整式乘除法的三种考法-八年级数学上册压轴题（人教版）

专题05整式乘除法的三种考法全攻略

类型一、不含某项字母求值

例L已知计算(5-3》+必2-6X3).(-2x2)r(-3x3+〃x-l)的结果中不含一和/的项，求叭〃的值.

【答案】机=1.5,”=-10.

【详解】解：(5-3%+加/-6%3)•(-2x2)-x(-3xJ+nx-l)

=-10x2+6x3-2mx4+12x5+3x4-nx2+x

=12—+(3-2m)x4+6x3+(-10-H)X2~\~X,

由结果中不含x,和，项，得到3-2加=0,-10-H=0,

解得：加=1.5,〃=-10.

【变式训练1】已知将(丁+加x+〃)(、2—3x+4)展开的结果不含丁和一项，(团、〃为常数)

(1)求m、n的值；

(2)在(1)的条件下，求(加+〃)(加之一加〃+/)的值.(先化简，再求值)

fm=-4

【答案】(1)\ic；(2)m3+n\-1792

[n=-12

【详解1(1)(x3+mx+H)(X2-3x+4)=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n,

(,，c〔4+根=0m=—4

=x5-3x4+(4+m)x3+(H-3m)x2+(4m-3n)x+4n,由题意得：｛,角军得：

[n—3nm=0n=-12

(2)(m+«)(m2—mn+n2)=m3—m2n+mn2+m2n—mn2+n3=m3+n3,

当m=-4,〃=一12时，原式=(—4)3+(-12)3=—64—1728=—1792

【变式训练2]己知+a+8)，_3x+q)的展开式中不含一和丁项.

(1)求。国的值.

(2)先化简，再求值：[(2p+g>+(2p+3g)(3g-2p)-6g]+(-2q).

[p=3

【答案】(1),;(2)-5q-2P+3；-8.

[4=1

【详解】(1)(-V2++-3x+^)=x4-3x3+qx2+px3-3px2+pqx+Sx2-24x+8^

=x4+(p-3)x3+(q+8—3p)x2+(pq-24)x+8q.

^+8-3/2=0P=3

展开式中不含Y和d项,.解得

P一3二04=1

(2)[(2夕+g)2+(2p+3q)(3夕一22)一6夕]+(-2夕)=(4p2+q2+4pq+6pq-4p2+9q2-62q-6q)+(-2q)

二(lOq?+4pq—6q)+(—2q)—2q(5q+2〃一3)+(—2q)=—5q—2p+3.

\p=3

当《,时，原式=-5xl-2x3+3=-8.

匕=1

【变式训练3】(1)试说明代数式(s-2/)(s+2/+l)+4/"+g]的值与s、/的值取值有无关系；

(2)已知多项式办-6与2无2-x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为-4,试求/的值；

(3)已知二次三项式2*+3x-左有一个因式是(2%-5),求另一个因式以及上的值.

【答案】(1)代数式(s-2f)(s+2f+l)+4f，+；j的值与s的取值有关系，与t的取值无关系，理由见详解；

(2)1；(3)k=2Q,另一个因式为：x+4.

【详解】解：(1)(■s-2/)(5+2?+1)+4Z^+=s2+2st+s-2st-4t2-2t+4t2+2t=s2+s.

故代数式(s-2/)(5+2f+1)+由，+'的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；

(2)(ax-b)(2x2-x+2)=2ax3-ax2+2ax-2bx2-^-bx-2b,

又・・・多项式"-b与2X2-X+2的乘积展开式中不含工的一次项，且常数项为-4,

.•.2a+fa=0,-2fa=-4,fa=2,^=(-1)2=1；

(3)・・,二次三项式2/+3x-左有一个因式是(2x-5),

2x2+3x-k=(2x-5)(x+m)=2x2+2mx-5x-5m,.,.2zr)-5=3,5m=k,

=4,k=20,另一个因式为：x+4.

【变式训练4】(1)先化简，再求值：已知(。+2)2+|。+6+5|=0,求3Q2。—12。%—(2ab—a?。)—4/]—的

值.

(2)若(x+")(x2-3x+7?)中不含x,"项,求利,"的值.

【答案】(1)4a2+ab,22；(2)m=3,n=9.

