全等三角形常见的八大模型（八大模型+对应练习）-2024-2025学年八年级数学上学期（人教版）

全等三角形常见的八大模型

【模型LK型（一线三垂直）模型】

【模型2.“手拉手”模型】

【模型3.倍长中线】

【模型4.平行线中点】

【模型5.“雨伞”模型】

【模型6.半角模型】

【模型7.胖瘦模型】

【模型8.“反向”手拉手模型】

E——

知识点1K型（一线三垂直）模型

模型解读：

两条手臂之间的距离=长手十短手，两条手臂之间的距离=长手一短手，

即DE=AD+CE即DE=AD-CE

解题思路：一线三重直是中考考试中常见的模型，模型按照常规的方法需要找到对应三角形

边角关系，进而得全等三角形，根据全等三角形再找所求的边角.但很多常见的一线三重直

模型可以先尝试找到“长手”和“短手”，根据模型快速解题.知识点2“手拉手”模型

模型解读：

条件：在等腰三角形ON8和等腰三角形OCZ）中，UOB=<OD,OA=OB,OC=OD

结论：①AAOC三△BOD,AC=BD；②EO平分乙4ED；③UEB=UOB。知识点

3倍长中线

模型解读：

试卷第1页，共18页

条件：在A48C中，ND是边8c上的中线

作法：延长4D至点使DE=4D,连接BE

结论：AACD=AEBD,ACWBE

知识点4平行线中点

模型解读：

解题思路：在中考考试中，平行线中点是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在

于添加延长线，中考出题人非常喜欢出这类题，原因就是能够让懂模型的人快速找到答

案.知识点5“雨伞”模型

模型解读：

AB

FCr/C

条件：NP是4B/C的平分线,OBLi尸于点。

作法：延长80交/C于点D

结论：(1)AABO=AADO-,②4B=4D；@OB=OD.知识点6半角模型

模型解读：

试卷第2页，共18页

EA

A

条件：在正方形43。中，乙MAN=45°

结论：®MN=BM+DN；②的周长等于正方形/8C。边长的2倍;

③MN平分乙BMN,NA平■方乙DNM。知识点7胖瘦模型

模型解读：

条件：在四边形/5C£>中，BC>BA,①AD=DC；②8。平分乙48C；③々+NC=180。

结论：这三个条件，已知任意两个即可求第三个知识点8“反向”手拉手模型

模型解读：

条件：在等腰A48C和等腰A40E中，AB=AC,AD=AE,血C=〃M£,连接BE,CD

结论：AAB^^^ACD

_______

题型LK型（一线三垂直）模型

1.如图，EF、BG、都垂直于9，NE_L/8且4E=4B,8C_LCD且8C=C。,

请按照图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积S是一.

试卷第3页，共18页

E

2.如图，在中，ABAC=90°,AB=AC,分别过点8,C作经过点A的直

线的垂线段8。，CE,若BD=2,CE=4,则。£的长为.

3.综合与实践：如图1,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》

时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一

线三直角模型”.如图2,在中，44=90。，将线段8C绕点8顺时针旋转90。

得到线段8。，作。£工相交N3的延长线于点£.

⑴【观察感知】如图2,通过观察，线段42与。£有怎样的数量关系？

(2)【问题解决】如图3,连接CD并延长交的延长线于点尸，若NB=2,

AC=6,求ABD厂的面积；

(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交加于点N,求桨的值；

£)C

4.(1)提出问题：如图1,在直角中，/B/C=90。，点A正好落在直线/上,

则/I、N2的关系为；

试卷第4页，共18页

A

Q

图1图3

（2）探究问题：如图2,4B=AC,点、A正好落在

直线/上，分别作201/于点D,CE，/于点E,试探究线段8。、CE、OE之间

的数量关系，并说明理由；

（3）解决问题：如图3,直线尸。经过为△ABC的直角顶点C,△/8C的边上有

两个动点。、£,点。以2cm/s的速度从点A出发，沿/C-C8移动到点8,点E

以3cm/s的速度从点3出发，沿8CfCN移动到点A,两动点中有一个点到达终点

后另一个点继续移动到终点.过点。、£分别作。"，尸。，EN1PQ,垂足分别

为点河、N,若/C=12ctn、BC=16cm,设运动时间为人当以点。、M、C为

顶点的三角形与以点£、N、。为顶点的三角形全等时.求此时，的值.（直接写

出结果）

模型2.“手拉手”模型

5.如图，在△CM3和△0CD中，0A=0B,0C=0D,OA>OC,

ZAOB=^COD=4Q°,连接/C,BD交于点、M,连接（W,下列结论:

①△AOCdBOD；②AC=BD；③U7kffi=40°；④M0平分乙BMC.

