一线三等角模型压轴题-2022-2023学年八年级数学上册必刷题

专题07一线三等角模型中档大题与压轴题真题分类（解析版）

基础模型

己知:点P在线段AB上,N1=N2=N3,且AP=（或AC=或

CP=PD）

/LA结论［：△APC也△BQP

APB

同侧一线三等角

已知:点P在线段AB的延长线上,N1=N2=N3,且AP=BD（或

D

AC=BP或CP=PD）

/p结论22APCg/XBQP

异侧一线三等角

模型拓展

已知:点P在线段AB±,Z1=Z2=N3,且已知:点P在线段AB的延长线上,N1=N2=

AP=BQ（或AC=BP或CP=PD）N3,且AP=BQ（或AC=BP或CP=PD）

一线三垂直

钝角一线三等角

结论3s尸结论4sAPCgZkBQP

专题简介；本份资料包含一线一等角模型常考的中档大题、一线三等角模型常规压轴题、坐标系中的三垂

直模型类压轴题，所选题FI源自各名校期中、期末试题中的典型考题。适合于培训机构的老师给学生作专

题复习培训时使用或者冲刺压轴题高分时刷题使用。

题型L一线三等角模型中档大题

rZB=ZC=90°

【解答】证明：(1)在△44£与/\£。。中，AB=EC，:・AABEgAECD(ASA),

IZBAE=ZCED

：,AE=ED,VZBAE+ZAEB=90°,AZAEB+ZCED=90°,，△AED是等腰直角三角形;

(2):△ABE丝AECD,，NAEB=/CDE,VZAEB+ZBAE=90°,•：4CDE=2/BAE,

・・・2N8A£+N8AE=90°,AZBAE=30a,AZCDE=60a.

2.如图，在△A8C中，AC=BC,口、E分别为48、8c上一点，ZCDE=^A.若8c=80,求证：CD=DE.

【解答】证明：VAC=BC,AZA=ZB,\-AC=BCBC=BD,：,AC=BD,ZCDB=ZA+ZACD=

ZCDE+ZBDE,ZCDE=ZA,：.ZACD=ZBDE,

2A=NB

在△AC。与△8DE中，＜AOBD，

ZACD=ZBDE

C.^ACD^^BDE(ASA)t：，CD=DE.

【解答】(I)证明：①丁在△ABC中，/8AD+/8+乙AD笈-180°,AZ^/AD-180o-/B-/ADB,

又・・・NCDE=180°-ZADE-ZADB,且NAOE=NB,.・・N84O=NCZ)E；②由①得：NBAD=NCDE,

2B=NC

在△AB。与△OCE中，AB=DC，：-^ABD^ADCE(ASA),：,BD=CEx

ZBAD=ZCDE

'AB=DC

(2)解：在△AB。与△OCE中，＜NB=/C，•••△ABO也△QCE(SAS),:・/BAD=/CDE,

BD=CE

又,.•NAOE=18(T-NCDE-NADB,AZ4DE=180v-/BAD-/ADB=NR,

在△ABC中，/6AC=7(T,ZB=ZC,/.Z5=ZC=A(180n-ZBAC)=Ax110n=55

22

・・・/AOE=55°.

【释答】解：^ADA-CE,BE1CE,；.NADC=NE=90°,/.ZACD+ZCAD=90°,

•・・/AC8=90°,AZACD+ZBCE=9()9,:・NBCE=/CAD.

rZE=ZADC=90°

在△8CE和△CAQ中，-ZBCE=ZCAD，•••△4CE@Z\C4D(AAS),

CB=CA

：.CD=BE=](rm),CE=AD=2.5(cm}.：.DF=CE-CD=2.5-I=1.5(cm).

5.已知，如图①，在AABC中，NBAC=90。，AB=AC,直线m经过点A,BD_L直线m,CE_L直线m,垂足分别为

点D.E,求证：DE=BD+CE.