【详角军】(1)・.・(。+2)220,\a+b+5\>0,(〃+2)2+|a+6+5|=0,

.•・Q+2=0且a+b+5=0,解得：a=-2,6=—3,

3a2b-^2a2b-{lab-a2b^~4a2~^-ab

=3a2b-2a2b+2ab-a2b+4a2-ab=4a2+ab=4x(-2)2+(-2)x(-3)=22.

(2)(x+/M)(x~-3x+〃)=x3-3x2+nx+mx2-3mx+mn=JC3+(m-3)x2+(n-3m)x+mn,

,:展开式中不含x、x2项，

■,■m-3=0,n-3m=0,

解得：m=3,n=9.

类型二、与几何的综合问题

例1.如图，将边长为(。+6)的正方形剪出两个边长分别为。，6的正方形(阴影部分).观察图形，解答下

列问题：

(1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积.

方法1:,方法2：；

(2)从中你发现什么结论呢？:

(3)运用你发现的结论，解决下列问题：

①已知》+>=6,g孙=2,求寸+,的值；

②已知(2021-+(x-2020)2=9,求(202l-x)(x-2020)的值.

【答案】(1)a2+b2,(。+»-2仍；(2)a2+b2=(a+b)2-2ab；(3)①28；②-4.

【详解】解：(1)方法1,阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即/+〃，

方法2,从边长为("+阶的大正方形面积减去两个长为。，宽为6的长方形面积，即(a+b)2-2成，

故答案为：a2+b2,(a+bf-2ab

(2)在(1)两种方法表示面积相等可得，a2+b2=(a+b)2-2ab,

故答案为：a2+b2=(a+by-2ab；

(3)①孙=2,…=4,又发+/=6,

x~+y1—(x+JO?—2xy=6?—2x4—36—8=28；

②设a=2021-x,b=x-2020,则42+/=9,+=

.7(4+Z>)2—(/+/)1—9

(2021-x)(x-2020)=ab=---------------------==—4,

答：(2021-x)(x-2020)的值为_4.

【变式训练1】【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为

。，。的直角三角形和一个两条直角边都是。的直角三角形拼成如如图(1)所示的梯形，请用两种方法计算

梯形面积.

⑴方法一可表示为;方法二可表示为;

⑵根据方法一和方法二，你能得出a,b,。之间的数量关系是(等式的两边需写成最简形式)；

⑶由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8,则其斜边长为；

⑷【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式.如图(2)是边长为a+b

的正方体，被如图所示的分割线分成8块.用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个

等式可以为;(等号两边需化为最简形式)

222

【答案】(1)546+506+2c2；］(Q+6)2；(2)c=a+b,,(3)10

313

⑷(a+b)=/+30b+3ab2+b.

【解析】⑴方法一可表示为：^ab+^ab+^c2

方法二可表示为：；(a+b)2

故答案为：—ab+—ab+—c2;—(a+b)2

1111

—ab+—ab+—c7=—(2ab+c7),

2222

^a+bf=^(2ab+a2+b2\

—(2ab+c2)=—(2ab+a2+/?2),c2=a1+b2

故答案为:c2=a2^b2

(3)vc2=a2+b2=S2+62=100,.\c=10

故答案为：10

⑷方法一可表示为：(。+6)3;

方法二可表示为：a3+3a2b+3ab2+b3.

二等式为：(,a+b)3=a3+3a2b+'3ab2+b3.

故答案为：(a+fe)3=a3+3a2b+3ab2+b3.

【变式训练2】阅读理解下列材料：

"数形结合"是一种非常重要的数学思想.在学习"整式的乘法"时，我们通过构造几何图形，用"等积法"直观

地推导出了完全平方和公式：(°+»2=/+2成+62(如图1).所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个

图形的面积，从而得到一个等式.如图1,从整体看是一边长为6的正方形，其面积为(a+»2.从局部

看由四部分组成，即：一个边长为。的正方形，一个边长为b的正方形，两个长、宽分别为。，b的长方

形.这四部分的面积和为/+2漏+从.因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等,

即(a+=a2+lab+b2.

同理，图2可以得到一个等式:(a+6)(2a+b)=2a2+3ab+b2.

aaba2a2

hb2abab

baa

图1图2图4

根据以上材料提供的方法，完成下列问题：

⑴由图3可得等式：；

(2)由图4可得等式：；

(3)若。>0,b>Q,c>0,且a+6+c=9,ab+be+ac=26,^a2+b2+c2

①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过

这个几何图形得到一个含有a,b,c的等式.

