口+1)2-1在［0,+8)上单调递增,

y…2+2%=一(1『+।在SQ)上单调递增,

且f(x)连续不断，可知函数/(“在R上单调递增,

则f(2-〃/)>/(〃。,可得2-〃/>〃z,解得—2<m<1,

所以实数用的取值范围是(-2,1).

故选：A.

6.(23-24高二下•浙江宁波•期中)已知函数"r)的定义域为xwj-4,：),则函数/(丁)的定义域为(

)

L'/

A.D.(-2.2)

【答案】C

【分析】由-4v/<!求解即可

【详解】函数的定义域为工£14；

士，21㈤11

由-4<Y<二，,

422

则函数f(Y)的定义域为

故选：c

7.(23・24高一上•江苏盐城.阶段练习)函数“X)满足2〃X)一/(17)=X,则函数〃X)=()

A.x-2B.竦

3

C.-D.-x+2

3

【答案】B

【分析】由2/(x)-/(l-x)=x可得2/(l-x)-/(x)=l-x,运用解方程组法求解析式即可.

【详解】因为"⑴一川一处川①，所以2f("x)-fa)=lT②,

①x2+②得3f(x)=x+l,即/⑶二年.

故选：B.

8.12024.江苏南通•二模)已知“X)对于任意苍1ywR,都有〃工+封=〃力・/(力，且=则〃4)二

()

A.4B.8C.64D.256

【答案】D

【分析】由题意有/(2x)=F(x),得求值即可.

【详解】由/(x+y)=〃x>〃y),当了=工时，有/(川=尸(力,

由f(£|=2,贝情〃4)=/2(2)=广(|)=/8(£|=28=256.

故选：D

9.(2024高一•全国・专题练习)已知/(f-l)的定义域为[-6,石],则“X)的定义域为()

A.[-2,2]B.[0,2]C.[-1,2]D.[一6,6]

【答案】C

【详解】利用抽象函数定义域的解法即可得解.

【分析】因为/(W-1)的定义域为[-6,6],BP-X/3<X<>/3,则0443,

所以TM4TW2,所以f。)的定义域为

故选：C.

/、-x-2x,x<0

10.(2024.江西南昌•二模)已知"6=।/、八，则不等式/“)<2的解集是()

[log2(x+l),x^0

A.(-oo,2)B.S3)C.[0,3)D.(3,+x))

【答案】B

【分析】分别在xvO/20条件下化简不等式求其解可得结论.

【详解】当x<()时，不等式八刈<2可化为一丁一2工<2,

所以x2+2x+2>0,可得xv();

当了20时，不等式/*)<2可化为10g(1+1)<2,

所以x+l<4,JS.x+1>0,

所以0«x<3,

所以不等式/“)<2的解集是(-8,3),

故选：B.

11.(2024高三•全国•专题练习)己知函数/(1-力=上装“£0),则〃力=()

X

A.7T(X。。)B.

(1)(1)

4,、4,、

C.7―^T("0)D.-~^T(*l)

(1)(x-1)

【答案】B

【分析】利用换元法令代入运算求解即可.

【详解】令/=lr,则X=1T,由于XWO,则

1—(1—7)1/、

可得=厂匚7一1伞工3

(1-)(一)

所以/(6=；~%-1(4工1).

*I)

故选：B.

二、多选题

12.(2024高三•全国.专题练习)(多选)下列各组函数中，表示同一函数的是()

A./x)=elnx,g(x)=x

B.J(x)=x2—2x—1,g(s)=$2—2s-1

。、sin2x

C.g(x)=sinx

D.y(x)=W，g(x)=7?

【答案】BD

【解析】略

24+〃<o

13.（23-24高一上.河南南阳•期末）已知函数/"）=<'x:,若/（月存在最小值，则实数a的可能取

log2x,x>2

值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】CD

【分析】运用指数函数的单调性，求得x<2的/"）的值域，再由对数函数的单调性，讨论对称轴和区间的

关系，可得/*）的值域，由题意列出不等式，求解即可得到所求范围.

【详解】函数函数/（幻=[：+"“：：，

[10g,X,A>2

当XV2时，/。）=2，+〃的范围是（64+“）；

x>2时，/（x）=log2x,/（x）ini,,=1,

由题意/（x）存在最小值，

故选：CD.

