浙江省温州市2024-2025学年高一年级下册期末考试数学（B）试卷（含解析）

20241025学年浙江省温州市高一第二学期期末教学质量统一检测

数学试题（B卷）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

L若复数z=i（2—i）,则z的虚部是（）

A.IB.-iC.2D.2/

2.己知向量,=（1,1）,2=（42）,若五与b垂直,则实数2的值是（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.已知〃，〃为空间中不重合的直线,a,0,y为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A.若Q1h,bua,则Q1aB.若。〃从buQ,则a〃a

C.若a1y,/?1y,则a1pD.若Q1y,b1y,则a//8

4.下列各组数据中方差最大的一组是（）

A.5»5,5,5,5B.2,2,5,8,8C.4,4,5,6,6D.3,4,5,6,7

5.已知正六边形A6CQM的边长为1,则尼•荏=（）

A.；B.IC1D¥

6.如图，四棱锥S-ABC。的底面是正方形，SOI平面ABC。，点E为SC中点，SD=ADf贝!异面直线

EB与八C所成角的余弦值为（）

£至

?cD1

A.662-

7.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数.设事件甲="第一次点数小于3"，事件乙="第一次

点数为偶数"，事件丙="两次点数之和为8"，事件丁="两次点数之和是奇数”，则（）

A.事件乙和事件丙互斥B.事件丙和事件丁互为对立

C.事件甲与事件丙相互独立D.事件乙与事件丁相互独立

8.已知正三棱柱ABC-的棱长均为1,E,F,G,”分别为棱88】，CC1，AB,AC的中点，点M为

线段上的动点，直线AM与平面力道”交于点N,则点N的轨迹长度是（）

A*1B*12C.|D.3|

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求。全部选对的得6

分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数z=1—Ci,则下列说法正确的是（）

A.在复平面内z对应的点位于第四象限B.z+z=-2/3i

C.团=2=

10.某电商平台决定对会员进行满意度调查.该平台共有2000名会员，其中女性会员1500人，男性会员

500人，采用等比例分层随机抽样的方法抽取容量为80的样本.经计算得女性样本的满意度平均数为9,方

差为2,男性样本的满意度平均数为8,方差为1,则（）

A.男性会员的样本容量为40B.每位会员被抽到的概率为4

C.咕计该平台会员的满意度平均数为8.75D.估计该平台会员满意度的方差为普

1O

11.已知点。是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（3,2）,点8的坐标为（一1,3）,若点C满足前=

2CB,BD1OA,垂足为。，则（）

A.\AB\=，方B.点C的坐标为（|,令

C.△048的面积为装D.OD=（3卷）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知△48c内角A,B,。的对边为a,b,c,若sinA=，sinC=a=1,贝k=.

13.已知集合U={1,2},4,8是U的子集，且AU8=U,则4nB=。的概率为.

14.有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

正四棱台的上下底面边长分别为2和4,侧棱长为4.

（1）求它的表面积；

（2）求它的体积.

16.（本小题15分）

在等边△ABGf,AB=1,D,£分别是A8和8c的中点，AC=3AF,设荏=G,AC=b.

（1）用向量落B表示而，并求|而I；

（2）求向量荏与前的夹角的余弦值.

17.（本小题15分）

为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市政府拟推行居民阶梯电价制度，使75%的用户缴费在第一档（最

低一档），20%的用户缴费在第二档，5%的用户缴费在第三档（最高一档）.为此，相关部门随机调查了200

户居民去年一年的月均用电量（单位：kW-h）,并将数据整理后画出如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中。的值;

（2）请估计月均用电量第一档的范围;

（3）用频率估计概率，在该市中任选3户居民，不同居民的月均用电量相互独立，求恰有1户居民的月均用

电量在［200,300］的概率.

18.（本小题17分）

如图，在正方体ABCO-Zl'B'C'D'中，48=2,点七为棱A8上的动点（不含端点），点〃为Z/E上一点，直

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因为z=i(2—i)=l+2i,

所以复数z=i(2一i)的虚部是2.

2.【答案】A

【解析】解：•・・4_L方,a=(1,1),d=(A,2),

ab=A+2=0»解得A=-2.