其中正确的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

试卷第5页，共18页

6.如图，△/台。是等边三角形，厂是NC的中点，。在线段8c上，连接。尸，以DF

为边在。尸的右侧作等边△）石，连接比，若存在实数左，使得二为定值

a,贝!U和。分别是（）

113

A.k=3,a=1B,k=父a=\C.k=\,tz=—D.k=2,a=3

7.已知在△/5C和△4DE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,点。是

直线BC上的一动点（点。不与点8,C重合），连接CE.

（1）在图①中，当点。在边5C上时，求证：BC=CE+CD-（提示：证全等）

（2）在图②中，当点。在边8c的延长线上时，结论2C=CE+C〃是否成立？若不

成立，请猜想2C,CE,C。之间存在的数量关系，并说明理由；猜想CE与8c

的位置关系，并说明理由；

⑶在图③中，当点。在边8c的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，

直接写出2C,CE,CD间存在的数量关系.

8.如图，C为线段/£上一动点（不与点/,E重合），在NE同侧分别作正三角

形NBC和正三角形CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内

角都等于60。），与班交于点。，4。与3c交于点尸，BE与C。交于点。，连

接尸。.

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B

D

ACE

试说明：

①AD=BE；

②填空N/OE=_。；

@CP=CQ.

9.如图，在△/OB和△CO。中，OA=OB,OC=OD,若N/O6=/C。。=60。，连

(1)求证:AZ0C分8。。.

(2)求//尸8的度数.

⑶如图(2),△N8C是等腰直角三角形，ZACB=9Q°,AC=BC,N3=14cm,点。

是射线上的一点，连接C。，在直线48上方作以点。为直角顶点的等腰直角

△CDE,连接BE,若8O=4cm,求BE的值.

10.(1)如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,NB=N/DC=90。，点£、尸分别在

边BC、CD±_,若ZEAB+NFAD=ZEAF则线段BE、DF、E厂间的数量关系是

(2)如图2,在四边形/BCD中，AB=AD,NB+/D=180。，点E、尸分别在边

BC、CD±.,若EF=BE+FD,探究N£48、NFAD、一切尸的之间的数量关系，

并说明理由.

(3)如图3,在△ABC中，AB=AC,NB4c=90°,E是线段AB上一点，

CE1CF,且CE=CF,过点尸作尸C交C4的延长线于。，过E作EGLEC交2c

于G,连接。G.若。尸=7,EG=1,求DG的长.

试卷第7页，共18页

D

模型3.倍长中线

11.如图，已知2。是A48C中8c边上的中线，AB=5,AC=3,则的取值

范围是（）

A.2<AD<8B.1<AD<4C.2<AD<5D.4<AD<8

12.【方法学习】

数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：

如图，在ZU8C中，AB=1,AC=5,求出8C边上的中线的取值范围.

小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）,

①延长ND到E,使得Z）£=M；

②连接BE,通过三角形全等把AB,AC,2AD转化在“BE中；

③利用二角形的三边关系可得ZE的取值范围，从而得到的取值范围：

方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造

全等三角形，

把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

试卷第8页，共18页

解：________

13.(1)方法呈现：

如图①：在中，若/3=6,/C=4,点。为8c边的中点，求8c边上的中线

的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长/。到点E使。£=加，再连

接3E,可证△/。。/△班。，从而把/2、/C、2AD集中在中，利用三角形三

边的关系即可判断中线的取值范围是_(直接写出范围即可).这种解决问题

的方法我们称为倍长中线法；

(2)探究应用：

如图②，在ZUBC中，点。是8c的中点，DELDF于点、D,DE交AB于点、E,DF

交NC于R连接斯，判断瓦?+C尸与族的大小关系并证明；

(3)问题拓展：

如图③，在四边形/2CD中，AB//CD,/尸与DC的延长线交于点R点E是3c

的中点，若NE是/血尸的角平分线.试探究线段相、/RC尸之间的数量关系，

并加以证明.

