数轴上的动点问题-2025-2026学年人教版七年级数学上册

第13讲数轴上的动点问题

专题I数轴上的动点问题⑴-----双动点(I)微信扫码

题型一同时相向运动问题

【典例】如图，在数轴上A点表示数a心点表示数b,AB表示A点和B点之间的距离，且a,b满足口。+3口+

3+3a)2=0,点P从A点出发以3个单位每秒的速度向右运动，点Q同时从B点出发以2个单位每秒

的速度向左运动，AP-BQ=2PQ.求运动时间.

a0b

题型二同时同向运动问题

变式I.已知点A,B,C在数轴上对应的数分别为46c且BC=CA.

(1)直接写出©的值；

(2)两只电子蚂蚁甲、乙分别从A,C两点出发向右运动，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为I个单

位/秒，求经过几秒，点B与两只蚂蚁的距离和等于7.

题型三同向不同时运动问题

变式2.数轴上有A,B,C三个点,对应的数分别是a,b,c,满足口。+24口+口计10口+(510)2=()..动点P

从A出发，以每秒I个单/立的速度向终点C移动，设移动时间为I秒，当点P运动到B点时，点Q

从A点出发，以每秒3个单位的速度向终点C运动，则几秒后，P,Q两点之间的距离为2.

11114

AB0C

专题2数轴上的动点问题(2)-------双动点(2)

题型一运用方程法(讨论)或坐标法(带绝对值)

【典例】如图，在数轴上A点表示数a,B点表示数b,AB表示A点和B点之间的距离，C是AB的中点,

且a,b满足14+3口+(6+3。)2=0.

⑴求点C表示的数；-------------------------

A0B

⑵点P从A点以3个单位/秒向右运动，点Q同时从B点以2个单位/秒向左运动，若AP+BQ

=2PQ,,求时间I；

题型二数轴上追及与相遇问题

变式.如图，在数轴上点A表示数a,点B表示数b,且a,b满足点P,点Q为两个动点,

点P从点A出发，速度为每秒4个单位长度，点Q同时从点B出发，速度为每秒2个单位长度.

(1)若点「和点Q都向右运动，它们在点M处相遇,求点M所表示的数m；

(2)若点P向右运动，点Q向左运动，且.AP+BQ=2PQ,,求此时点P所表示的数p.

iji

A0B

专题3数轴上的动点问题⑶三动点

题型一数轴上追及问题

【典例】已知多项式-/〃3〃2一2中，含字母m项的系数为a,多项式的次数为b,常数项为c.且a,b,C分别是

点A,B,C在数轴上对应的数.

(I)求a,b,c的值.并在数轴上标出A,B,C;

(2)若甲、乙、丙三个动点分别从A.B,C三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是1，2二

24

(单位：长度，秒)，当乙追上丙时，乙是否追上了甲?为什么？

-6-4-26246r

题型二动点位置不明确，分类讨论

变式.已知数轴上有A,B,C三个点，对应的数分别是a,b,c,且满足□。+24口+口升10口+匕-10)2=0;；动

点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动.

⑴求a.b,c的值：

(2)若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P的对应的数；

(3)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，

再立即以同样的速度返回,运动到终点A.在点Q开始运动后第几秒时，P,Q两点之间的距离为4?

请说明理由.

ABCABC

11114I111.

00

图1备用图

专题5数轴上的动点问题(5)------------定值问题

题型一合并后系数为0

【典例】数轴上点A和点C表示的数分别为a和c,且〔力+20口+(・3())2=(),,我们把数轴上点A,B两点

之间的距离记为AB.

⑴若数轴上有一点D.满足CD=2AD厕点D表示的数为;

(2)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A,C在数轴上运动，点

A,C的运动速度分别为每秒2个单位长度、每秒3个单位长度，设运动的时间为।秒.若点A向

左运动，点C向右运动，式子2AB-mBC的值不随时间的变化而变化，试求2AB-.nBC的值.

4C-

题型二注意分区间讨论

变式,已知数轴上有A,B,C,0四个点对应的数分别是a,b,c,0.且满足|匚。+18口+□68CH(c-20)2=0动

点P从C出发，以每秒1个单位的速度向终点A移动，设移动时间为t秒.

-AOBC~»

⑴贝!Ja=____乒£=；

(2)若点P到C点距离是到B点距离的3倍，求点P对应的数；

(3)当点P运动时，点Q从A点同时出发，以每秒2个单位的速度向终点C点运动，若M为PA的

中点若-0。为定值且为正数,求出这个定值,并求出此时t的取值范围.

专题6数轴上的动点问题(6)------------和差为定值

题型一和、差为定值

【典例】已知式子止&-16川+20=2+g+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，在数轴上有A,B,

C三个点，且点A,B,C三点所表示的数分别为a,b,c,如图所示,已如AC=6AB.