⑵如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB=AC,D.A.E三点都在直线m上，并且有

NBDA二NAEONBAC二a,其中a为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立，请你给出证明：若

不成立，请说明理由。

【解答】解：(I)DE=BD+CE,理由如下：•・・/BAC=90°,.・・N84O+NCAE=9(r,CEL

〃?，・・・NAQ8=/CEA=90°,ZBAD+ZABD=9OC,AZABD=ZCAE,

rZADB=ZCEA=90°

在△ADS和中，-ZABD-ZCAE，/.(A45),,\BD=AE,AD=CE,

AB二AC

・•・DE=AD+AE=BD+CE；

(2)结论DE=BD+CE成立,理由如下：*：ZBAD+ZCAE=\WQ-NBAC,NR4D+N人80=180°-Z

ADB,NADB=NBAC,AZABD=^CAE,

rZADB=ZCEA

在△B4。和△ACE中，，ZABD=ZCAE>(.U5),：,BD=AE,AD=CE,

AB=AC

・•・DE=DA+AE=BD+CE.

rZADB=ZAEC

在AAOB和△CE4中，，NABD二NEAC，^ADB^/\CEA(A4S),：.BD=AE,AD=CE,

AB=AC

・•・BD+CE=AD+AE=DE；

(2)补充N3AC=a,理由如下：：NAO8=NBAC=a,AZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=\S()0-a

/.ZCAE=NABD,

rZABD=ZCAE

在△AO8和△CEA中，，ZBDA=ZCEA*AADB^^CEA(4AS),；.AE=BD,AD=CE,

AB=AC

・•・BD+CE=AE+AD=DE；

(3)补充NAO3=NAEC=1800-a,理由如下：VZADB=lSOa-a,/.ZABD+ZBAD=a,

,：ZBAD+ZCAE=a,AZABD=ZCAE,

rZABD=ZCAE

在△43。和△C4E中，＜NADB=NAEC，•••△A8O且△CAE(A4S),：・AE=BD,CE=AD,

AB=AC

・•・BD+DE=AE+DE=AD=CE；

8.已知R/a/V?。中，NZMC=90°,/W=AC,点E为△人“C内一点，连接入£,CE,CEJ■人过点“作BDLAE,

交AE的延长线于。.

（I）如图1,求证BD=AE；

（2）如图2,点”为8c中点，分别连接E〃，DH,求NEQ”的度数：

（3）如图3,在（2）的条件下，点M为C”上的一点，连接EM,点尸为EM的中点，连接尸”，过点。

作。G_LF”，交川”的延长线于点G,若GH：FH=6：5,△/7/M的面积为30,ZEHB=ZBHG,求线段

石〃的长.

【详解】证明：（1）'：CELAE,BDLAE,，NAEC=NAQB=90°,VZ/MC=90°,

^ACE+CAE=ZCAE+ZBAD=90°,/.ZACE=ZBAD,

:"ABH=NBAH=45°,:・AH=BH,*：ZEAH=ZBAH-ZBAD=45°-ZBAD,

ND8”=180°-ZADB-ZBAD-ZABH=45a-NBA。，：,ZEAH=ZDBH,

（3）过点M作MS_L/77于点S,过点E作ERJ_/77,交”F的延长线于点R,过点E作ET〃BC,交HR

的延长线于点T.'：DG1FH,ERLFH,；,NDGH=NERH=90°,:・NHDG+NDHG=9G°

VZDHE=90°,；./EHR+/DHG=90°,:・NHDG=/HER

1/ETF=NBHG,/EHB=NHET,/ETF=NFHM,'：/EHB=4BHG,工/HET=/ETF,

设G”=6A,FH=5k,则"G=ER=MS=6鼠

HE=HT=2HF=1072-

【解答】解：（1）^BDLAE,CELAE,AZADB=ZCEA=9T,ZABD+ZBAD=9Q°

又.・・N8AC=90°,.\ZE4C+ZBAD=90d,AZABD=ZCAE,在△ABO和△ACE中,

rZADB=ZCEA

]ZABD=ZCAE-'△ABOg/XACE(AAS),：.BD=AE,AD=EC,：,BD=DE+CE.

IAB=AC

(2)'：BDVAE,CELAE,：.ZADB=ZCEA=90°,I.NA6Q+NZMQ=90°,又•.•N/MC=9(T,

・・・/E4C+NBAO=9()°,:・NABD=NCAE,

rZADB=ZCEA

在△A4。和△ACE中，ZABD=ZCAE'AA/WD^AACE(AAS),:・BD=AE,AD=EC,

AB=AC

：.BD=DE-CE.

(3)同(2)的方法得出，BD=DE-CE.

【解答】解：(1)证明：VFD1AC,AZFDA=90°,AZDFA+ZDAF=90°,同理，ZCAE+ZDAF=90°,

.\ZDFA=ZCAE,

(2)作FD_LAC于D,由(1)得，FD=AC=BC,AD=CE,

AAD=2,ACE=2,VBC=AC=AG+CG=4,，E点为BC中点；

(3)当点E在CB的延长线上时，过F作FDJ_AG的延长线交于点D,BC=AC=4,CE=CB+BE=7,

由(1)(2)知：AADF^AECA,△GDFg/XGCB,ACG=GD,AD=CE=7,.\CG=DG=L5,

故答案为：?或2.

