一元二次方程 章节（10知识点回顾+20题型练习）原卷版-2025年新九年级数学暑期预习（苏科版）

元二次方程（10知识点回顾+20题型练习）

B题型梳理

题型一一元二次方程的定义题型十一换元法解一元二次方程

题型二判断是否是一元二次方程题型十二根据判别式判断一元二次方程根的情况

题型三由一元二次方程的定义求参数题型十三根据一元二次方程根的情况求参数

题型四由一元二次方程的解求参数题型十四传播问题（一元二次方程的应用）

题型五一元二次方程的解的估算题型十五增长率问题（一元二次方程的应用）

题型六解一元二次方程一一直接开平方法题型十六与图形有关的问题（一元二次方程的应用）

题型七解一元二次方程一一配方法题型十七数字问题（一元二次方程的应用）

题型八配方法的应用题型十八营销问题（一元二次方程的应用）

题型九公式法解一元二次方程题型十九动态几何问题（一元二次方程的应用）

题型十因式分解法解一元二次方程题型二十其他问题（一元二次方程的应用）

Q知识清单

知识点1一元二次方程的定义（重点）

（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数;

②只含有一个未知数;

③未知数的最高次数是2.

(3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是

2”；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

知识点2一元二次方程的一般形式(重点)

(1)一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式*2+6X+C=0QW0).这种形式叫一元

二次方程的一般形式.

其中ox?叫做二次项，。叫做二次项系数；区叫做一次项；c叫做常数项.一次项系数6和常数项c可取任意实数，二

次项系数。是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了.

(2)要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.

知识点3一元二次方程的解(重点)

(1)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个

方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这xi,X2是一元二次方程°/+&+°=()(a=0)的两实数

根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

ax^+bxx+c—Q(aWO),ax22+te+c=0(a#0).

知识点4：直接配平方法

形如》2=°或(〃x+加)2=p520)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.

如果方程化成/=0的形式，那么可得X=±«；

如果方程能化成(改+加)2=p(0>0)的形式，那么依+加=土4.

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.

③方法是根据平方根的意义开平方.

知识点5：配方法

（1）将一元二次方程配成（x+m）2="的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为办QWO）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

要点诠释：

（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）配方法的理论依据是完全平方公式口2±206+/=（口±6）2.

知识点6：配方法的应用

1.用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.

2.用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值.

3.用于求最值：

“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值.

4.用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用.

要点诠释：

“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧,

是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好.

知识点7：一元二次方程的解法（公式法）

⑴公式引入

一元二次方程亦2+6X+C=0（。/0）,可用配方法进行求解:

1

6、2b-4ac

得ZFt：（x+————

2a4a2

对上面这个方程进行讨论：因为awO,所以4“2>0

力？—4/7/°

①当〃一4d20时，——厂20

4a

利用开平方法，得：x+，=±、叵或，即：XJ土扬-4丝

2av4/2a

—4/7/°

②当〃-4ac<0时，———<0

4a

这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程人分、与手左右两边的值相等，所以原方程没有实数

根.

（2）求根公式

一元二次方程av?+区+°=0（awO）,当Z）2-4ac20时，有两个实数根:

-b+^Jb2-4ac—b—\]b2—4ac

%.—，X、

2a2a

这就是一元二次方程办之+fer+c=O（QWO）的求根公式.

⑶用公式法解一元二次方程一般步骤

①把一元二次方程化成一般形式办?+乐+。=。（。。0）；

②确定。、b、c的值；

③求出4改的值（或代数式）；

④若62-4〃CN0,贝！J把〃、b、。及/-4〃。的值代入求根公式，求出国、x2；若Z>2-4QC<0,则方程无解.

(4)根的判别式

1.一元二次方程根的判别式：我们把从一4℃叫做一元二次方程ax2+bx+c^0(a^0)的根的判别式，通常用符号

"A”表示，记作A=Z>2—4ac.

2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0),

当-44c>0时，方程有两个不相等的实数根；

当4=6?-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当A=6?-4ac<0时，方程没有实数根.

(5)根的判别式的应用

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参数系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题.

知识点8：因式分解法(重难点)

(1)用因式分解法解一元二次方程的步骤

①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

(2)常用的因式分解法

提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等.

要点诠释：

(1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积；

(2)用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0；

(3)用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的

代数式..

