同角三角函数基本关系式及诱导公式（复习讲义）-2026年高考数学一轮复习（天津专用）原卷版

第02讲同角三角函数基本关系式及诱导公式

目录

01考情解码•命题预警..........................................................2

02体系构建•思维可视............................................................3

03核心突破•靶向攻坚............................................................3

知能解码...................................................................4

知识点1同角三角函数的基本关系式.......................................4

知识点2诱导公式......................................................4

题型破译.......................................................................5

题型1已知某个三角函数值求其余的三角函数值.............................5

题型2已知四”的值，求关于延、盟3的齐次式的值问题..................6

重

题型4利用同角关系化简三角函数式.......................................8

题型5利用同角关系证明三角恒等式.......................................9

题型6利用诱导公式求解给角求值问题.....................................9

题型7利用诱导公式求解给值求值问题....................................1Q

重

重

难

难

04真题溯源•考向感知...........................................................14

05课本典例高考素材...........................................................15

01

考情解码-命题预警

考点要求考察形式2025年2024年2023年

(1)同角三角函数的基本关系

式

天津卷，第16题，14

(2)诱导公式口单选题天津卷，第16题，14

天津卷，第题，

1614分

(3)诱导公式的综合应用□多选题分

口填空题分

(4)利用互余互补关系求值国解答题

(5)已知某个三角函数值求其

余的三角函数值

考情分析：

本节内容是天津高考卷的必考内容，一般会以解三角形作为载体，考查己知某个三角函数值求其余的三角函数值，是

天津高考一轮复习的重点内容；设题稳定，难度中等，局部分值为2-4分.

复习目标：

1.理解、掌握三角函数的定义，能够求解特殊角的三角函数值

2.能掌握同角三角函数的基本关系式，诱导公式

3.具备数形结合的思想意识，会借助单位圆求解三角函数值

4.掌握三角函数的知一求二，齐次化等解题方法

02

体系构建-思维可视u

平方关系：sin2a-»-cos2a=1

■03

核心突破-靶向攻坚

知识点1同角三角函数

1、同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：_______________________

(2)商数关系：_______________________

2、同角三角函数基本关系式的变形

(1)平方关系式的变形：

(2)商数关系式的变形

sma

_______________________,cosa=-------•

tana

自主检测已知tana=g,则sina-cosa=.

知识点2诱导公式

1、诱导公式

诱导公式一：

sin(a+2k兀)=sina,

cos(a+2k7i)=cosa，

tan(a+2k兀)-tana，其中左wZ

诱导公式二：

sin(-a)=-sinc,

cos(-a)=cosa,

tan(-a)=-tana，其中keZ

诱导公式三：

sin[(a+(2k+I)TT]=-sina，

cos[cr+(2k+1)TT]=-cosa,

tan[<z+(2k+1)»]=tana,其中kwZ

诱导公式四：

.(71\(71A

sm——\-a=cosa，cos——\-a=-sma.

U)u)

sinU--«J=cosa，cos1-2-aJ=sina,其中keZ

2、诱导公式的记忆

诱导公式一〜三可用口诀“”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数

同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把夕看成锐角时原三角函数值的符号.

诱导公式四可用口诀“”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为

了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数.“符号看象限”同上.

因为任意一个角都可以表示为k-90°+a(|a|<45°)的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：

“"，意思是说角入90±a(左为常整数)的三角函数值：当％为奇数时，正弦变

余弦，余弦变正弦；当左为偶数时，函数名不变，然后口的三角函数值前面加上当视a为锐角时原函数值

的符号.

用诱导公式进行化简时的注意点：

(1)化简后项数尽可能的少；

(2)函数的种类尽可能的少；

(3)分母不含三角函数的符号；

(4)能求值的一定要求值；

(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.

3、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：

①化的三角函数为的三角函数；

②化为内的三角函数；

③化为的三角函数.

可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”(有时也直接化到锐角求值).

自主检测|已知cos法一,贝1Jsin[y_2“=.

❽❸

题型1已知某个三角函数值求其余的三角函数值

例亘已知在VMC中,c°s(T)$'则()

7

D.

25

例1-2已知a为锐角，且tan（?r-c）+3=0,则sina的值是

方法技巧

利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧：

（1）巧用“1"进行变形，如I=sin2c+cos2a=tanacota=tan45°等.

（2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取.

■JT_x/io

【变式训练1-1】在VA5C中，A=-,COSRD----，贝1」sinC等于（）

410

20B.-撞A/5

A.RD.

5555

（24-25高一上•天津红桥•期末）若tan«=2,则一^一=（）

【变式训练1-2]

sinacosa

B.2

A.5C.-D.

52~2

什4

【变式训练1-3】已知a是第三象限角,右tana=§,贝！Jsin(%+cr)=()

3344

A.B.--C.一D.

5555

题型.2已知3m的值，求关于sina、cosa的齐次式的值问题

（24-25高一上•天津红桥•期末）已知tana=2,则生皿仝巴=

例2-1=()

5cosa—smQ

2

A.4B.-c.-D.