2n

14.（23-24高一上•河北保定•期末）已知函数/"）="'"<],则下列命题正确的是（）

-x,x>0

A.%£1</（"的值域为口

B.DaeRJ（x）的值域为R

C.若函数y=ad在（_8,o）上单调递减，则”的取值范围为（0,+。）

D.若/'（X）在R上单调递减，则。的取值范围为[0,+8）

【答案】AC

【分析】由已知结合二次函数及分段函数的值域及单调性依次判断各选项即可得出结果.

【详解】当。>0时，“X）的值域为R,当。W0时，/（X）的值域不为R,A正确，B错误.

若函数.y=ox2在（y,0）上单调递减，则〃的取值范围为（。,+8）,C正确.

若f（"在R上单调递减，则。的取值范围为（（）,+力）,D错误.

故选：AC

三、填空题

Y

15.（23-24高二下.广东汕头•阶段练习）函数/*）=；—的定义域为_____

hix

【答案】且xwl}

【分析】根据函数解析式，建立不等式求解即可.

【详解】要使函数有意义，贝懦K>0且InxwO,

解得X>0且,

所以函数定义域{dx>o且"1}.

故答案为：{Hx>0且4工1}

16.（2024高三・全国•专题练习）设函数若火2）=4,则实数〃的取值范围是_

xx>a

【答案】（一8,21

【详解】

因为f（2）=4,所以2W[a,+8）

17.（2024高三・全国•专题练习）若函数式外的定义域为[0,2],则函数/U—I）的定义域为一

【答案】[1,3]

【详解】

・・・f（x）的定义域为[0,2],0<x-l<2,即1金3・・・函数f（x-l）的定义域为[1,3].

18.（2024・湖北武汉•二模）已知函数〃2x+l）的定义域为卜口），则函数/。-力的定义域为

【答案】（-2,2]

【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.

【详解】由函数/（2x+l）的定义域为[T1）,则有2x+l«T3）,

令l<l-x<3,解得2<x<2.

故答案为：（-2,2].

19.（2024高三•上海・专题练习）若函数>=-2）的值域为{乂丁。2},则实数。的值为一.

人I4

【答案】2

【分析】分离常数得出y=a+g,根据"-2,即可得出该函数值域为{），|），工。},从而得出a的值.

ax+\\-2a

【详解】由y--------a-\---------

"-2,...尸

又该函数的值域为树），工2},

a=2.

故答案为：2.

20.（2024高一•全国・专题练习）若函数丁二1。82（依2+2工+1）的定义域为1^则4的范围为.

【答案】（l，“o）

【分析】

将条件转化为不等式的任意性问题，然后取特殊值得到。的取值范围，再验证该范围下的〃都符合条件.

【详解】由于函数尸1鸣（江+2x+l）的定义域是何加+2力1>0},

故条件即为何OI-2+2A+1>0）=R,这等价于代+2X+1>o对任意实数x成立.

若江+2x+l>0对任意实数%成立，取知〃-2+1>0,即a>l；

若a>l,贝！1对任意实数x都有ar2+2x+l+1->1--=-~~->0>

Va）aaa

故依2+2x+l>0对任意实数”成立.

综上，。的取值范围是（1,+8）.

故答案为：。,+8）.

四、解答题

x-4,

----,x<-1

21.（23-24高一上•广东潮州.期中）己知函数〃x）=[J]g（x）=x2-\.

(1)求”2),g(2)的值;

(2)若f(g(a))=-g,求实数a的值.

【答案】(1)一；，3

⑵i3

【分析】Q)利用函数对应关系代入求解即可；

(2)令g(a)=f,讨论，的范围解方程求解得答案.

x-4」,

------,xK-1

【详解】(1)因为2>-1,且/(6=/，所以八2)==|=一"

=1+23

\+x

因为g*)=x2—l，所以g⑵=22-1=3.

(2)依题意，令g(a)=f,

/-479

若7«-1,则/(g(a))=/Q)=-----=解得，=二>-1,

t94

与/4-1矛盾，舍去；

\_t7

若0-1,则/■(8(。))=/。)=解得/=8>-1,

1+/9

故g(a)=〃2-1=8,解得。=±3,所以实数。的值为±3；

综上所述：。的值为±3.

22.(23-24高一上•湖南衡阳.期末)己知二次函数“可满足/(二1)=2/-7工+6.

(1)求/(X)的解析式.

(2)求“X)在［0,2］上的值域.

【答案】(l)/(x)=2f-3x+l

⑵--,3

.O_

【分析】(1)令贝晨=1+1,利用换元法代入可求得“X)的解析式；

(2)由(1)可得函数/")的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案.