知识点9：列一元二次方程解应用题

1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

2.解决应用题的一般步骤：

审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；

设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；

列（根据题目中的等量关系，列出方程）；

解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；

验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）

答（写出答案，切忌答非所问）.

要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

知识点10：常见相关问题的数量关系及表示方法

增长率问题

列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的

数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

（1）增长率问题：

平均增长率公式为a（l+X）"=6（a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.）

⑵降低率问题：

平均降低率公式为a（l-X）"=6（a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.）

面积问题

此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积

公式，找出未知量与己知量的内在关系并列出方程.

数字问题

（1）任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数

位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最

高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是

用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a,十位上数为b,百位上数为c,则这个三位数可表

示为：100c+10b+a.

（2）几个连续整数中，相邻两个整数相差1.

如：三个连续整数，设中间一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1.

几个连续偶数（或奇数）中,相邻两个偶数（或奇数）相差2.

如：三个连续偶数（奇数），设中间一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2.

利润（利息）问题

利息问题

（1）概念：

本金：顾客存入银行的钱叫本金.

利息：银行付给顾客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期数：存入银行的时间叫期数.

利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.

⑵公式：

利息=本金X利率义期数

利息税=利息X税率

本金x（l+利率X期数）=本息和

本金X[1+利率X期数X（1-税率）上本息和（收利息税时）

利润（销售）问题

利润（销售）问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价（成本）

总利润=每件的利润X总件数

利润率=7辱X100%,标价X哗塑=售价

进价（或成本）10

进价x（l+利润率）=标价x邛臀

比赛统计问题

比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环.

传播问题

传播问题：

a（l+x）'!=A,a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，”表示传染的轮数或天数，/表示最终的人数.

B题型练习

题型一一元二次方程的定义

1.（24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.y=3x-4B.x2-x=l

C.xy-4=9D.3（x—2）=8

2.（24-25九年级上•江苏扬州•期末）已知便-2）/+2》-3=0是一元二次方程，则实数斤=.

题型二判断是否是一元二次方程

3.一元二次方程3尤2-4x-6=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.3,—6,4B.3,—4,6C.3,—6,—4D.3,—4,-6

4.将一元二次方程（xTy+4=0化为依2+云+C=0的形式，则a,b,。的值分别为（）

A.1,-2,5B.1,-1,4C.-1,5,2D.1,2,5

题型三由一元二次方程的定义求参数

5.已知关于x的一元二次方程X?+3尤+左2一4=0的常数项为0,则人的值为（）

A.-2B.4C.2或一2D.4或一2

6.计算：

⑴2x（x-3y）+（-x+y）（尤+y）-（x+；

（加

⑵先化简，再求值：*2-一一1卜Am2—4+4|’其中枢的值为方程尤2-2x-4=0的解.

\mm-\）m-mm+2

题型四由一元二次方程的解求参数

7.（24-25九年级上•江苏南通・期末）已知关于x的一元二次方程工2+筋-6=0的一个根是2,则左的值是.

8.（24-25九年级上•江苏徐州•阶段练习）已知机是一元二次方程/一》-3=0的一个根，则2024-苏+加的值为（）

A.2028B.2021C.2024D.2026

题型五一元二次方程的解的估算

9.（23-24-江苏苏州•期中）观察表格，一元二次方程％2-2》-1.1=0的一个解的取值范围是.

A.0<x<lB.1<x<2C.2<x<3D.3<x<4

题型六解一元二次方程一一直接开平方法

11.（2024九年级上•江苏•专题练习）判断方程\=归-2|的根的情况是（）

x-211

A.有四个实数根B,有两个实数根

C.有一个实数根D,无实数根

12.（2025•江苏宿迁•一模）解方程：

（1）2尤2-8=0；

(2)X2+X-12=0.

题型七解一元二次方程一一配方法

13.（24-25九年级上•江苏徐州•阶段练习）用配方法解一元二次方程X?-10尤-11=0,则方程可变形为（x-57=

14.（24-25九年级上•江苏扬州•期末）解方程：

（1）（x+1）（尤-2）=（x-2）；

（2）x2+6x=-4.

题型八配方法的应用

15.（24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习）已知实数6满足b=a+l,则代数式/+人一5a+5的最小值等于

16.（24-25九年级上•江苏南京•阶段练习）把方程》2-8苫+2=0配方后得到方程.

