圆（竞赛培优专项训练）解析版-2025-2026学年初中数学竞赛强化训练

专题22圆

目录概览

A考点精研・竞赛考点专项攻坚

考点一圆的基本概念辨析

考点二求过圆内一点的最长弦

考点三圆的周长和面积问题

考点四垂径定理

考点五垂径定理的实际应用

考点六圆心角概念辨析及运算

考点七弧、弦、圆心角的关系

考点八求圆弧的度数

考点九圆周角的概念辨析

考点十90度的圆周角所对的弦是史径

考点十一三角形的外接圆

考点十二判断三角形外接圆的圆心位置

考点十三点与圆上一点的最值问题

考点十四求半径的取值范围

考点十五切线的应用

考点十六证明某直线是圆的切线

考点十七切线的性质和判定的综合应用

考点十八切线长定理

考点十九三角形内心有关应用

考点二十三角形内切圆与外接圆综合

考点二十一圆内接四边形

考点二十二圆和圆的位置关系

考点二十三圆与函数的综合

考点二十四正多边形的中心角

考点二十五正多边形和圆的综合

考点二十六求某点的弧形运动路径长度

考点二十七扇形的面积及定义

考点二十八圆锥的侧面积

考点二十九圆锥侧面上最短路径问题

B实战进阶•竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题25道）

A考点精研•竞赛考点专项攻坚

考点一圆的基本概念辨析

1.下列说法正确的是（）

A.直径是经过圆心的直线B.半圆是弧

C.大于劣弧的弧叫作优弧D.长度相等的弧是等弧

【答案】B

【分析】本题考查圆的基本概念，需逐一分析各选项的正误

【详解】解：选项A：直径是经过圆心的线段，而非直线，直线是无限延伸的，而直径两端在园上，有固定

长度，故A错误；

选项B：半圆是圆上一条直径将圆分成的两部分，每部分均为弧，且弧的度数为180。，故B正确；

选项C：优弧是大于半圆（180。）的弧，劣弧是小于半圆的弧，但选项未限定"在同圆或等圆中"，且"大于

劣弧"的弧可能仍为劣弧（如70。弧大于60。劣弧，但仍是劣弧），故C错误；

选项D：等弧需满足K度相等且在同圆或等圆中能完全重合，仅K度相等未必是等弧（如不同半径的圆中可

能存在长度相等的弧），故D错误：

故选B

2.说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定

是半圆：④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题主要考查了圆的相关概念，解决本题的关键是掌握相关的概念.先回忆弦、直径、弧、半圆、

等弧等相关的概念，然后根据相关概念来逐个判断即可.

【洋解】①直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，错误：

②半径相等的两个半圆是等弧，正确；

③半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；

④在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误；

⑤如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，错误；

综上，正确的有：②③，共2个，

故选：B.

3.给出下列命题：①弦是直径；②圆上两点间的距离叫弧；③长度相等的两段弧是等弧；④半圆所对的

圆周角都相等；⑤圆是轴对称图形，不是中心对称图形；⑥直径是弦.其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考杳了命题与定理的知识，利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的诜项.

【详解】解：①弦不一定是直径，原命题是假命题；

②圆上任意两点间的部分叫弧，原命题是假命题；

③在同圆或等圆中，长度相等的两段弧是等弧，原命题是假命题；

④半圆所对的圆周角都相等，是真命题；

⑤圆是轴对称图形，也是中心对称图形，原命题是假命题；

⑥直径是弦，是真命题.

故选：B.

考点二求过圆内一点的最长弦

4.已知，线段AB=4&，点C为平面上一点，若N4C8=45。，则线段4c的最大值是（）

A.4B.4>/2C.8D.4忘+8

【答案】C

【分析】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，以A5为边作直角三角形OAB,作等腰直角三角形。48

的外接圆。，根据圆周角定理解答即可.

【详解】解：以A6为边作等腰直角三角形OA5,作△OA5的外接圆O,

•••△Q48为等腰直角三角形,AB=4五,

..OA=OB=4,

ZACB=45°,

.•.点。在优弧AB上，

当AC为外接圆的直径时，AC最大，且最大值为8,

故选：C.

5.如图，线段48=6,点C为线段相外一动点，Z4CB=45°,连接8C,M,N分别为AB,8c的中点,

则线段MN的最人值为（）

AMB

A.3B.4C.3及D.3+72

【答案】C

【分析】由定边对等角，判断A、8、。三点共圆，由中位线的性质当取最大值时，即AC取最大值时,

根据圆内最长弦为直径即可求解.