【详解】（1）令x—l=/,贝心=r+1,

/（f）=2（/+l）2-7（/+l）+6=2/2-3/+l,A/（A）=2X2-3X+1.

（2）因为/'（x）=2%2一3%+1=21一（一"，

a「31「2-

所以/（"的图象对称轴为1=*,在。口上递减，在1,2上递增，

•••”•%产《｛|=4,/（力.=〃2）=3,

即f（x）的值域为,"，3.

23.（23-24高一下.河南.开学考试）已知函数满足./（I—x）=l—2d

⑴求/。）的解析式；

⑵求函数g（X）=3/+/⑺在|-4.41上的信域.

【答案】⑴/（加工+以-1

⑵［一5,31］.

【分析】（D利用换元法进行求解即可；

（2）根据二次函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1）令l-x=f,得工=1一3

则f⑺=1-2（1-//=-2t2+4/-I,

故『3的解析式为/（x）=-2X2+4X-1.

（2）由题意得g（幻=3/+/（x）=V+4x-1=（x+2产一5,

函数g（工）的对称轴为x=-2,

所以g（x）在IT，-2］上单调递减，在［-2,4］上单调递增，

所以ga\g（-2）=-5，

gCOg=g（4）=31,

故g。）在［T4］上的值域为［-5,31］.

v*—

24.（23-24高一上.四川宜宾•期中）已知/（》）=<2Y+3'二；

一x+5,2<x<10.

⑴求/-，/V(6))的值;

(2)求满足/(«)=6的实数a的值：

⑶求)=/*)的定义域和值域.

【答案】⑴/出],/(/(6))=6

(2)iz=-l

⑶定义域为(Y』。)，值域为(-5,+8)

【分析】根据自变量所属范围，求分段函数求函数值；根据函数值，求自变量值；确定分段函数的定义域

值域.

【详解】⑴/(y=^J-2xl+3=^>

/(/(6))=/(-6+5)=/(-l)=(-ir-2x(-l)+3=6.

a<210>67>2

⑵由>-2»3=6解得。=-1.

一。+5=6

y=f(x)的定义域为(-00,2JU(2,10)=(-00,10),值域为［2,-KX)U(-5,3)=(-5,-Ko)

25.(22-23高一上•吉林长春•阶段练习)已知函数/⑺在⑵+00)上有定义，且满足/(4+2)=x+2«+l.

⑴求函数的解析式；

(2)若3xe[2,+oo),对Tae[T,l]均有/(X)<〃L2H〃+2成立，求实数〃?的取值范围.

【答案】(1)/3”-2K+1(X之2)

明」)

【分析】(1)换元法和配凑法可求函数解析式.

(2)依题意，/UU<^-2^+2,设,式。)=〃一2卬〃+1,则g(〃)>。在区间内恒成立，用一次函数性质求解.

【详解】(1)/(4+2)=x+2«+l=(6+1/=[(6+2)-1,

又，：6+222,

/./(A)=X2-2x+\(x>2).

(2)3A:e[2,4-oo),对Uae[-1,1]均有/*)<〃?-2。〃?+2成立，

/(A)=/一2x+1"N2)在[2,+00)上单调递增，/(x)min=/(2)=1,

依题意有对Dae[TJ均有1<相-为〃+2成立，

即g(〃)=-2ma+m+\>0在a€[-1,1]时恒成立，

・・・卜.,解得・••实数m的取值范围是

2in+m+\>0A3I3

【B级能力提升练】

一、单选题

1.(23-24高二下•福建三明•阶段练习)下列各组函数相等的是()

A./(x)=ag(x)=(41B./(x)=x-l,g(x)=5-l

C./(x)=l，g(x)=/D.〃x)=k|,&(力=二

【答案】D

【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.

【详解】对于A中，函数/("=/的定义域为R,g(x)=(4『的定义域为［。,+纥),

所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误;

对于B中，函数=的定义域为R,=——1的定义域为｛X的*0｝,

所以定义域不问，不是相同的函数，故B错误;

对于C中，函数〃力=1的定义域为R,与g(x)=』=l的定义域为｛"TH。｝,

所以定义域不同，所以不是相同的函数，故C错误；

对于D中，函数/(“二岗］"'"'与g")=卜°2°八的定义域均为R，

11［一乂工<0［-x,x<0

可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数，故D正确;

故选；D.