题型九公式法解一元二次方程

17.（2024九年级上•江苏•专题练习）已知方程依2+26+a—9=0至少有一个整数根，则整数a的值为

18.（24-25九年级上•江苏扬州•期末）解下列方程：

（l）x2+4x=0;

(2)2尤2-3无一1=0.

题型十因式分解法解一元二次方程

19.（24-25九年级上•江苏无锡・期末）一元二次方程/一八=0的解为（）

A.X]=X1—0B.X]=X]—4C.X]=0,X?=4D.无解

20.（24-25九年级上•江苏盐城•阶段练习）解方程

（1）X2+2X-3=0

（2）2X2+7X-4=0

题型十一换元法解一元二次方程

21.（22-23九年级上•江苏扬州•期中）己知一元二次方程0"+〃?）2+〃=0（力0）的两根分别为玉=_3,x2=l,则方程

a（x+s-2）~+〃=0（。*0）的两根分别为.

22.（24-25九年级上•江苏扬州•期中）【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程:

（3+2x）gT=T0.

第一步：原方程可变形为：（2x+3）（2x-5）=20；

第二步：令J".21」—］；

2

第三步：第一步的方程可变形为（，+4）（-4）=20；

第四步：...；

75

根据/的值可以求出玉=（,x2=--.

【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法

称为均值换元法，我们在解决形如（亦+力（办+b）=d（其中a,b,c,d是常数，且axO）的方程时可以利用均值

换元法求解.

（1）利用均值换元法解方程体现的数学思想是;

A.分类讨论思想B.数形结合思想C.整体代换思想D.类比思想

（2）完成材料中第三步以后求，值的过程；

（3）利用均值换元法解方程：（200+x）f64-^=14400.

题型十二根据判别式判断一元二次方程根的情况

23.（24-25九年级上•江苏南京•开学考试）一元二次方程一一4x+4=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.不能确定

24.（24-25九年级上•江苏无锡•期末）已知关于x的一元二次方程+左一2=01为常数）.

（1）若方程的一个根为2,求人的值和方程的另一个根；

（2）求证：不论先为何值，该方程总有两个不相等的实数根.

题型十三根据一元二次方程根的情况求参数

25.（24-25九年级上•江苏镇江•期中）若关于x的一元二次方程尤2一6x+〃?=0有两个不相等的实数根，则实数加的值

可以是（）

A.12B.11C.10D.8

26.（24-25九年级上•江苏盐城•期末）已知：一元二次方程x?+2无+后-1=0

（1）当方程的一个根为1时，求出发的值；

（2）左取什么值时，此方程有两个不相等实数根.

题型十四传播问题（一元二次方程的应用）

27.（24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81

人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么所列方程为.

28.（22-23九年级上•江苏宿迁•阶段练习）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性

呼吸道传染病；感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现；在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过

两轮传染后共有121人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一

个人传染了多少人？

题型十五增长率问题（一元二次方程的应用）

29.（24-25九年级上•江苏无锡・期末）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价

的百分率相同，设平均每次降价的百分率为x,可列方程为（）

A.25（l-x）2=16B.25（1+x）2=16C.25（1-2x）=16D.25（l+2x）=16

30.（24-25九年级上•江苏盐城•期末）江苏省教育厅推出名师空中课堂在线教学平台，为学生提供免费辅导.据统计，

某地区第一周名师空中课堂受益学生19万人次，第三周名师空中课堂受益学生26万人次，设从第一周到第三周受益

学生人次的平均增长率为x,则可列方程为

题型十六与图形有关的问题（一元二次方程的应用）

31.（24-25九年级上•江苏南通・阶段练习）如图，将边长为2cm的正方形48co沿对角线/C剪开，再把△NBC沿着4D

方向平移得到A/'B'C',若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2,则它移动的距离应4,等于（）

A.权mB.41cm-1,、3D.2±逝cm

C.一cm或一cm

442

32.（24-25九年级上•江苏常州•期中）若一个矩形的两边长相差2,且面积为80,则较短边的长是.

题型十七数字问题（一元二次方程的应用）

33.（23-24九年级上•江苏苏州•阶段练习）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴,

早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同.诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数,

十位数比个位数小3,个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为.

34.（24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习）已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数.

题型十八营销问题（一元二次方程的应用）

35.（22-23九年级上•江苏常州•期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈

利4元，若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应植多少株？设每盆植x株，则

可以列出的方程是（）

A.（3+x）（4-0.5x）=15