932

例2-2已知tana=3,贝U2sin2a+sinacosa-3cos2a的值为（）

917

A.—B.18c.—D.15

510

方法技巧

①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sine、cosa的齐次分式问题，常采用分子分

母同除以cos"c（〃eN*）,这样可以将被求式化为关于tana的式子，从而完成被求式的求值；

②在求形如asin2a+bsina・cosa+ccos2a的值，注意将分母的1化为sir?a+cos2a=1代入，转化为关于

tana的表达式后再求值.

【变式训练2-1］若tanO=1,贝!|cos(万一26)的值为()

A.--B.--C.-D.-

5555

小+力兀、一c则n,rcoscr

【变式训练2-2】（2025•天津•模拟预测）已知tan2,c°s"sina=)

A.-B.—2C.2D.—

22

【变式训练2-3•变载体】已知生〈无，tana+—=-^

4tana3

(1)求tan。的值；

(2)求^---------的值；

sina—cosa

(3)求2sin?a-sinacosa-3cos2a的值.

题型3sina土coscr与sinacosa关系的应用

---------171

例3-11已知sinacosa=-,0<a<—，贝Isina+cosa的值是()

82

A.-B.一3C.立D.在

4222

例3-2(2025・天津•一模)已知sina+cosa=1,则cos2a=()

A.一立B.好

33

C.—叵D.好

99

方法技巧

三角函数求值中常见的变形公式

（1）sina+cosa,sinccosa,sincr—cosa三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”,

它们的关系是：（sina+cosa）2=l+2sincrcoscr；（sina-coscr）2=l-2sincrcoscr.

（2）求sincr+cosa或sina-cosa的值，要根据a的范围注意判断它们的符号.

【变式训练3-1]（24-25高一下•天津•期中）己知。©（0,兀），sin6+cos0=g,则下列结论正确的是（）

124

A.sin0cos0=——B.tan（5兀-8）=——

253

724

C.sin0-cos0=——D.tan20=—

57

【变式训练3-2](24-25高一上•天津•期末)设函数f(^)=sinMx+cosMx,左eN*.

(1)求证:

（2）分别求左=2和左=3时函数“X）的最小值；

（3）猜想函数/（X）的最小值并证明.

参考公式：当〃eN*且心2时，an-bn=（a-b）（anl+a"-2b+.--+abn-2+bnl）.

【变式训练3-3］已知/（^）=sin2^-（2-m）（sin^-cos^）+8.

⑴当机=1时，求/（3的值；

（2）若/（。）的最小值为7-30，求实数机的值；

⑶对任意的不等式//）恒成立.求优的取值范围.

<4）sm，一cos〃

题型4利用同角关系化简三角函数式

例4-1|（2025・天津・调研）对于锐角a,满足3sina=4（1-cosa）,贝ljsin^=（）

A4R33近

5544

例42|（24-25高一上•天津・期末）已知sina=2cosc,则-3c°sa=（）

--------sina+cosa

A.—3B.—C.-D.3

33

方法技巧

化简要求

（1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）

能求值的尽可能求值.

【变式训练4-1]若0<a<。，-^<^<0,cosa=1,cos乃=与，则cos(a+#)=()

D

A-TB-4-孚

【变式训练4-2】（2025•天津•二模）在VABC中，a,6,。分别为角A,8,C的对边，acosC+ccosA=2少cosB,

sinB=2GcosA•

(1)求sinA的值；

(2)若〃=2百，求。的值.

【变式训练4-3•变载体】在VABC中，角A式C的对边分别为。，在。.已知中+,2=」+回爪.

5

(1)求cos5及tan23的值；

7F

⑵若6=3,A=w,求c的值・

题型5利用同角关系证明三角恒等式

例5-1(24-25高一上•天津河西•期末)已知VABC中，角B,C的对边长分别是〃,b,c,sin4=4sinCcosB,

且c=2.

⑴证明：tanB=3tanC；

(2)若6=2指，求VA2C外接圆的面积

1+tanx_cos2x-sin2x

例5-2(1)求证:

1-tanx1-2siiixcosx

方法技巧

证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一

边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便.但是,

不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”.化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运

用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等.

【变式训练5-1】求证:

l-2sinxcosx1-tanx

2•~2

cosx-smx1+tanx

(2)sin4x+cos4x=l—2sin2xcos2x.

l-2sinacosil-tana

【变式训练5-2】证明:

cos26Z-s•m~2al+tan6z

.MrI7-^-LcB__lx'-r-。1—COSCC

【变式训练5-31求证：tan—=—-------

2s;ma

题型6利用诱导公式求解给角求值问题

例6-1|(2024•天津河北•模拟预测)tan^的值为()

_V3

A也B.

33

C石D.-V3

例6-2sin400°cos20°—cos40°cosl10°=（）

立

A1B.c.D

222--T

方法技巧

利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

（1）“负化正”：用公式一或三来转化.

（2）“大化小”：用公式一将角化为0。到360。间的角.

（3）“小化锐”：用公式二或四将大于90。的角转化为锐角.

（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.