33

F

/次

A

图3

E

题型3：坐标系中的三垂直模型类压轴题

II.(广益)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，4(-2,0),B(0,4),点C在第四象限，AC1AB,

AC=AB.

(1)求点。的坐标及NCOA的度数；

(2)若直线8c与x轴的交点为M,点P在经过点C与x轴平行的直线上，求出SNOM+SMOM的值.

【解答】解：(1)作CQJ_x轴于点Q,・・・NCDA=90°.VZAOB=90°,：,ZAOB=ZCDA.：.ZDAC+

NDCA=90°.*：ACLAB,AZBAC=ZBAD+ZCAD=9()°,：,ZBAD=ZACD.

rZA0B=ZCDA

在△ACM和△COA中(NBAD=NACD，(AAS),：.A()=CD,()B=DA.

BA二AC

VA(-2,0),B(0,4),，OA=2,08=4,：,CD=2,DA=4,/.OD=2,：.OD=CD.

•・•点C在第四象限，・・・C(2,-2).,：ZCDO=90°,.\ZCOD=45°./.ZCOA=180°-45°=135°.

(2):PC〃x轴，，点P到x轴的距离相等，，S^POM=S&.:.S^POM+S^BOM=S^+S^BOM=S^BOC.

4X9

S^POM+S^BOM=S^.BOC—-------=4.

2

12.(师大)已知，AABC是等腰直角三角形，BC=AB,A点在x负半轴上，直角顶点8在y地上，点C

在x轴上方.

(1)如图1所示，若4的坐标是(-3,0),点8的坐标是(0,1),求点C的坐标；

(2)如图2,过点C作8J_y轴于。，请直接写出线段04。。，CD之间等量关系；

(3)如图3,若x轴恰好平分N8AC,8c与x轴交于点E,过点C作CF_Lx轴于F,问CF与AE有怎样的

数量关系？并说明理由.

【释答】解：（1）作轴于〃，如图1,•・•点A的坐标是（-3,0）,点5的坐标是（0,1）,

・・・DA=3,OB=1,〈△ABC是等腰直角三角形，:,BA=BC,/4BC=90°,ZABO+ZCBH=90°,

•・・/A8O+NBAO=90°,:・/CBH=/BAO,

rZA0B=ZBHC

在△480和△8CH中，ZBA0=ZCBH«:•△ABgXBCH,：,OB=CH=\,OA=BH=3,

AB=BC

；・0H=0B+BH=1+3=4,/.C(-1,4)；

(2)OA=CD+OD.理由如下：如图2,•••△ABC是等腰直角三角形，:,BA=BC,ZABC=90°,

・・・/4BO+NC8O=90°,丁乙480+/孙。=90°,：.ZCBD=ZBAO,

'/A0B=NBDC

在△AB。和△BC。中＜NBAO/CBD，，4ABOQ丛BCD,：.0B=CD,0A=BD,而BD=0B+0D=

AB=BC

CD+OD,••・0A=CD+0Q；

(3)CF=X\E.理由如下：如图3,CF和48的延长线相交于点。，・・・NC8O=90°,

2

VCF±x,••・N3CO+NQ=90°,而NDAE+NQ=90°,:・NBCD=NDAF,

rZABE=ZCBD

在△ABE和△CB。中，(AB=CB，•'.△ABE丝△C8D(ASA),：,AE=CD,

ZBAE=BCD

•・」轴平分NMC,C产_Lx轴，:,CF=DF,：.CF=^CD=X\E.

22

13.（青竹湖）如图1,8=2,05=4,以4点为顶点、A8为谡在第三象限作等腰RtZXA8C.

<1)求C点的坐标;

(2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作

等腰RtZ\4PD,过。作D£J_x轴于E点，求OP-DE的值；

(3)如图3,已知点F坐标为(-2,-2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作RtZXFGH,始

终保持NGFH=90°,FG与y轴负半轴交于点G(0,m),用与x轴正半轴交于点H(0,0),当G点

在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求证m+n为定值，并求出其值.