【详解】解：由题知A、B、C三点共圆，

•••M，N分别为AB,8C的中点，

：.MN=-AC,

2

・••当AC过圆心即AC是直径时(如图所示)，AC取得最大值，此时MN取的最大值，

vZACZ^=45°,ZABC=90°

，此时VABC是等腰直角三角形，aBMN是等腰直角三角形，

.,.BM=BN」AB=3,

2

/.MN=xlBM2+BN2=3x/2，

故选C.

【点睛】本题考查了三点共圆的判定，三角形中位线性质，勾股定理，圆周角定理，圆内最长弦的判定；

能判断点C的运动轨迹，熟练掌握好相关的基础知识是解决本题的关键.

6.如图，点A,8的坐标分别是A(4,0),B(0,4),点C为坐标平面内一动点，8C=2,点M为线段

4c的中点，连接OM,则OM的最大值为()

A.6+1B.\/2+-C.2\f2+1D.2V2--

【答案】C

【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的回8上，通过画图可知，C在8。与圆8的交点时,

OM最小，在。8的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论.

【详解】解：如图,

团点C为坐标平面内一点，BC=2,

（3C在0B上，且半径为2,

取。。=。4=4,连接CQ,

^AM=CM,OD=OA,

（30M是财CO的中位线，

当0M最大时，即C。最大，而£）,B,。三点共线时，当。在D8的延长线上时，0M最大，

团OB=OQ=4,13800=90°,

朋。=4&,

团CD=4&+2,

回。0=,。。=2拉+1,即0M的最大值为2a+1；

故选：C.

【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定0M为最大值时点C的位置是

关键，也是难点.

考点三圆的周长和面积问题

7.如图，已知O。是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆.现假设可以随意在图中取点，则这个点取

在阴影部分的概率是（）

A"2（2—0）/VLr4+近

44816

【答案】A

【分析】如图，设。4=a,则O3=OC=a,根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形

和圆的面积，再根据概率公式计算即可.

【详解】解：如图，设O4=a,OB=OC=a,

由正方形的性质可知403=90。.

AB=>]a2+a2=叵a，

由正方形的性质可得CO=CE=0C=。，

0DE=2a,

S阴影=S隰-S小正方形=乃一（岳）'=（"2",

S狂方形=4/,

团这个点取在阴影部分的概率是（'”1<=—,

4a24

【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意

弄清楚图形之间的关系是解题的关键.

8.如图两个半径都是4cm的圆外切于点C,一只蚂蚁由点4开始依A、B、C、。、E、F、C、G、A的顺序

沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚊在这8段路径上不断爬行，直到行走20067icm后才停下来，

则蚂蚁停的那一个点为（）

A.。点B.E点C.C点D.G点

【答案】A

【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可.

【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即!x2x兀x4=2nm,又知绕行8段为一循环，

4

则爬行一圈的路程为2»8=16皿m，

02OO6n=I25XI67TKK67T,6兀+2兀=3,

（3行走2OO67icm后才停下来，那一个点为。点，

故选:A.

【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复

的圈数，再由余数确定最终的位置.

9.如图，是同一种蔬菜的两种栽植方法.甲：48、C。四珠顺次连接成为一个菱形，且AB=8D.乙:

4、B\C\。四株连接成一个正方形.其中两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株

距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部

分的面积表示生长后空隙地面积.设株距都为其它客观因素都相同.则对于下列说法：

①甲的行距比乙的小；②甲的行距为告〃：③甲、乙两种栽植方式，空隙地面积面枳相同；④甲的空隙

地面积比乙的空隙地面积少a?—.

2

其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题考查了等边三角形三角形的性质，正方形的性质，圆的面积，熟练掌握相关知识点是解题的

关键.

根据等边二角形二角形的性质，正方形的性质，圆的面积公式逐项判断即可.

【详解】根据题意求出甲乙的行距，阴影部分的面积即可判断.

解：团甲的株距为。，行距为班“，乙的行距为“，

2

团甲的行距比乙的小，故①②正确，

乙的阴影部分的面积=/-小图工、苧

团甲的空隙地面积比乙的空隙地面积少/—Hl/,

2

故③错误，④正确.

故选：C.