【变式训练6-1]（24-25高一上•天津西青•期末）已知cosee卜,^兀

⑴求sin2a的值；

sin--a-sin-er）-tan-cr）

⑵求（2J<）的值.

C0S（7T+CT）

【变式训练6-2]（24-25高一上•天津武清•阶段练习）已知a是第三象限角，且cosa=-得

⑴求tane的值;

sin（a+兀）+2cos（a-兀）

Q）求sin|a+二71|+cosla+—3吟的值.

22

【变式训练6-31sin40°cos20°+cos40°cos70°=（）

D.1

2

1112

---

A.6-B.32D.3

772323

A.B.C.D.

25252525

方法技巧

解决条件求值问题的方法

(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.

(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.

【变式训解7-1】已知.＞。，若cos”吟1，则4心］的值为一.

【变式训练7-2】已知cos"£|=g,则sin「-"的值等于.

方法技巧

三角函数式化简的常用方法

(1)合理转化：①将角化成7i±a,左wZ的形式.

②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角。的三角函数.

(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.

(3)注意"1”的应用：1=sin?1+cos?a=tan匹.

4

(4)用诱导公式进行化简时，若遇到左万土a的形式，需对左进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.

3兀

【变式训练8-1】已知sm(。一3兀)=2sm(-。+一),求2.

」2COS(2K-a)-sin(—a)

【变式训练8-2】已知函数〃x）=sin（s+£j（0>O）图象上相邻的两个最高点为尸状，点Q为尸,R之间的

2

最低点，且而•或=1-4,若/'（X）在民,9］和卜3，匕］上单调递增，在［工2，£］上单调递减，且

2

X2~X1=j(X3-X2)'则/(不)的值为.

【变式训练8-3］（24-25高一上•天津和平・期末）已知1心力6噌二tana-3更

LailCt——,COSIcZ—PI-------

465

sin(a—兀)一cos(兀一a)

⑴求.(71)(71)的值;

UJUJ

(2)求cos£的值.

题型9诱导公式在三角函数证明中的应用重

例9-1怔明:sin(217°-a)cos(a-127°)+cos2(127°-a)tan2(53°+c^)=1.

例9-21已知sin(a+/)=1,求证：tan(2a+/7)+tan/=0.

方法技巧

三角恒等式的证明策略

对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变

更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善

于从中选择巧妙简捷的方法.

tan(27i-x)sin(—2兀-%)cos(6兀-x)cos(兀-x)

=sinx

【变式训练9-1】证明:.(3兀)(71)

sinx-\-----cos——x

I2JUJ

【变式训练9-2】求证：‘in"-2sina+cos2asina=国11°

cosacosa

37r7T

‘+—、T2sin(e------)cos(0+—)-1tan(9%+6)+1

【变式训练9-3】求证：2'2

tan(乃+8)-1

l—2sin2(»+6)

题型10诱导公式的综合应用难

例10-1（2025・天津•一模）已知/（%）=

3

⑴若求g（a）的值;

2

⑵若"x)=/卜+1]+f[x+^)§[x~^),求Mx)的值域和单调递增区间.

例10-2已知函数/(x)=sin3xcos3x-43sin23x+.

⑴求〃x)的单调递增区间；

⑵若〃a)=l,求cos[g-12”的值.

方法技巧

解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可

避免公式交错使用时导致的混乱.

【变式训练10-1】已知3sina=2cosa.

(27兀、z、

小为cos---+a+cos(兀-a)…壬

⑴求I2)＜，的值;

2sin。

(2)求sin2a-cos2cr的值.

【变式训练10-2]已知函数/(x)=2cosMsinx+7§cosx)—J^.

⑴若了(0+：)=存求/，-1)的值;

(2)设g(x)=/1%+^1)+/[一6)一57口+1)/、一看]，求函数g(x)的最小值.

sinB+sinCcosB+cosC

【变式训练10-3•变考法】在VABC中，已知,。为3c的中点.

sinAcosA

⑴求A;

(2)当3c=4时，求A。的最大值.

题型U利用互余互补关系求值难

例H-1已知sin[g—x]=,且0＜兄＜^,求sin[%+;r]—cos[-^~+x)的值为()

A.逑B.毡C.0D.—述

333

例11-21已知a兀],且sin|a+g)=J,则sin仁-a)=()

12125

A.B.C.D.

13131313

■

方法技巧

巧用相关角的关系会简化解题过程.观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系.在转化过程中

可以由已知到未知，也可以由未知索已知.常见的互余关系有万

71；71，兀n71

-----FCC-----FCC------CC----F(X------a

63644

等.常见的互补关系有冗,24,、冗，3%等，

-+e—-e-+e--e

3344

（2025•天津•模拟预测）已知=且0＜无＜三,求sin［：+无］—cos（三-+尤］的

【变式训练n-i】

值为（）

2A/22V2

儿殍C.0

~V.一_3"

已知sin（a+二）=一，，贝Usin（型一a）=（

【变式训练n-2•变考法】)

636

_1「202V2

A.-B.L.------D.

3-33-3-

Ml则cos]-2xj=()

【变式训练H-3】已知sin

A.-112V22V2

B.r