14.(1)如图①，在△/8C中，若N8=6,/C=4,AD为8c边上的中线，求

的取值范围；

(2)如图②，在ZUBC中，点。是8c的中点，DELDF,DE交AB千^E,DF

交/C于点R连接跖，判断BE+C尸与环的大小关系并证明；

(3)如图③，在四边形N8CO中，AB//CD,/月与DC的延长线交于点点£

是2c的中点，若/£是NA4尸的角平分线.试探究线段N8,AF,CF之间的数量

关系，并加以证明.

试卷第9页，共18页

A

图①图②图③

15.已知，如图：ZUBC中,BD=DC=AC,/£是△4DC的中线：求证:

AB=2AE.

16.(1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在

中，48=12,AC=8,求3c边上的中线4。的取值范围.

图1

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图2),

M

图2

①延长ND到使得=

②连接通过三角形全等把42、AC,2/。转化在A/EW中；

③利用三角形的三边关系可得的取值范围为+从而

得到的取值范围是;

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角

形和证明边之间的关系.

试卷第10页，共18页

(2)请你写出图2中/C与8M的数量关系和位置关系，并加以证明.

(3)深入思考：如图3,是△A8C的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF=90°,

请直接利用(2)的结论，试判断线段4。与环的数量关系，并加以证明.

图3

17.【观察发现】如图①，AABC中，48=7,ZC=5,点。为8c的中点，求

AD的取值范围.

小明的解法如下：延长到点E,使。连接CE.

BD=DC

在AABD与AECD中<^ADB=NEDC

AD=DE

：.AABD=AECD(SAS)

1・AB=,

又♦.•在AAEC中EC-ZCV/E<EC+NC,而4B=EC=7,AC=5,

:.<AE<.

又,:AE=2AD.

・•・<AD<.

【探索应用】如图②，AB//CD,AB=25,CD=8,点£为8c的中点，乙DFE=

ABAE,求的长为.(直接写答案)

【应用拓展】如图③，^BAC=60°,^CDE=120°,AB=AC,DC=DE,连接

BE,尸为BE的中点，求证：AP1DP.

图②图③

试卷第11页，共18页

18.综合与实践:

【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，^ABC

中，若A8=6,/c=4,点。为8C边上的中点，试求中线40的取值范围.

【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延

长到E,使。£=加，连接成，如图1.请根据小明同学的方法思考：

(1)由已知条件和作辅助线，能得到理由是

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

(2)由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为

【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可

考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个

三角形中.

【解决问题】

(3)如图2,在四边形NBCO中，43与。)不平行，M是8C边的中点，已知

平分NB4D,且⑷垂足为若NO=5,CD=3,试求N8的长度.

模型4.平行线中点

试卷第12页，共18页

19.矩形48CQ与ECFG如图放置，点5,C,尸共线，点C,E,。共线，连接

AG,取NG的中点H,连接^AB=CF=4,BC=CE=2,则()

A.72B.2C.V3D.45

20.如图，在平行四边形中，AD=2,AB=46,4是锐角，4E_L8C于点

E,尸是N8的中点，连接。RE尸;若NEED=90。，贝U/E的长为（）

「372A

D./J

2

21.如图，在“CA中，ACAD=90°,AC=6,AD=10,AB//CD,E是CD上一点,

BE交AD于点、F,若4B=DE，则图中阴影部分的面积为

12,ABLBC于B,4B1AD于4,40=5,8c=10点E是

CD的中点，求ZE的长.

试卷第13页，共18页

23.(1)方法回顾证明：三角形中位线定理.

已知：如图1,是ZUBC的中位线.求证：

证明:

(2)问题解决：如图2,在正方形48co中，E为4D的中点，G、E分别为

AB、CQ边上的点，若/G=3,DF=4,NGEF=90°,求GE的长.

模型5.“雨伞”模型

24.如图，4c平分/B4D,CEJ.AB于点、E,Z5+ZJD=180°.求证:

AE=AD+BE.

25.如图，八45c中，AB=AC,^BAC=90°,CD平分乙4c5,BEVCD,垂足E

在CD的延长线上.求证：BE=gCD.

试卷第14页，共18页

26.如图，已知等腰直角三角形中，AB=AC,ABAC=90°,BF平分/ABC,

交B尸的延长线于点。，试说明：BF=2CD.