【解答】解：(1)过C作CMJ_x轴于M点，如图1,VCM104,AC1.AB,N/VMC+NOWB=90",Z

OAB+ZOBA=90},则NMAC=/O84,

rZCMA=ZA0B=90°

在△MAC和△。84中，，ZMAC=Z0BA,(AAS)

AC=BA

：.CM=OA=2,MA=OB=4,・••点C的坐标为(-6,-2)；

(2)过。作。Q_LOP于。点，如图2,则OP-QE=PQ,ZAPO+ZQPD=90°ZAPO+ZOAP=90°,

rZAOP=ZPQD=90°

则NQ尸。=NOA匕在Z\AO产和中，-ZQPD=Z0AP

AP=PD

则△40。丝△PDQ(AAS),：,OP-DE=PQ=OA=2x

(3)结论②是正确的，机+〃=-4,如图3,过点尸分别作正S_Lx轴于S点，尸7_Ly轴于7点，

'NFSH=NFTG=90°

则五S=b=2,/FHS=/HFT=/FGT,在△/S”和△/TG中，-ZFHS=ZFGT

FS=FT

则△砂”丝△尸TG(A4S),则GT^HS,又,：G(0,小)，H(/7,0),点尸坐标为(・2,-2),

：,OT=OS=2,OG=\m\=-m,OH=n,:・GT=OG-OT=・m-2,HS=OH+OS=n+2,

贝ij-2-〃?=〃+2,则〃?+〃=-4.

【解答】（1）解：如图1,

），八

A

5；

DO

图1

作AC_Lx轴于C,作轴于。，・・・N4CO=NBQO=90°,/.ZAOC+ZA=90°,VZAOB=90°,

・・・/40。+/8。。=90°,AZA=ZBOD,

rZAC0=ZBD0

在△AOC和△08。中，＜NA=/B0D，•••△4OC丝△08。(AAS),：,OD=AC=\b\,BD=OC=\a\,

OA=OB

・・・B(-0,a)；

:・NBCD=NCOD=9⑺,•:NBEC=NDEO,

AZACO=ZBDO,VZAOB=/C0D=W,:.ZAOB+NB0C=NCOD+NBOC,

即：4Aoe=ZB0D,：OA=OB,:•△AOC^ABODCASA),：.OC=OD；

(3)如图3,

延长OM至N,使MN=OM,MO的延长线交A6于Q,连接0M\'OM//BD,BDYAB,

：,OQLAB,ZAOQ=Z=—ZA0B=45°，NDON=/BDO=NBCO,'：OA=OB,：,AQ=BQ,

2

・・・AM=OM,VZAMO=ZDMN,，△4M0g/\QMN(SAS),工NN=NAOAf=180°-NAOQ=135°,

•・・/ABO=45°,：.ZOCB=\35°,：./N=/OCB,'：OD=OC,A(A45),

.\0N=BC=4,0M=^Q^=2>

15.如图.在平面直角坐标系中,点。为坐标原点,点A(0.3)与点A关干x釉对称.点。(〃・0)为r

轴的正半轴上一动点.以AC为边作等腰直角三角形ACQ,N4CZ)=90°,点。在第一象限内，连接8。,

交x轴于点足

(1)如果NOAC=38°,求NOC”的度数；

(2)用含〃的式子表示点。的坐标；

(3)在点C运动的过程中，判断0〃的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由.

【解答】解：(|)VZ/AOC-900,.••/QAC+/ACO—90°,VZ/\CD-90°,Z1DCF+ZACO-90Q,

：,ZDCF=ZOAC,•・・/OAC=38°,/.ZDCF=38°；

(2)如图，过点Q作。，_Lx轴于，，・・・NC”O=90°，NAOC=NC〃Q=90°,二•等腰直角三角形ACD,

ZACD=90°.\AC=CD,由(1)知，4DCF=/0AC,：.^AOC^/\CHD(AAS),：.OC=DH=n,AO

=CH=3,・•・点。的坐标(〃+3,〃)；

(3)不会变化,理由：•・•点A(0,3)与点6关于％轴对称，点A0=5。,又・.・。。_148,轴是。8垂

直平分线，；・AC=BC,：,ZBAC=ZABC,又二人0二。。，:.BC=CD,:・NCBD=/CDB,VZACD=

903,^ACB\ZDCB=270°,AZBACiZABC\ZCBD\ZCDB=90°,AZABC\ZCBD=45°

VZBOF=90°,：,ZOFB=45a,，NOB尸=NOF8=45°,：.OB=OF=3,

尸的长不会变化.