考点四垂径定理

10.如图，两个同心圆，大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦A8与小圆有公共点，则弦AB的取

值范围是（）

A.8<AB<10B.8<A8<10C.4<AB<\5D.4<AB<15

【答案】A

【分析】本题主要考查了圆中的有关性质.利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦

的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键.

当与小圆相切时有一个公共点，此时可知A*最小；当A"B'经过同心圆的圆心时，弦A〃B"最大且与小

圆相交有两个公共点，此时4〃8〃最大，由此可以确定所以的取值范围.

【详解】解：如图，当A9与小圆相切时有一个公共点，

回QD_LA*,

BD，

在+，。。=3,OB=5,

,2222

^BD=yJ(OB)-OD=75-3=4,

团AE=8；

当A"3"经过同心圆的圆心时，弦A〃3〃最大且与小圆相交有两个公共点,

此时4电/10,

所以A8的取值范围是8KA3410.

故选:A.

若A8=6,CD=JB，则。。的半径是（）

11.如图，四边形人BC。内接于00,AB=2CD'

422

【答案】A

【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理,圆心角、弦、弧之

间的关系，勾股定理是正确解答的关键.根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系,勾股定理进行计算

即可.

【详解】解：如图，过点。作OE_LA3,垂足为凡交。。于点E,连接0A4E,

则嘉=彘，AF=BF=^AB=3,

^AB-2CD'

回嘉=g>'

^AE=CD=yfl3,

在中，AE=y/l3,AF=3,

^EF=dAE?-AF?=2，

设半径为R,

在Rt/MOF中，OA=R,OF=R-2.AF=3t

由勾股定理得，。人2=。F2+A尸2,即正=伊-2)2+32,

解得夫=；13.

4

故选：A.

12.如图，A3是。。的直径，弦CDJ_48于点E,/0。石=30。/8=6,则图中阴影部分的面积之和为（）

A

【答案】B

【分析】本题考查了垂径定理、求扇形面积，全等三角形的判定和性质，解题的关键是将阴影部分的面积

转化到规则图形中.

根据题意得出哙△以加，进而得到S“.〃8=S”“，最后将图中阴影部分的面积之和转化为扇形。B。的面

积，进行求解即可.

【详解】解：如图，连接8C.

团4B是OO的直径，弦CO_LA8于点E,

0CE=DE,即AB垂直平夕》CO,

0BC=BD,

又任OC=OD,OB=OB,

®4OB%DOB（SSS）,

贝U$ACO8=S4DOB,

0ZOD/T=30°,

团=900-NODE=60°,

团QA=O5,

回S*O8=Sgoc，

则S&COB=^ADOB=SMOC,

60。3

则阴影部分的面积之和为S”+L形=S皿D+S弓形=5^=­-7ix32=-7r.

0cOBD3b0，

故选：B.

考点五垂径定理的实际应用

13.如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm,瓶内液体已经过半，最大深度CO=7cm,则截面

圆中弦A8的长为()

A.4cmB.4\/6cmC.2>/2TcmD.2V29cm

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾般定理是解题的关键.由

垂径定理得==再由勾股定理得AC,进而完成解答.

【详解】解：连接0A,

D

由题意得：OCLAB,

^AC=BC=-AB,NOC4=90。,

0O4=O£)=5cm,CD=7cm,

团OC=OD-CD=7-5=2(cm),

在R^OAC中，由勾股定理得：AC=>/52-22=V2T(cm)»

A8=2AC=2y/21cm.

回截面即卜弦AB的长为2而:m.

故选：C.

14.如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AA长8m,桨轮船的轮子半径为5m,则轮子的浸水深度C。为

()

水面A

A.2mB.3mC.4mD.5m

【答案】A

【分析】利用垂径定理，勾股定理求出0Q,即可由8=OC-0D求解.

本题考查垂径定理，勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.