②根据你画的图形可得等式：;

③利用①的结论，求1+〃+c2的值.

【答案】⑴(a+26)2=a?+4ab+4b2；

(2)(2a+b)(tz+2Z?)=2a2++5ab+2b2；

(3)①见解析；②(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29.

【解析】⑴大正方形的面积可表示为=(a+2b)2,

大正方形的面积二各个长方形的面积之和二屋+4M+4〃，

所以(〃+26)2=a2+^ab+4b2,

故答案为：(a+2b)2=a2+4ab+4b2；

⑵大长方形的面积可表示为二(2q+b)(a+2b),

大长方形的面积二各个长方形的面积之和=2q2++5〃b+2b2,

22

所以(2a+6)(a+26)=2a++5ab+2b9

故答案为：(2a+b)(a+2b)=2a2++5ab+2b2；

⑶①所画图形如下：

②正方形的面积可表示为二(a+6+c)2；

正方形的面积二各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab^2bc^-2ca,

所以(〃+b+c)2=a2-^b2+c2+2ab+2bc+2ca.

故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；

③l(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,

/.a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=92-26x2=81-52=29.

【变式训练3](发现问题)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助

我们更容易理解数学问题.

ba

例如，求图1阴影部分的面积，可以得到乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2

请解答下列问题：

（1）请写出求图2阴影部分的面积能解释的乘法公式（直接写出乘法公式即可）

（2）用4个全等的、长和宽分别为。、b的长方形，拼摆成如图3的正方形，请你观察求图3中阴影部分

的面积，蕴含的相等关系，写出三个代数式：（a+b）2、（a—b）2、ab之间的等量关系式（直接写出等量

关系式即可）

（自主探索）

（3）小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a,长为b的长方形纸片拼出

一个面积为（3a+2b）（2a+3b）长方形，请在下面方框中画出图形，并计算x+z=

（拓展迁移）

（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5表示的是一个边长为a+b的正

方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式：

【答案】(1)(o—b)2=a2—2ab+b2；(2)(a+b)2—4a£>=(o—b)2；

(3)图见解析，19；(4)(o+b)3=a3+3a2b+3abz+b3

【详解】(1)阴影部分面积=大正方形面积-非阴影区域面积

即(a-bp=/-6?-26(a-b)=a1—2ab+b2,故答案为(a-6y=a2-2ab+b~；

（2）阴影部分面积=（a-与2,大正方形面积=（。+6）2,长方形面积

大正方形面积-4*长方形面积=阴影部分面积，即：（tz+Z>）2-4ab=（a-b）2■,

（3）将面积为（3a+2»（2a+36）的长方形画出后，按比例分割，图如下:

2=13,所以，x+z=19,故答案为19；

（4）大正方体体积=各小长方体体积之和,即：(a+Z7)3-a3+3a2b+3ab2+b3

故答案为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.

【变式训练4】提出问题：怎么运用矩形面积表示①+2）廿+3）与2.伊5的大小关系（其中y>0）?

几何建模:

（1）画长尹3,宽y+2的矩形，按图方式分割

(2)变形：2y+5=e+2)+(y+3)

（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为（y+2）（y+3）；阴影部分面积可以表示为（y+3）xl,画点部分的面积可

表示为尹2,由图形的部分与整体的关系可知:

(j+2)(y+3)>(y+2)+(y+3),即。，+2)(y+3)>2y+5

归纳提炼:

当a>2,6>2时，表不与a+6的大小关系.根据题意，设°=2+加，b=1+n（m>0,«>0）,要求参照上述研究

方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用铅笔画图，并标注相关线段的长）

【答案】ab>a+b.见解析

【详解】解：（1）画长为2+冽，宽为2+〃的矩形，并按图方式分割.

（2）变形：a+b=（2+加）+（2+〃）

（3）分析：图中大矩形面积可表示为（2+冽）（2+〃）；阴影部分面积可表示为2+冽与2+〃的和.由图形的

部分与整体的关系可知，（2+W）（2+〃）>（2+m）+（2+〃），即ab>a+b.

—>1<-----►!<---------►m<------------

类型三、规律性问题

例1.(1)填空：

(Q-b){a+b)-；

(a-6)(/+ab+b2)=；

(a-6)(/++/+户)=.