27.已知：等腰直角三角形ABC中，ZACB=9O°；AC=BC；Z1=Z3；BE1AD.

求证：BE=yAD.

模型6.半角模型

28.综合与实践

(1)如图1,在正方形Z8CO中，点、M、N分别在CDh,若川BN=

45°,则"MAM,CN的数量关系为.

(2)如图2,在四边形Z8CD中，BCWAD,AB=BC,乙4+2。=180。，点河、N

分别在Z。、CO上，若5BN=^UBC,试探索线段〃N、AM.CN有怎样的

数量关系？请写出猜想，并给予证明.

(3)如图3,在四边形Z8C。中，AB=BC,乙45。+乙4。。=180。，点〃、N分

别在ZU、CD的延长线上，若5BN=^UBC,试探究线段〃N、AM.CN的

数量关系为.

试卷第15页，共18页

29.如图，AB=AD=BC=DC,Z.C=^D=^ABE=^BAD=90°,点E、/分别

在边8C、CD上，^EAF=45°,过点Z作ZG45=NE4。，且点G在Cfi的延长

线上.

(1)△GNB与全等吗？为什么？

(2)若DF=2,BE=3,求所的长.

30.如图，正方形48co中，E、尸分别在边8C、CD±.,且2E4F=45。，连接

EF,这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种

常用的分析思路.例如图中八4。9与A48G可以看作绕点Z旋转90。的关系.这

可以证明结论尸'，请补充辅助线的作法，并写出证明过程.

(1)延长C5到点G,使8G=_,连接ZG；

(2)证明：EF=BE+DF

31.(1)如图1,在正方形45CD中，E是48上一点，G是上一点,

ZECG=45°,求证EG=5E+GD

图1图2

(2)请用(1)的经验和知识完成此题:如图2,在四边形45co中,AG〃BC(BOAG),

乙5=90°,AB=BC=12,E是Z8上一点，且NECG=45°,BE=4,求EG的长？

试卷第16页，共18页

模型7.胖瘦模型

32.如图，0c平分ZMON,4、5分别为。攸、0N上的点，^.BO>AO,AC=

BC,求证：^OAC+^OBC=1SO0.

33.如图，在四边形ABCD中，已知BD平分NABC,ZBAD+ZC=180°,求证：AD=CD.

模型8.“反向”手拉手模型

34.如图，已矢口△NBC和△8OE均为等边三角形，连接CE.^ZBAD=a,则

NBCE的度数为（）

35.如图，A4cs和△£（%）都是等腰直角三角形，UCB=AECD=90°,D为AB

边上一点，若ZD=5,BD=12,则。E的长为（）

A.11B.13C.12D.25

试卷第17页，共18页

36.如图，△A8C与均为等边三角形，NC8D=90。，BD=gB,连接CE,

延长2C交/E于点尸.

(1)求/FCE的度数;

(2)求证：AF=EF.

试卷第18页，共18页

1.50

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练运

用全等三角形的性质是解题关键.由/£，45,£尸，W,3G，/G,可以得到/EAF=NABG,

而&E="，/EFA=/AGB,由此可以证明所以4尸=5G,AG=EF•同理证

得ABGC知DHC,GC=DH,CH=BG,易得ZC=10,FH=16,然后利用割补法和面积

公式即可求出图形的面积即可.

【详解】解：・.・/E_L45且空=”，EFLFH,BG1FH,

・•.NEAB=NEFA=/BGA=90°,

­：ZEAF+ZBAG=90°,ZABG+ZBAG=90°,

/LEAF=AABG,

:.AE=AB,AEFA=/AGB,ZEAF=/ABG,

AEFA%ABG(AAS)

AF=BG=3,AG=EF=6,

同理证得△BGC也△Z)//C(AAS),

.,.GC=DH=4,CH=BG=3,

・・.4C=/G+GC=6+4=10,FH=FA+AC+CH=3+10+3=16f

^S=-x(6+4)xl6-1x6x3-|xl0x3-|x3x4=50,

故答案为：50.

2.6

【分析】利用垂直的定义得到=由平角的定义及同角的余角相等得到

ZABD=ZCAE,利用AAS证得Z\ABD咨AACE,由全等三角形对应边相等得到DB=AE=2,

AD=CE=4,由。E=40+NE即可求出DE长.