【详解】解：,.•0C_LA6,OA=0C=5m,

/.AD=BD=—AB=—x8=4m,

22

:.0D==5/52-42=3m，

:.CD=OC-OD=5-3=2m,

故选：A

15.筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水.如图，水力

驱动半径为2m的筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至八处，水沿AE方向泻至水渠水渠所在直

线与水面平行：设筒车为。0,。。与水面交于M,N,与直线DE■交于8,C,连接AC.若筒车在旋转过

程中的某一时刻，AC=RC,/ACR=3（r,A,O,M二点恰好在一条直线上，则此时筒车在水面下的最大

深度是（）

【答案】C

【分析】本题考查/圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，连接过点。作0FJ_MN交于

点F,证明N0M尸=45。，即可求得。尸，即可解答，作出正确的辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，连接过点。作0/_LMN交于点尸，

•.T,O,M三点恰好在一条直线上，

/.ZABM=90°,

NCBM="BM-ZABC=15°,

根据题意可得8C〃MN,

:.NBMN=NCBM=15。,

：.Z.OMF=ZAMB+4BMN=45°,

/.OF==V2cm,

J2

则此时筒车在水面下的最大深度是（2-0）cm,

故选：C.

考点六圆心角概念辨析及运算

16.如图，在△A8C中，BC=6,04=60°.若何。是△人的外接圆，则00的半径长为（）

A.75B.2GC.D.46

【答案】B

【分析】如图，过。点作0D回BC,交BC于点D,连接OB、0C,则OB=OC,根据题意，进一步分析可知在

Rt0BOD中，里1=巫，据此进•步求出答案即可.

0B2

如图，过。点作ODiaBC,交BC于点D,连接OB、0C,则OB=OC,

00A=6O°,

00BOC=12O°,

0OB=OC,

00BOC为等腰三角形,

0OD0BC,

0BD=-BC=3,0BOD=-0BOC=6O0,

22

回在RtSBOD中，—,

OB2

BP：J-=走，

OB2

国OB=2百，

故选:B.

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质与三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

17.已知财8c内接于囹O,若财08=120。，则回C的度数是（）

A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°

【答案】C

【分析】根据圆周角定理可以得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时分两种情况进一步分析讨论

即可.

【详解】①当点C与线段AB位于圆心的两侧时，

0C=-EAOB=60°；

2

②当点C与线段AB位于同侧时，与上一种情况所得的度数互补；

即此时的回C=120°.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了圆周角定埋的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.

18.如图，A4肛＞是0。的内接正三角形，四边形ACEb是0。的内接正四边形，若线段BC恰是00的一

个内接正〃边形的一条边，则〃=（）

A.16B.12C.10D.8

【答案】B

【分析】连接OB,0C,首先根据等边三角形性质与正方形性质结合圆的相关性质得出（3BAC的度数，然后

进一步根据“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”得出团BOC的度数，由此进一步求解即可.

【详解】连接BO、CO,

由题意可得，0BAD=6O°,0CAF=9C°,

根据4皿是。。的内接正三角形，四边形4CEF是。。的内接正四边形,

…八ZCAF-ZBAD

则：ZBAC=---------------------=15°,

团同弧所对的圆心角是圆周角的2皑,

团NB()C=2ZI3AC=30°,

360

:.n=-----=112O,

30

故选：B.

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

考点七弧、弦、圆心角的关系

19.如图所示，MN是。。的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点8是/^7的中点，点夕是点B关于MN

所在直线的对称点，0。的半径为1,则人9的长为（）

D.2

【答案】B

【分析】本题主要考查圆弧与圆心角之间的关系以及勾股定理的应用、轴对称性质，熟记圆的性质并灵活

应用是解题关键.如图，连接。8、OB',由题意可得，NAQN=60。,由点B是AN的中点可得AB=BN，

即ZAOB=4BON=30°,所以/B'ON=30°,进而得出ZB'OA=90°,由勾股定理即可求出A8’的长度.

【详解】解：如图，连接08、OB',

A

由题意可得，437=60°,

•・•点8是AN的中点,

••AB=BN，

•••ZAOB=NBON=30。,

••.点/是点B关于MN所在直线的对称点，

二B'N=BN

•••4HON=/BON=30。,

NB'OA=90。，

又。4=09=1,

AB1=VOA2+OB^~=JF+0=>f2•

故选：B.

20.如图，在以点。为圆心的半圆中，A8是直径，加+泞C=BD，连接AC，BD交于点、E,连接OC交8。

于点F,若C£=；A8,则CE。的值是（）

【答案】D

【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接O2BC,证明

是等腰直角三角形，得到3C=C£=gAB,勾股定理得到4。=后CE,即可得出结论.