根据苍1方得出苍小=0,进行向量坐标的数量积运算即可求出/I的值.

本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：A：若a_Lb,bua,nJ能aua或a与a相交或。与a平行，相交也不一定垂直，故A错误;

B：若。〃5,bua,可能Qu1或“//故8错误；

在C中，若a_Ly,0_Ly,则a与夕相交或平行，故C错误；

在。中，若QJ_y,b_Ly,则由线面垂直的性质定理得a〃b,故D正确.

4.【答案】B

【解析】解：选项4数据为5,5,5,5,5的平均数元=5,每个数据与平均数的差均为0,

故方差S2=1(02+02+02+02+02)=0；

选项&数据为2,2,5,8,8的平均数工=2+2+；+8+8=5,

方差为s2=1[(2-5)2+(2-5)2+(5-5)2+(8-5)2+(8-5)2]=|(9+9+0+94-9)=y；

选项C数据为4,4,5,6,6的平均数已=4+4+.：+6+6=5,

D

方差为s2=1[(4-S)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)24-(6-5)2]=

选项Q：数据为3,4,5,6,7的平均数4=3+4+:6+7=5,

方差为s2=j[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]=|(4+1+04-1+4)=2；

比较各组方差：0＜：＜2＜当，故方差最大的是选项B.

5.【答案】C

【解析】解：•••在边长为1的正六边形48CQEF中,

•••△4CE是边长为C的正△，

所以亚•亚

=>!~3x\/3cos60°

故以。为原点，分别以DA,DC,DS所在直线为x,)，，z轴建立空间直角坐标系,

设50=40=2,则4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),5(0,0,2),

因为点£为SC中点，所以E(0,l,l),

所以函=(2,1,—1)，AC=(-2,2.0)»

设异面直线E4与AC所成角为明

|丽河_2_/3

则cos。=

画|福一/6x2/2一~6,

故选4

7.【答案】D

【解析】解：抛掷骰子两次，总共有6x6=36种等可能结果.

事件甲(第一次点数小于3)：第一次为1或2,共2x6=12种结果，P(^)=l|=l；

事件乙(第一次点数为偶数)：第一次为2、4、6,共3x6=18种结果，P(Z)=15=1；

事件丙(两次点数之和为8)：可能的组合为(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5种结果，P(西二费;

事件丁(两次点数之和为奇数)：需一次奇一次偶，共3x3+3x3=18种结果，P(n=^=1.

选项4：乙包含第一次为偶数的结果（如（2,6））,丙包含和为8的结果（如（2,6））,两者有交集，不互斥，A

错误；

选项8：丙是和为8（偶数），丁是知为奇数，两者互斥但并集不为整个样本空间（存在和为偶数但非8的情

况），非对立，8错误；

选项C甲C丙仅含（2,6）（第一次为2,和为8）,共1种结果，P［甲C闪）=皋而P（曲尸（劭=*总=

磊，不相等，不独立，C错误；

选项。：乙n丁为第一次偶数且第二次奇数（和为奇数），共3x3=9种结果，P（Zn7D=^=1;而P（乙

）P（7）=lx1=i,相等，事件乙与事件丁相互独立，Z）正确.

故选D.

8.【答案】C

【解析】解：连接AF,分别交为G,十点P,Q,因为点M在线段E/上运动，故AM在平面

AEP内，又因为线AM与平面41GH交于点M故点N的轨迹为平面AE"与平面4GH的交线，即线段

PQ，

在RTLAAXH,RTAACF中，可得力道==4F=?，

•:H,"分别为棱AC,CQ的中点，故△/Mi”且△4CF,乙凡4c="Mi”，

-LAA^H+/.AHAx=90°,Z.FAC+Z-AHAX=90°,即J.4几

=；.AHTAi，，仅=g•••AQ=）F，

LaLaOO

同理，AP=^AE,故PQ/IEF,且PQ=V"=,故此题选C.