2.（2024高三.全国.专题练习）了数人的二胜产二^1的定义域为（）

A.（-00,31B.（1,+oo）

C.（1,3]D.[3,+oo）

【答案】C

【详解】

行一1《2：

解析：依题意I。盼（X—1）+1>0,即I。版（X—1）>—1,/.S解得l〈xW3.故选C.

lx-l>0,

3.（2024.吉林.模拟预测）已知,小）=«若=则实数。的值为（）

A.1B.4C.1或4D.2

【答案】B

【分析】分av1和。之1,求解=即可得出答案.

【详解】当a<1时，/（a）=2"T=l,贝解得：。=1（舍去）；

当时，/（〃）=乎=1,则〃=2,解得：«=4,

故选：B.

4.（23-24高一上.北京通州.期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数〃力=。心的定义域和值域相同

的是（）

A.y=xB.y-Ine*C.y=D.y=~^

【答案】D

【分析】利用基函数、指数函数、对数函数的定义域、值域一一判定选项即可.

【详解】易知/（可=心"=右且刀>0,e'^>0,故其定义域与值域均为（0,+e）.

显然A选项定义域与值域均为R,故A错误；

因为）,=lne*=x,且/>0恒成立，即其定义域与值域均为R,故B错误；

y=V7=|x|>0,即其定义域为R,值域为[。,钙），故C错误；

且x>0,故其定义域与值域均为（。,也），即D正确.

故选：D

1的定义域是[2,4],则函数g（x）=]：]：2）的定义

5.（23-24高一上•湖北•阶段练习）已知函数「=/-x+l

域为（）

A.（2,3）B.（2,3]

C.（2,3）U（，6]D.（2,3）U（3,4]

【答案】A

【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.

【详解】因为函数产/（夫+1）的定义域是[2,4],所以24«4,

所以2弓4+143,所以函数〃”的定义域为[2,3],

小）\2~X~3

所以要使函数展外=丁产又有意义,则有X-2>0,解得2<x<3,

m（i）[x.2^1

所以函数屋力=正卷5的定义域为（2,3）.

故选：A.

（3-6/）X,XG（-«?,0）,

6.（23-24高一下.江西.阶段练习）已知函数&（力=12+2公+〃/式0』，在R上单调递增，则实数〃的取

7

（2a-\）x+-（1，+8）

值范围为（）

「13]（\_3|,2

A.B.C.D.

_22_

【答案】C

【分析】

依据分段函数的单调性知，函数g（x）每一段均需单调增，且每相邻两段函数，右段函数的左端点函数值不

小于左段函数右端点函数值，列出不等式组求解即可.

（3_%xe（-8,0）,

【详解】由题：函数g（x）=V+2办+凡人旬0,1],在R上单调递增,

（2a-l）x+^,xe（1,4-00）

3-a>0

--<0

2

故2a-l>0

(3-«)X0<024-2«X0+«

,7

r4-267X14-«<(2«-l)xl+—

13

解得：-<a<-,

故选：c.

-x+2,x<1

7.（23-24高一上.北京.期中）若函数〃x）=。的值域为（。，口），则实数。的取值范围为).

一,x>1

A.(0,1]B.(-1,0)C.(1,+<»)D.[l,+oo)

【答案】D

【分析】求出函数/（幻=—+2在（ro,l）上的值域，由已知可得函数/（工）=日在口,田）上的值域包含（0J,

X

再列出不等式求解即得.

【详解】当X<1时，函数“丫）=-工+2在（-8,1）上单调递减，/（、）在（-00,1）上的值域为（1,+CO）,

因为函数/（<）在R上的值域为（0,+8）,则函数/（x）=g在口,xo）上的值域包含（0/J,

X

显然。>0,否则当X21时，-<0,不符合题意，

X

于是函数/（X）=2在U,go）上单调递减，其值域为（0M],因此（0,1]4（0,旬,则夷N1,

x

所以实数a的取值范围为[1,+8）.

故选：D

8.（23-24高一上•河南商丘・期中）已知/=则函数/（力的值域为（）

A.[1,E）B."I'+g）

C.,8,gD.（fl]

【答案】C

【分析】利用换元法求得了（"的解析式，进而结合二次函数的性质求解即可.

【详解】设z=Vi^NO,贝

.../«)=j+卜，

••./(力=_97+；=一扣+叶+1

x>0,

・二函数/（X）在[0,+8）上单调递减,

・•・当1=0时，/（力四=；，

・•・函数y=/（x）的值域为（-W

故选：c.

9.（2。24.全国.模拟预测）已知八函数小）｛；嚷是R上的减函数，则〃的取值

范围是（）

A.（1.3]B.[2.3]C.[2,+oo）D.[3.+oc）

【答案】B

【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.