【详解】解：8。_LOE,CE1DE,

ABDA=ABAC=NAEC=90°,

ZBAD+ZCAE=90°,

NBAD+NABD=9Q。,

ZABD=ZCAE,

在和AC4£1中，

答案第1页，共47页

NADB=/CEA

<AABD=ACAE,

AB=CA

^ASD^AACE(AAS),

：.DB=AE=2,CE=AD=4,

则。5=2。+2后=4+2=6.

故答案为：6.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据由平角的定义及同角的余角相等证得

ZABD=ZCAE是解决问题的关键.

3.(1)AB=DE

；

(2)SABDF=10

⑶2.

v13

【分析】(1)根据旋转的性质可得NC8D=90。，CB=BD,进而证明A/BC%E08(AAS),

即可求解；

(2)根据(1)的方法证明A48c之AEOB(AAS),进而证明△。所sac。求得

EF=4,则8尸=10,然后根据三角形的面积公式，即可求解；

(3)过点N作JW_LN/于点M,证明A48CSA跖vs得出=,证明

54

AEMNS^ECA,设BM=x,贝1|Affi=3E-BN=6-x,代入比例式，得出x=百，进而即可

求解；

本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以

上知识是解题的关键.

【详解】(1)解：AB=DE.

••・将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,作DE上4B交AB的延长线于点E.

NCBD=90°,

答案第2页，共47页

・・.ZABC+/DBE=90。,

vZA=90°f

^ZABC+ZACB=90°,

・•.ZDBE=ZACB,

Xv=ZDEB=90°,CB=BD,

二.小ABC沿小EDB(AAS),

•••AB=DE；

(2)解：•:NCBD=90。，

・・.ZABC+/DBE=90。,

vZ^=90°,

.'.ZABC+ZACB=90°,

・•・ZDBE=/ACB,

又・：/A=/DEB=90。，CB=BD,

.♦・△/BC%£DB(AAS),

・•.DE=AB,BE二AC,

vAB=2,AC=6,

DE=2,BE—6

:.AE-AB+BE=2+6=8,

•・•/QE3+//=180。，

・•.DE//AC,

・•・八DEFSACAF,

DE_EF

^AC~~FAf

2_EF

.•%一所+8'

・•・EF=4,

:.BF-BE+EF=6+4=10,

；

:.SARbnuFr=—2xBFxDE=—2xl0x2=10，

(3)解：如图所示，过点N作_W_L4F于点M,

答案第3页，共47页

c

ME

■：NN=4BMN=90°,NACB=900-N4BC=ZNBM,

小ABCS^MNB,

BNBMMN

口口BNBMMN即…1…

gp——==,MN=-BM,

BC623

又，,,MN〃AC,

・••AEMNS^ECA,

MEMN

••石一旅‘

^BM=x,则=—5M=6—x,

6-x_3X

BNW_13_9,

4.(1)Zl+Z2=90°；(2)DE=BD+CE,理由见解析；(3)4s或gS或12s

【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理.

（1）利用平角的定义即可求解；

（2）先证明出3gAe£/（AAS）,得出&）=〃，AD=CE,即可得出结果；

（3）由以点。、M、C为顶点的三角形与以点£、N、C为顶点的三角形全等.可知

CD=CE,而CE,C。的表示由£,。的位置决定，故需要对E,。的位置分类讨论，分别

画出图形，结合图形列方程求解即可.

【详解】解：（1）•••N3/C=90。，Nl+ZB/C+N2=180°,

Z1+Z2=90°,

答案第4页，共47页

故答案为：Zl+Z2=90°；

(2)DE=BD+CE,理由如下:

♦:BD,直线I,直线/,

・•.ABDA=AAEC=90°,

vABAC=90°,

・•.NBAD+/CAE-

vZBAD+ZABD=90°,

/ABD=/CAE,

在△403和△(Z4中，

ZBDA=ZAEC

</ABD=ZCAE,

AB=AC

AADB^ACEA(AAS)f

；,BD=AE,AD=CEf

：.DE=AE+AD=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE；

(3)当点。移动到点C时，/=半=?=6,移动到点B时，，=江¥="普=14；

2222

BC163一Li1QAC+CB12+1628

当点E移动到点。时，t=—^―=—,移动到点A时，t=-=-;

