（人教A版）必修一高一数学上册同步题型讲练+同步检测4.1 指数（原卷版）

第页4.1指数【知识点梳理】知识点一、整数指数幂的概念及运算性质1、整数指数幂的概念2、运算法则（1）；（2）；（3）；（4）．知识点二、根式的概念和运算法则1、次方根的定义：若，则称为的次方根．为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．2、两个等式（1）当且时，；（2）知识点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．知识点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：知识点四、有理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．知识点诠释：（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；（2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如；（3）幂指数不能随便约分．如．2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．知识点五、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点六、实数指数幂的运算性质①．②．③．【题型归纳目录】题型一：由根式的意义求范围题型二：利用根式的性质化简或求值题型三：有限制条件的根式的化简题型四：根式与指数幂的互化题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值题型六：整体代换法求分数指数幂【典型例题】题型一：由根式的意义求范围例1．若有意义，则的取值范围是（

）A．B．∪C．D．例2．若有意义，则是（

）A．正偶数B．正整数C．正奇数D．整数例3．若，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．变式1．若要使有意义，则取值范围是_______.变式2．若有意义，则实数的取值范围为______________变式3．若代数式有意义，则______．【方法技巧与总结】使根式有意义题型二：利用根式的性质化简或求值例4．若，则的值为（）A．－1B．0C．1D．2例5．下列各式中成立的一项是（

）A．B．C．D．例6．=__________.变式4．计算：(1)；(2)．【方法技巧与总结】此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．题型三：有限制条件的根式的化简例7．求使等式成立的实数a的取值范围.例8．已知，化简：______．变式6．若满足关系+=+，则的值为_______________．【方法技巧与总结】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可题型四：根式与指数幂的互化例10．已知，为正数，化简_______．例11．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．B．C．D．变式7．式子的计算结果为（

）A．B．C．D．【方法技巧与总结】（1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂．题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值例13．化简的结果为（

）A．B．C．1D．例15．（1）计算：（2）化简：变式9．化简下列各式：(1)；(2)．【方法技巧与总结】根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数．题型六：整体代换法求分数指数幂例16．已知，则__________.例17．若，，则________．变式11．（1）已知，化简.（2）设，，，求的值.变式13．已知，且，求下列代数式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）变式14．（1）已知，计算：；（2）设，，求的值．变式15．已知，，，且，则______．变式16．已知，则______．【方法技巧与总结】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式．【同步练习】一、单选题1．下列运算正确的是（

）A．B．C．D．2．下列运算中正确的是（

）A．B．C．D．3．设a，b为正实数，，，则（

）A．1B．3C．9D．274．（

）A．B．C．D．5．已知，则化为（

）A．B．C．mD．16．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．B．C．D．7．若，且，则的值为（

）A．B．C．D．8．已知，则下列运算中正确的是（

）A．B．C．D．二、多选题9．下列等式中，不正确的是（

）A．B．C．D．11．下列运算（化简）中正确的有（

）．A．B．C．D．12．下列命题中正确的结论的为（

）A．的结果为-9B．若，则C．若，那么等于8.D．设，，则三、填空题13．计算：___________________．14．已知，则______.15．化简___________.四、解答题19．阅读材料，解决问题：化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，．令，，令，得；∴的零点值为3，的零点值为，在数