【详解】因为函数y=l-优（。>0，工1）是减函数，所以a>l.

又因为函数），=f+（a—5）x+1图像的对称轴是直线x=^,

所以函数y十5A十1在卜8,宁）上单调递减，在（铝，十8）上单调递增.

a>\

又函数/'（X）是R上的减函数，所以寿之1,解得2KaS3,

a-3^1-a

所以。的取值范围是[2,3].

故选:B.

10.（23-24高二上•广东广州•期末）函数/（x）=2x+14—V的最大值是（）

A.逐B.2逐C.2+6D.4

【答案】B

【分析】

设工=2sina,ae,根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解.

【详解】由"f2。，解得-2VW2,故/⑴的定义域为[-2,2].

71兀

22

贝(1y=4sina+v4-4sin2a=4sina+2cosa=2\[ssin(a+^>)>

其中，COSQ=竽,sin夕邛,0€(0,3

兀=cos吩¥，cosa=8s会时,

Bpsina=sin-

)，=2石sin(a+0取最大值26，即函数/(x)的最大值是2亚.

故选：B.

11.(2024.四川绵阳.三模)已知函数即一存在％使得八％)v0,则实数口的取俏范围

x-ax,x>0

是()

A.(~—l]B.(―<x>,0yC.[0,+8)D.(0M)

【答案】D

【分析】分a<0和a>0两种情况讨论即可得到答案.

【详解】--3伞一0),

当吐0时，当x>0时，x(x2-«)>0,

f(x)如图：

f(x)如图:

当0<入0<6时，/(天)<0.

故选：D.

二、多选题

12.(23-24高一下•内蒙古鄂尔多斯.开学考试)下列函数中，最小值是4的有()

A./(x)=-+-+3B./(-^)=VA-2+4+,

4x\lx+4

C./(%)=-+—(0<x<l)D./(X)=79^X+V7+T

x1—X

【答案】BD

【分析】A选项，举出反例；B选项，利用基本不等式求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求

出最小值；D选项，求出定义域，平方后求出了“"NW’得到答案.

y1

【详解】A选项，当x<0时，/.(6=£+±+3<3,A错误；

B选项，/(力=&+4+4之2G+4.4=4,

yjx-+4V+4

当且仅当正百=2，即x=0时取最小值，B正确；

C选项，因为Ovxvl,所以2>0,丁匚>0,止立>0,上>o,

x\-XX1-x

故，3=%占=停+白)3(1)卜^^+匕+4

咨,(1)工+4=26+4,

Vx\-x

当且仅当孔匚1=上，即彳=上2叵时，等号成立，C错误；

x1-x2

D选项，易知=+J=2。，且其定义域为[-7,9],

而f2(x)=]6+2J(7+x)(9-x)N16,即当工=-7或9时，尸(»取最小值馆，

/(X)的最小值为4,D正确

故选：BD

13.(23-24高一上•广东广州•期末)已知定义域为/的函数使/(与)<0,则下列函数中符合

条件的是()

A./(x)=x3+lB./(x)=ev+e

C.f(x)=\gx2D./(x)=2cosx+3

【答案】AC

【分析】根据特值以及基本不等式判断即可.

【详解】对于A选项，/(-2)<0,故A选项符合题意；

对于B选项，/(x)>27ev-ev=2»当e、=e，即x=0时等号成立，故B选项不符合题意；

对于C选项，/§)<(),故C选项符合题意；

对于D选项，由题意得/(©min=2x(-1)+3=1,故D选项不符合题意.

故选：AC.

(a—l)x+lvW0

14.(23-24高一下.福建•期中)已知函数fM=\a\,则以下说法正确的是()

x,x>0

A.若a=—1,则f(x)是R上的减函数

B.若•二(),则/*)有最小值

C.若，则/(X)的值域为(0,y)

D.若a=3,则存在工亡―，使得/(%))=/(2-%)

【答案】BC

【分析】把选项中的〃值分别代入函数f(x)，利用此分段函数的单调性判断各选项.