DOKJ

9.【答案】ACD

【解析】解：选项A：兔数z=•在复平面内对应的点为（L-O,实部1>0,虚部一V^VO,因

此位于第四象限，4正确；

选项8：共扼复数2=1+Ci，则z+2=（l-Ci）+（1+Ci）=2,与选项中一2，&不符，8错误；

选项C：复数的模长|z|=JI?+（—JI，==2,共枕复数的模长与原复数相等，

故|2|=2,C正确；

选项6计算3有理化分母得：=（「君，管播广转=¥==+*。正

确.

故选ACD

1().【答案】BCD

【解析】解：选项A：等比例分层抽样中，男性样本容量为500x儡=500x^=20,故A错误；

乙UUU乙。

选项&每位会员被抽到的概率为卷索=白，故B正确；

选项C总体满意度平均数估计为各层平均数按比例加权平均，女性占比黑=3,男性占比瑞=；，则

总体平均数为反乂9+，8=1寻=苧=8.75,故C正确，

44444

选项Q：总体方差估计需计算各层方差与层间差异的加权和.

设总体平均数〃=8.75,女性层：比例必=方差登=2,平均数焉=9,

则后一=(9-8.75)2=0.0625,贡献为，x(2+0.0625)=|xj|=||；

男性层：比例卬2=3，方差或=1，平均数元2=8,

则02-研=(8-8.75)2=0.5625,贡献为，x(1+0.5625)=1x^=^,

总体方差为各+含=督=*故。正确.

64646416

故送BCD.

11.【答案】ACD

【解析】解:选项4点4(3,2),点3(-1,3),

贝―3)2|(3―2)2=J(4)2|12=V16I1=/17,故A正确；

选项必设C(x,y),由尼=2而得0—3/-2)=2(—1一%,3一外，

即方程组：｛〉箕然；，，解得y=|，

故竭，》,与选项C的(|,9不符，5错误;

选项C：向量万5=(3,2),OB=(-1,3)»

OAOB=3x(-1)+2x3=-34-6=3>0,

口-1“OAOB33/T5O.).11/15(5

所以C0SZ4°8=屈网=ExE=~L30~,则ms】n4=f,

所以品。广卜/官乂/宜乂当含二冷，故C正确；

选项。：因。在0/1上，O人方向向量为(3,2),

可设0(3£,2£),则丽=(3t+1,2£—3),由801。/得丽•五<=0,

即：3（3t+1）+2（2t-3）=On9t+3+4t-6=0=>13t=3=t=，

故。即00=舄,（），£>正确。

12.【答案】XO

【解析】解：在△A8C中,sin4=，,sinC=青

由正弦定理可得：。=普=覃

sin/i-is

5

13.【答案"

【解析】解：确定全集U的子集：U={1,2},其子集有。，{1},{2},{1,2},共4个.

满足4118=（7的（48）组合数；

当4=。时,B必须为{1,2}（1种）;

当4={1}时,B需包含2,即3={2}或{L2}（2种）：

当{={2}时，B需包含1,即8={1}或口,2}（2种）；

当4={1,2}时,8可为任意子集（4种）;

总共有1+2+2+4=9种符合条件的组合.

满足An8=。的组合数；

A=0,8={1,2}（符合）；

4={1},9={2}（符合）：

A={2},B={1}（符合）;

A={1,2）,8=。（符合）；共4种符合条件的组合.

所以An8=。的概率为

14.【答案】2/2-2

【解析】解：设半径为2的四分之一球的球心为。，其内部小球的球心为C,

当内部小球与四分之一球的两个平面部分与一个球面部分都相切时，小球半径取最大,

设内部小球半径的最大值为八四分之一球的半径为R=2,

则|0C|=Vr2+r2=>J~2r,

又，+|0C|=R,

即r+\/~2r=2,解得r=2\/~2—2.

故答案为22-2.