16.如图，四边形(MAC的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A(0,a),B(/7,a),C(b,0),又

。，力满足江力-行京工2+4〃+8=0,点尸在x轴上且横坐标大于从射线。。是第一象限的一条射

2

线，点。在射线0。上，BP=PQ.并连接3Q交y轴于点M.

(I)求点A,B,。的坐标为A、B、C.

(2)当BPLPQ时，求NAOQ的度数.

(3)在(2)的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且。尸=34M,试求点M的坐标.

V

【解答】解：(1)•：7a-4-V4-a+--^"+4/?+8—0,Va~4-V4~a+--(〃-4)2=(),

22

.,.<7=4,b=4,・"(0,4),8(-4,4),C(-4,0),

故答案为(0,4),(-4,4),(-4,0)；

(2)由(1)知，A(0,4),B(-4,4),C(-4,0),：,AB=BC=OC=OA=4,；・四边形OA8C是菱

形，・・・乙40。=90",・•・菱形043。是正方形，过点Q作QN_Lx轴于N,・・・NPNQ=90°,.・.NQPN+N

P0N=9O°,・.・BPLBQ,：.ZBPQ=90°,:.NBPC+/QPN=90°,:.NPQN=/BPC,由(1)知，B

(-4,4),C(-4,0),・・・8C=4,BClx,:./BCP=NPNQ=90°,

rZBCP=ZPNQ=90°

在ABC尸和△PNQ中，，ZBPC=ZPQN，

BP=PQ

:.XBCP^APNQ(AAS),:・CP=QN,BC=PN,：,OC=PN=4,

①当点"在X轴负半轴时，如图1、OC=CP\OP,PN=OP\ON,:.CP=ON,,:CP=QN,：.ON=QN,

•・・/PNQ=90°,・・・NQON=45°,AZAOQ=45a,

②当点。在x轴正半轴时，如图2、OC=CP-OP,PN=ON-OP,:.CP=ON,•:CP=QN,：,ON=QN,

*：NPNQ=90°,：.ZQON=45,,/.ZAOQ=45°,即：N4OQ=45°；

(3)如图2,过点。作QN_Lx轴于N,设P(m,0)(w>0),\'OP=?>AM,：.AM=^OP=Xn,

33

.・・M(0,2加+4),•・,点8(-4,4),・••直线8M的解析式为)，=工.+2加+4,由(2)知，PN=OC=4,

3123

AV(w+4,0),：.Q(w+4,w+4),'・•点。在直线BM上，A-Lw(w+4)+X«+4=/n+4,

123

:・m=0(舍)或m=4,：.M(0,—).

3

17.(雅礼)已知；△A5C是等腰直角三角形，N5AC=90°,AB=AC.

(1)若3(0,〃)，C(b,0)且a、〃满足心云+版-9|=0.则〃=,b=；

(2)如图1,在(1)的条件下，过点A作直线/〃x轴交了轴于点E,过点C作CO_L/于点Q.

①求证：ZXABEg△CA。：

②直接写出A点坐标；

些的比值是否

(3)如图2,过点4和点C分别作x轴和)，轴的平行线相交于点。，若BC=BD,试问

0C

【解答】(1)解：•・•行§+|。-9|=0,又：行§20,

故答案为：3,9.

(2)①证明：如图1,

•・•直线/〃工轴交)，轴于点E,过点C作CDU于点D,，NAEB=N4QC=90°,

/△ABC是等腰直角三角形，：,AB=AC,ZBAC=90°，，乙48E+NB4E=90°,/BAE+NCAQ=90°,

rZAEB=ZCDA=90°

/.^ABE=ZCAD,在△AE8和△CZM中，ZABE=ZCAD，・••△AE跆△CQA(AAS).

,AB=CA

②解：,:：.BE=AD,AE=CD,设8E=AQ=〃?，'：B(0,3),C(9,0),

22=22=310,

・・・。8=3,OC=9,.*.«C=5/OBX)C73+9^••.△ABC是等腰直角三角形,

：.AB=AC=返斥=3爪AE=CD=3+x,在RlZXAE打中，则有『+(3+x)2=(3遥)2,

2

解得x=3或-6(舍弃)，；・BE=3,AE=6,(6,6).

(3)如图3中，结论：殁=1.

0C3

理由：延长04交y轴于E,过点B作BT_LCQ于7.设0B=z.

Ar

•;BD=BC,BT1CD,：.DT=CT,,:DE"03CD//0E,A0E=CD,DE=OC,

VCT=OR=DT=t,/.OF=C.D=2t,：.EB=OFi=t,,：/\A