(l)a=,c=,b=;

(2)点P,Q分别自A,B同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动,动点M自点C出发，以每秒6

个单位长度的速度沿甥由向右运动，设运动时间为1(秒)，3y〈田寸，数轴上有一点N与点M的

距离始终为2,且点N在点M的左侧，点T为线段MN上一点(点T不与点M,N重合)，在运动

的过程中,若满足MQ-NT=3PT(点T不与点P重合)，求出此时线段PT的长度.

COAB*

题型二含多参问题

变式.如图，数轴上A,B两点表示的有理数分别为a,b,((公6尸与匚4-什101互为相反数.线段CD在数轴

上从A点左侧沿数轴正方向匀速运动(点C在点D的左侧)，点M,N分别为AC,BD的中点.

(I)AB的长为若CD=2,则MN的长为;

(2)在⑴条件下，当时，求N点所表示的有理数；

⑶设CD=m,线段CD运动的速度为v,则在运动过程中,线段CD完全通过线段MN的时间为

___(用含m,v的式子表示).

MCODNB

专题I数轴上的动点问题(I)双动点(1)

【典例】解:设运动时间为I,

则P点表示的数为：-3+31,

Q点表示的数为：9-2t,

AP=3t,BQ=2t,

PQ=|9-2t-(-3+3t)|=|12-5t|,

.*.t=2|l2-5t|,

匚片手少或渺.

变式L解:(1£=1;

(2)®6-(-4+4t)+6-(I+t)=7,/=|;

(2)(-4+4t)-6+6-(1+t)=7,t=4;

@(-4+4t)-6+(l+t)-6=7,片前舍去).

综上所述，经过争少或4秒，点B与两只蚂蚁的距离和等于7.

变式2.解:P点表示的数为:-24+t,

Q点表示的数为：-24+3(t-14)=3t-66,

PQ斗24+t-(3l-66)|=|42-2l|=2,故1=20或22.

专迤2数轴上的动点问题(2)---------双动点(2)

【典例】解:⑴・・・|a+3|+(b+3a)2=0,

:.a+3=0,b+3a=0,

解得a=-3,b=9,

・••点C表示的数是3.

(2)®相遇前，

••,AB=9+3=12,点P从A点以3个单位/秒向右运动，点Q同时从B点以2个单位/秒向左运动，

AP=3t,BQ=2t,

PQ=12-5t.

•.•AP+BQ=2PQ,

・・・3t+2t=24-10i,解得片g;

②相遇后i3f+2片2(5/-12)尸

综上所述，或24s.

变式.解：设时间为ts.

(I)xp=-3+4t,xQ=9+2t,

-3+4t=9+2"・(=6,

/.m=9+12=21;

(2)AP=4t,BQ=2t,

PQ=|9-2t-(-3+4t)|=|12-6t|,

A4t+2t=2|12-6t|.

①当S2时，3/=12-6/,/=j,

此时〃=-3+4/=-3+弓=：.

②当t>2时,3t=6t-12,t=4,此时p=-3+4t=13.

AP点表示数P为海13.

专超3数轴上的动点问题(3)-----------三动点

【典例】解:(l)a=-l,b=5,c=-2;

⑵设乙追上丙的时间为t秒,52二-2-"

r=4,5-2x4=-3,-l-gx4=-3,/.乙追上了甲.

变式.解:(1)•・•|a+24|+|b+1O|+(c-l0)2=0,又V|a+24|>0,|b+10|>0,(c-l0)2>0,

|a+24|=0,|b+10|=0,(c-l0)2=0,a=-24,b=-10,c=10.

⑵设P点对应的数为x,|x-(-24)|=2|x-(-10)|.

x=4或

・・・P点对应的数为4或-当.

(3股Q点运动时间为I,

：0绝三时,P:-10+l,Q:-24+3tJ-24-3t-(-10+t)|=4,t=9或t=5.

②y<t<20,P:—10+t,Q:10—3(t—y),

□-!()+/-[10-3(/-y)]匚=4尸或y

③020,舍去.

答：当点Q开始运动后第5,9,g时，P，Q两点之间的距离为4.

专逸4数轴上的动点问题(4)------------变速问题

【典例】解:(l)a=-IO,b=l(),AC=28;

(2)①a=-lU,b=IO,c=lH,

AAO=10,BO=10,BC=18-10=8,

，动点M从点A运动至点C时」=19;

②设M,N两点在P点相遇.P点在数轴上所对应的数为y,易知点P落在线段OB段,

依题意有:y-3=0.5(10-y),解得:y=y,

・・・M,N两点相遇时，相遇点P在数轴上所对应的数为y

⑶1=2或2或II或17.

变式解⑴6

(2股线段AB的运动时间为t秒，出发后点B,C重合时，片三；出发后点A,D重合时产7.

综卜：卜/<7时，线段CDI■所有的点都在线段AB卜；

(3股B与D初次相遇时运动时间为匕，C与A初次相遇的时间为oZif=6解得八=154="+竿=17.

当15<t<17时，如图2,AC=AB+CD-BD=6+2-(t-15)x(2+2)=68-4l,

B

VAC=L.\68-4t=l,l解得片?;

4图2

当口17时，