15.【答案】解：如图

(1)正四棱台由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成，

易知等腰梯形的高为,42-12=/15»则等腰梯形的面积为0券x/15=3，讴，

所以正四棱台表面积为S=224-42+4x3/15=20+12/15，

(2)在正四棱台48。。一力181601中，点。1，O分别为上、下底面的中心，连接。4,。1&,。%,

则由题意可知。】。1底面ABCQ,OA=2/2，。出=

过点为作为£〃。。1交A。于点E,则4E1底面ABCD,

进而得四边形。E&O1为矩形，OE=Oi&=JI，

所以4E=2/2-V2=yf2,

又因为=4,

所以为E=。1。=J/!用一4E2=即正四棱台的高为VH，

所以正四棱台的体积为V=1x/14x(4+16+V4x16)=〈旧x(20+8)=驾更

JJJ

16.【答案】解:⑴而二:而=?，

AF=1AC=\b,

则赤=AF-AD=^b-^a.

由于A4BC为等边三角形,则|G|二|方|=1,且五与方的夹角为60。,

故E-b=|a||b|cos60。=lxlx1=i,

1111G1111111

T一Tw

五2b

-b-^----b-----

32022a)33223(-2H)

112.11-121-H11,1d111,114+9-67

因此|研二

(2)BC=AC-AB=b-at故而="肝=—砂，

因此4E=AB+FE=a+^(b—a)="互+gb,

AE-DF=©五+,I).©b—=演qb+、五.(一,5)+:b•、b+3b.(一:或=^(a•b)—^|a|2+

-1\,Tb\.2^--1{,aT-b工)、=-1、x-1--1xl4^.-1xl4--1x-1=-1--1-.V1-1--2=-6^+4—-3=--3=--,1.\-A7E-p\.=.\1-^a+.

殉=+2五不+|引2=ljl+2xi+l=”二学

设向量彳反与前的夹角为仇

八AEDF-51123/21

t,C0S"一网.|函一杏-申--2771---14--

17.【答案】解：(1)(0.00255+0.00465+a+0.00045+0.0002+0.00015)x100=1,

解得：a=0.002.

(2)由题意可知：月均用电量在［0,100)的频率为0.00255x100=0.255,

月均用电量在［100,200)的频率为0.00465X100=0.465,

月均用电量在［200,300)的频率为0.002X100=0.2,

因为0.255+0.465+0.2>0.75,0.255+0.465<0.75

设月均用电量第一档的范围为［0,制，则200<x<300

则0.255+0.465+(%-200)x0.002=0.75,

解得：x—215.

故月均用电量第一档的范用为［0,215］.

(3)记事件4="第一户的月均用电量在［200,300］”，B="第二户的月均用电量在［200,300］”，。="第

三户的月均用电量在［200,300］”,D="3户中恰有1户居民的月均用电量在［200,300］”.

用频率估计概率，得P(A)=P(B)=P(C)=I，

根据概率的加法公式和事件独立.性的定义，得P(D)=P(ABC)+P(ABQ+P(ABQ=3x|x|xi=-^.

18.【答案】(1)证明:-D'EHA'D=HfDSM,E,。四点去面，

•.•平面AB'C'DV/平面ABCD,平面D'MEDn平面4'夕C'D'=D'M,平面D'MEOn平面力BCO=DE,

•••D'M//DE,

D'M平面ADE,DEu平面4D4,.RM〃平面ADE；

(2)(i)证明：连接A。'，

•.♦/B1平面44'D7),大。匚平面44'。。，，4814。,

又4'。1.4。，AD',4Bu平面4'DE,AD,QAB=A,

AD1平面AD'E,

•••D'Eu平面4D'E,

A'D1D'E,

乂•；D'E工DM,4'0,0"(=平面4'"。，A'DdDM=D,

•••D'E1平面4MD;

(ii)解：设AE=x，作力NID'M交D'M于点M

•:AN1D'M,AN1D'D,D'MCD'D=D',D'M,O'Du平面D'DE,

/.A'N1平面D'DE,

NAHN即为所求,

♦.•力加〃平面。。£,

A

AN=念一叫加'DE-dA-DE=y=j»

•••ZTE1平面AMD,AHu平面AMD,

…A，H=W

・•.sinvAH,平面。。£>=*=筌券=A%4-8/-9=0nx=l,

•••兰力E=1时，直线与平面ODE所成角的正弦值为5.

19.【答案】解：（1）由正弦定理，号=白，即匕=竺萼，

、'sinAsinBsinA

将其代入己知条件，5bcosA=asinB,得，5-QSinf-c