分以下三种情况：

①当E在8C上，。在/C上时，即如图，此时C£=(16-3f)cm,

CL>=(12-2/)cm,

•••以点。、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等,

.，.^DMC=^,CNE,

：.CD=CE,

答案第5页，共47页

16—3t—12—2t,

・•・，=4；

②当£在NC上，。在NC上时，即如图，此时CE=（3f-16）cm,

CD=(12-2/)cm,

•・•以点。、M、。为顶点的三角形与以点E、N、。为顶点的三角形全等，

・•・^DMC^ENC,

:,CD=CE,

—16—12—2t,

28

t=—；

5

③当£在NC上，。在8c上时，即6V/<g,如图，此时CE=（3t-16）cm,

CD=(2/-12)cm,

•・•以点。、M、。为顶点的三角形与以点石、N、。为顶点的三角形全等，

・•・ADMCACNE,

CD-CE,

**•3t—16—2t—12,

・•・，=4,

不在范围内，不符合题意；

④当£到达4后，。在8c上时，即§4/414,如图，止匕时CE=12cm,C£>=（2?-12）cm,

答案第6页，共47页

Z(E)

Q

/C'D

p

•••以点。、M,C为顶点的三角形与以点£、N、C为顶点的三角形全等，

ADMCQACNE,

CD=CE,

12=2z—12,

A/=12.

OQ

综上所述，当f=4s或gs或12s时，以点。、M、C为顶点的三角形与以点£、N、C为顶

点的三角形全等.

5.A

【分析】由题意易得NAOC=NBOD,然后根据三角形全等的性质及角平分线的判定定理可

进行求解.

【详解】解：••-zAOB=zCOD=40o,ZAOD是公共角，

•••zCOD+zAOD=zBOA+zAOD,即NAOC=NBOD,

•■•OA=OB,OC=OD,

•••△AOCsABOD(SAS),

•••AC=BD,ZOAC=ZOBD,zODB=zOCA,故①②正确；

过点。作OE1AC于点E,OF1BD于点F,BD与OA相交于点H,如图所示：

A

•■•ZAHM=ZOHB,ZAMB=180°-zAHM-zOAC,zBOA=180°-zOHB-zOBD,

.-.ZAMB=ZBOA=40°,

.••ZOEC=ZOFD=90°,

vOC=OD,ZOCA=ZODB,

•••AOEC=AOFD(AAS),

答案第7页，共47页

•••OE=OF,

；.0M平分NBMC,故③④正确；

所以正确的个数有4个；

故选A.

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角

形的性质与判定及角平分线的判定定理是解题的关键.

6.A

【分析】在8c上截取CG=W,连接FG,通过证明血可得。G=£C,即

可求解.

【详解】解：如图，在上截取CG=CF,连接FG,

A

△4BC是等边三角形,

E

：.ZACB=60°,

方是4。的中点，

：.CF=CG=-AB=-BC,

22

△尸CG是等边三角形，

:.ZGFC=60°,FG=CF,

•・•△加后是等边三角形，

FD=FE,ZDFE=60°,

ZDFG=ZEFC,

在△£>回G与中，

FD=EF

<NDFG=ZEFC,

FG=CF

/.△Z)FG^A^FC(SAS).

答案第8页，共47页

/.DG=EC,

:.CF+EC=CD,

:.-BC+EC=CD,

2

-BC+EC

：.-2------------=1'

CD

■■k=,a=\■

故选：A.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题

的难点是作出辅助线，构成全等三角形.

7.(1)见解析

(2)不成立，存在的数量关系为CE=8C+C。，位置关系为理由见解析

(3)图见解析，CD=BC+EC^CE-=BC2+CD2

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识,

证明三角形全等是解题的关键.

(1)求出=证明"AD之"CE(SAS),根据全等三角形的性质可得结论；

(2)求出=证明A4BD0A/CE(SAS),根据全等三角形的性质可得

BD=CE,NACE=NABD,即可得=8。=8C+CO,然后由△ABC是等腰直角三角形

可得N48C=NNCS=45°,ZACE=ZABD=45°,进而求出/8CE=90°即可得出结论；

(3)分两种情况：①当£在/。下方时，如图3,求出=证明

也△/(?£,根据全等三角形的性质可得出结论；②当E在上方时，如图4,得

NCAD=NBAE,证明△C/D多△£■!£,则有=CD=BE,从而可得

ZEBC=90°；在RtAEBC中，由勾股定理得三线段间的数量关系.