—2V4-1Y40

【详解】对于A,若。=一1,/(»二一；；，

x,x>0

/⑶在(-8,0)和(0,a)上单调递减，故A错误；

-^+l,x<0,

对于B,若。=0,/(x)=,

l,.r>0,

当了40时，/(x)=-x+l,f(x)在区间(YO,0］上单调递减，

f(x)>/(0)=1,则/(X)有最小值1,故B正确;

对于C,若4=/,f(x)=-：,

x2,x>0,

当xKO时，/(x)=-1x+l,/(幻在区间口,0］上单调递减，/(x)>/(O)=l；

当工>0时，/(©=%，/(X)在区间(0,")上单调递增，/(X)>/(())=(),

则f(幻的值域为(0,+8),故C正确；

一［2x+l,x<0,

对于D,若a=3,f(x)=<

x,x>0,

当收)时，/(%)=£>1；

3

当27°G(0,1),即1</<2时，/(2-xo)=(2-xo)e(0,l)；

当2-不«-8，。］,即与之2时，/(2-^)=3-^e(-oo,l］,

即当2f€(-co,0］时，f(2-4)《-oo,l］,

所以不存在小e(L例)，使得/伍)=/(2-x。)，故D错误.

故选：BC

三、填空题

15.(23-24高一下.安徽安庆•开学考试)若函数的定义域为［T1］,则函数/(logzx-1)的定义域为.

【答案】［立£

【分析】

由x的取值范围求出2、-1的取值范围，再令-；Klog2X-13,求出x的范围即可.

【详解】

当"«-1』时2yi2,所以21e-pl,

所以logzX-le--J,即-gviogzX-lWl,则g«k)g2x42,

BPlog,V2<log2x<log24,解得

所以函数/(1华21-1)的定义域为［&，4：.

故答案为：［及,4］

16.⑵-24高一上・江苏徐州•期中)已知函数/(x)对任意实数x都有J'(x)+2/(-x)=2x+l,则/("=.

【答案】以X+^

【分析】由/(X)+2/(T)=2X+1可列出方程组：［£):，丁［=2：+1从而求解.

/(-x)+2/(x)=-2x+1

【详解】由题意得：对任意实数/都有/(力+2/(—)=级+1,

f(x)+2f(-x)=2x+\解得：/(x)=-2x+；.

所以：

〃-x)+2/a)=-2x+l'

故答案为：-2x+；.

17.(23・24高一匕山东•期中)已知/(工+1)=/-x+l,则当x>l时，=的最小俏为

【答案】1

【分析】先利用换元法得到〃6=/-3》+3,进而得到必力=(%-1)+9-1,再利用基本不等式求解.

【详解】解：因为/(x+l)=dr+l,令r=x+l,贝卜="1,

所以〃，)=(-1)2-(31)+1=尸-3，+3,

所以/(司=/-31+3.

所以当x>l时，g(x)=盘=.3x+3=(Ip—%+2,

X-1X-1X-1

=(x-l)+-^--l>l=2.L-l)--1=1,

x-iVx-1

当且仅当x-l=」7,即x=0时，等号成立，

x-1

故答案为：1

18.(2024・上海松江・二模)已知0<。<2,函数)=八"-29："+1,x<2若该函数存在最小值，则实

2a,x>2

数"的取值范围是.

【答案】{。1。<〃弓或〃=1}

【分析】令g(x)=(〃-2)x+4a+l,xe(-oo,2］,力(幻=2qi,刀62侄)，分类讨论。的取值范围，判断g(x),

人(/)的单调性，结合/")存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案.

【详解】由题意，令g(x)=(a-2)x+4a+l,xe(-<x),2］,h(x)=2al~',AG(2,-KO),

当0<，<1时，g(处在(-oo,2］上单调递减，〃⑴在(2,+8)上单调递减，则力⑴在(2,+00)上的值域为(0,%),

因为“幻存在最小值，故需g(2)=(a-2)x2+4a+l40,解得

结合。此时。“为

当1<〃<2时，g(x)在(f,2］上单调递减，/心)在(2,+oo)上单调递增，则人⑴在(2,+oo)上的值域为(2«+00),

因为/“)存在最小值，故需g(2)«2a,即(a-2)x2+4〃+lW2a,解得“Kj,

这与l<a<2矛盾；

当〃=1时，g(x)=r+5在(—,2］上单调递减，且在(—,2］上的值域为［3,”)，h(x)=2,此时存在最小

值2：

则实数。的取值范围为或〃=1}.

故答案为：或。=1}.

四、解答题

19.(23・24高一上•浙江杭州•期中)求下列函数的值域:

八、-4x+4,、

(1)y=--------；—zU>1)

x-\

(2)y=3x-Vx+T

(3)/(x)=3x+l+

【答案】(l)［0,+8)

37

(2)-77，+8

14

(3)(-OO,-3]

【分析】(1)(3)根据题意结合基本不等式求值域;

(2)换元令/=