(2)猜想：

(a-b)^1+an-2b+•••+abn-2+bn-x)=.(其中”为正整数,且*2).

(3)利用(2)猜想的结论计算：

@27+26+25+24+23+22+2+1

(2)29-28+27-L+23-22+2

【答案】(Qa2-b2,a3-b3,a-4；(2)a"-6";(3)①255；②342

【详解】(1)(a-b)(a+b)=a2~b2；

(<7—b)(a~+ab+b~)=/+a~6+ab~—a~b—ub~-b'=tz，—6，；

(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4+a3b+a2b2+ab3-a3b-a2b2—abi-b4=a4-b4；

故答案分别为：a2-b2,a3-b\a4-b4；

(2)由(1)的规律可得：原式=4—/,

故答案为：an-bn;

(3)027+26+25+24+23+22+2+l

=(2-l)(27+26+25+24+23+22+2+l)

=(2-l)(27+26xl+25xl2+24xr+23xl4+22xl5+2xl6+l)=28-l8=255；

②■,•[2-(-1)][29+28X(-1)+27X(-1)2+---+22X(-1)7+2+(-1)9]=210-110

BP[2-(-1)](29-28+27----+23-2Z+2-1)=210-I10

,10_-|10

.­.29-28+27----+23-22+2-l=—=—=341

3

.­.29-28+27----+23-22+2=341+l=342.

【变式训练11阅读下文，寻找规律：

已知：无21,观察下列各式：

(x-l)(x+l)=X2-1；

(x-1)(x2+X+1)=x3-1;

(X-1)(丁+X2+X+1)=x"1-1；

(x-l)(x4++无2+X+1)=X，-1；

(1)填空：

①(x-l)(x9+x8H-----F/+X+1)=；

②(1-X)(1+X+x3H-----Fx"T+x")=.

⑵根据你的猜想，计算：

①+2019+2018...

22期22++2+1=;

②那么22020+22019+22018+...+2+1的末尾数字为

【答案】(1)①”-1;②(2)①22°21_1；②1

98210

【解析】⑴解：①根据规律可得：(x-l)(x+x+---+x+x+l)=x-l;

②原式=_(xT)(x"+x"T+…+x+l)=-(x”+i_l)=l_x"+i；

(2)解：(1)'.'(x—1)^x"+xn1+...+x+1)=x,,+1—1,

把x=2,“=2020代入，

得：22020+22019+22018+…+2+1=(2-1)(22020+22019+22018+---+2+1)=22021-1,

②的末尾数字是2,2?的末尾数字是4,23的末尾数字是8,2"的末尾数字是6,2,的末尾数字是2,

•••2021+4=505……1,

22。21的末尾数字是2,

.•.22⑼一1的末尾数字是1.

【变式训练2】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角"(如图所示)就是一例.

11.....................................(a-^b)1

\/

121.....................................(a+b)2

\/\/

1331......................................(。+川

这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方(左右)两数之和.事实上，这个三

角形给出了(a+b)"(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在三

角形中第三行的三个数1、2、1,恰好对应(a+b)2=。2+2M+按展开式中各项的系数；第四行的四个数1、

3、3、1,恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+〃展开式中各项的系数等等.

(1)根据上面的规律，(a+b)4展开式的各项系数中最大的数为_；

(2)求出25+5X24X(-3)+10X23X(-3)2+10x22x(-3)3+5x2x(-3)4+(-3)5的值；

20202020201920182

(3)若(x-1)=aiX+a2X+a3x+......+a2O19X+a2O2oX+a2O2i，求出。1+。2+。3+……+。2。19+。202。的值.

【答案】⑴6；(2)-1；(3)-1

【详解】解：(1)第五行即为1、4、6、4、1对应(a+b)4展开式中各项的系数，

(a+b)4展开式的各项系数中最大的数为6,故答案为6；

(2)v(o+b)2=a2+2ab+b2,

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,.....

根据展式中的2最大指数是5,首项。=2,末项b=-3,

.-.25+5X24X(-3)+10X23X(-3)2+10x22x(-3)3+5x2x(-3)4+(-3)5=[2+(-3)]5=(2-3)5=

*1;

202020152018

(3)•・•(X-1)2020=a1X+a2X+a3X+……+。2019乂2+。202力+。2021，