【详解】(1)证明：VZ.BAC=ADAE=90°,

ABAD+ADAC=ZCAE+ZDAC,

/BAD=NCAE,

又AB=AC,AD=AE,

：."BD均4CE(SAS),

BD-CE,

答案第9页，共47页

・•.BC=BD+CD=CE+CD；

(2)解：不成立，存在的数量关系为CE=5C+CD,位置关系为理由如下:

•・•ABAC=/DAE=90°,

.•"BAD=/CAE,

又•：AB=AC,AD=AE,

・♦.—BD知4CE(SAS),

；.BD=CE,ZACE=AABD,

•・・BD=BC+CD,

:.CE=BC+CD,

vZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,

・•・/ABC=/ACB=45。,

NACE=NABD=45。,

・・・/5。£=45。+45。=90。，

・・.C£_LBC；

(3)解：①当£在/。下方时，如图3,

存在的数量关系为8=5C+，

理由如下：

A

图3

•・•ABAC=/DAE=90°,

.•"BAD=/CAE,

又•：AB=AC,AD=AE,

.♦."BD知4CE(SAS),

；.BD=CE,

：.CD=BC+BD=BC+CE.

答案第10页，共47页

②当£在/。上方时，如图4,

存在的数量关系为CE2=3C2+a>,

•••ACAD=ABAC+ABAD=90°+ABAD,NBAE=NDAE+ABAD=90°+ABAD,

,­,ACAD=NBAE；

又；AB=AC,AD=AE,

ACAD^ABAE(SAS),

NACD=NABE,CD=BE,

：.ZEBC=NABC+NABE=NABC+ZACD=90°；

在RMEBC中，由勾股定理得CE?=8C2+3£2,

■■CE2=BC2+CD2.

8.①见详解；@120；③见详解

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定

是本题的关键.

①由“SAS”可证△/<?£）之△8CE；

②由全等三角形的性质可得=,由外角的性质可求解；

③由“ASA”可证可得结论.

【详解】证明：①•.,△4BC、△OCE为正三角形，

ZACB=ZDCE=60°,AC=BC,DC=EC,

ZACB+/BCD=ZDCE+/BCD,

NACD=/BCE,

在A/C£>和A3C£中，

AC=BC

<ZACD=NBCE,

CD=CE

答案第11页，共47页

△/CDgABCE(SAS),

AD=BE；

(2)vKACD^LBCE,

/./CAD=/CBE,

AAOB=ZCAD+/CEB=ZCBE+ZCEB,

NACB=ZCBE+ZCEB=60°,

ZAOB=60°,

ZAOE=120°,

故答案为：120；

③在△4CP和△5C0中，

ZACP=ZBCQ=60°

<AC=BC,

/CAD=ZCBE

：.尸且△BCQ(ASA),

：.CP=CQ.

9.(1)见解析

(2)60°

(3)BE=10cm或18cm

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应

用；

(1)根据题意得出=即可证明“0c也AB。。(SAS)；

(2)根据题意可得是等边三角形，根据(1)的结论可得进而根

据三角形的内角和定理，即可求解；

(3)分情况讨论，当。在线段上时，当。在43的延长线上时，证明

△C4D义ACBE(SAS),得出4D=8E,结合图形，即可求解.

【详解】(1)证明：=/COD=60。，

：./AOC=/BOD,

又“OA=OB,OC=OD,

AAOC^ABOD(SAS)；

答案第12页，共47页

(2)解：・；OA=OB,ZAOB=60°,

・・・△/OB是等边三角形，

：,/OAB=/OBA=6。。,

•・•^AOC^BOD,

：,/OAC=/OBD,

・•・/APB=180°-ZPAB-/PBA

=180°-(ZBAO-ZCAO)-(ZABO+ZOBD)

=180。-60°+ZOAC-60°-AOBD

二60。；

(3)解：如图所示，当。在线段45上时，

•・•ACDE是以点。为直角顶点的等腰直角三角形,

ZDCE=90°,CD=CE,

又・・・//。夕=90。，AC=BC,

/CAD=90°-ZDCB=/BCE,

.•.△C4D注ACBE(SAS),

*'•AD=BE,

•・•AB=14,BD=4f

BE=AD=AB-DB=10cm,

如图所示，当。在NB的延长线上时，

答案第13页，共47页

同理可得，&ACBE(SAS),

•t•AD=BE,

AB=14,BD=4,

BE=AD=AB+DB=18cm,

综上所述，3E=10cm或18cm.

10.(1)BE+DF=EF

(2)NEAB+NFAD=NEAF.理由见解析

(3)6

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质.本题

的关键是在四边形中通过辅助线构造全等三角形.

(1)通过延长班构造RM4D尸乌Rt-42G,进而推出4F=/G和NE/G=NE4/，再由

“$八5”证得4比16//^£1/尸，即可得到斯=GE,从而得出结论.

(2)通过延长班构造A4DF会A48G得出4F=4G、NFAD=NG4B,然后证得

△4硬会"EG(SSS),再由NE4F=NEAG即可得出结论.

(3)在。尸上取点“，使HF=EG.根据“HL”证得RQCEG之RSC阳，得到CG=CH、

ZECG=ZFCH,推出NDCG=NDCH=45。，再由“SAS”证得力CG2SC77得出。G=。〃，最

后由线段和差关系求出。G的长.

【详解】解：(1)如图，在班延长线上取点C,使BG=DF,连接4G.

在尸和RtZ\/6G中，AD=AB,DF=BG,

.•.RtA/。尸gRtA/8G（HL）.

AG=AF,NFAD=ZGAB,

•••ZEAB+ZFAD=ZEAF,

ZEAG=ZEAB+ZGAB=ZEAF.

在△E/G和中，AG=AF,NEAG=NEAF,AE=AE,

答案第14页，共47页

:.AE4G2AEAF(SAS).

EF=GE=BG+BE=BE+DF.

故答案为：BE+DF=EF.

(2)结论：NEAB+ZFAD=ZEAF.

理由：在班延长线上取点G,使8G=。尸，连接4G.

D

//1\VA/VvZABE+ZD=1SO0.

GBEC

AABG=/D.

在△ADF和a/BG中，AB=AD,/ABG=/D,BG—DF,

：.&1DF咨AABG(SAS).

:.AF=AG,ZFAD=ZGAB.

在△4£尸和△/EG中，AF=AG,EF=BE+DF=BE+BG=EG,AE=AF,

AAEF^AAEG(SSS).

AEAF=ZEAG,

ZEAF=/GAB+/EAB=ZEAB+ZFAD.

(3)在。尸上取点〃，使HF=EG.

根据题意KEG和△CW都是直角三角形.

vEC=FC,HF=EG,

...RtACEG^RtACFH(HL).

CG=CH,ZECG=ZFCH,

又ZECH+ZFCH=90°,

/.ZHCG=ZECH+/ECG=90°,

/.ZDCG=ZDCH=45°.

答案第15页，共47页

在△QCG和△DC"中，CG=CH,ZDCG=ZDCH,DC=DC,

△DCG咨ADC"(SAS),

:.DG=DH=DF-HF=DF-EG=6.

11.B

【分析】如图所示，延长4。到£,使DE=AD,连接C£,先证“BQ*ECQ,得

AB=CE,再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围.

如图所示，延长4。到E,使DE=AD,连接C£,

-AD是AABC中5C边上的中线，

/.BD=CD,

在△4BD与△ECD中,

'BD=CD

<ZADB=ZEDC,

AD=DE

:.^ABD=^ECD,

/.AB=CE=5,

在△4CE中，由三角形三边关系得：

CE-AC<AE<CE+AC,

-AC=3,AE=AD+DE=AD+AD=2AD,

5—3<2AD<5+3,

.\1<AD<4.

【点睛】本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角

形是解题的关键.

12.1<AD<6

【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法

是解题的关键；延长/。到E,使得。£=加，连接BE,根据题意证明《£。2g&/"?,

答案第16页，共47页

可知8E=/C,在AABE中，tgjgAB-BE<AE<AB+BE,即可;

【详解】(1)解：如图，延长4□到E,使得DE=AD,连接BE,

•••40是△48C的中线，

：.BD=CD,

在AEDB和/X4DC中,

BD=CD

<NBDE=ZCDA,