【详解】解：连接OR8C,如下图,

回加+疣=也），

0Z.COD=ZAOD+ZBOC,

□NCOD+ZAOD+Z1BOC=180°,

团"00=90。，

0ZCBD=-ZCOD=45°,

2

团AB是直径，

团N4CB=90。，

⑦NCEB=90。-NCBD=45。=NCBD,即△BCE为等腰百角三角形，

12BC=CE=-AB,

2

回AC=JA*-8c2=6BC=6CE,

^CE-.CA=CE-.x/3CE=—.

3

故选：D.

21.如图，8。是。。的直径，点A,。在。。上，从4=从。，连接4。交3。于点6,连接A及AD,OC,

若NCQ£>=12（T,则AG6的度数为（）

D

A.95°B.100°C.120°D.105°

【答案】D

【分析】本题主要考查圆周角定理、弧弦圆周角之间的关系、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握圆周

角定理是解题的关键.

先根据直径所对圆周角得到NWO=90。，再根据等弧所对角相等得到ZADB=ZABD=45°,最后根据圆周

角定理得到NCA0=6O。，再根据三角形外角的性质即可解答.

【详解】解：国是的直径，

团NE4O=900,

^AB=AD>

团45=AD，

0NADB=NABD=18。°―/'-0=450,

2

0ZCOD=120°,

0ZCAD=-ZCOD=6O°,

2

团ZAG8=ZADB+ZCAD=45°+&）。=105。.

故选:D.

考点八求圆弧的度数

22.如图，已知A4,C。是。。的两条直径，弦CE〃A8,NBOD=112。,则C七的度数为（）

【答案】B

【分析】由对顶角相等得NAOC=NB8=112。，由CE〃A8得到/DCE=180。—NAOC=68。，由OC=OE

得到NOCE=NOEC=68。，即可求出NCOE=180。—NOCE—NOEC=44。，得到CE的度数.

【详解】解：如图，连接OE,

A

B

团48=112。，

0Z4OC=ZBOD=112°,

^CE//AB

（?1ZDCE=180°-Z4OC=68°,

^OC=OE

回NOCE=NOEC=68。，

0ZCOE=180°-NOCE-NOEC=44。,

团CE的度数为44°.

故选：B

【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的

关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键.

23.如图，AB是。。的直径，点。在圆上，将AC沿AC翻折与A8交于点。.若。4=3cm,8c的度数为

30c,则()°

A.100B.120C.60D.30

【答案】B

【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解

答本题的关键.

作。关于AC的对称点，连接力£8旦。后，则，然后再根据BC的度数为30。知N6B=15。，然后再根据

圆周角定理、邻补角性质可得NAOE=180。-60。=120。，即可解答.

【详解】解：如图，作。关于AC的对称点£连接AS8EOE,则NEAC=NBAC,

团8C的度数为30。，

团NC4B=15°,

0Z£4B=2ZC4B=3O°,

0ZEOB=2ZE4B=6O°,

(3ZAOF=180o-60°=120°,

团AD的度数为120。.

故选：B.

24.如图，川他4c是。。的两条弦，且人B=AC,点DP分别在BC和AC上，若NADC=150。，则/APC

的度数是()

A

P

O

A.105°B.110°C.120°D.150°

【答案】A

【分析】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角或弧的度数的一半.

根据圆内接四边形对角互补求得/84C的度数，即可求得BC的度数，进而求得A8的度数，ABC的度数,

则N4PC的度数即可求解.

【详解】解：在圆内接四边形ABC。中，N8AC=18()o-N皿)C=180。一15()0=30°,

则BC的度数是60。，

又任AB=AC,

13AB的度数=AC的度数=；(360。-60。)=150。，

回ABC的度数是150。+60。=210。，

0ZAPC=-x210°=105°.

2

故选：A.

考点九圆周角的概念辨析

25.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,0。是VA4C的外接圆，点A,B,。在网格线

的交点上，则COS/AC3的值是()

1)：7C：

111】

:匕jaJJ打a.jou>弋>~a卜&才ja♦

［：O'：

:A}\:-1/3

!)：；［］

A.叵B.2石C.叵D,亚

5101()

【答案】A

【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键.连接40

并延长交OO于点。，连接则乙48。=90。,乙4。8=44。8,利用勾股定理求解人。的长，再解直角三

角形可求解.

【详解】解：连接A0并延长交于点。，连接8。，

则ZABD=90°,ZACB=ZADB,

QAO=yli2+\2=75

AD=26

•.•>45=4

ABD=JAD-AB?=2

/.cosZACB=cosZADB==—

AD2x/55

故选:A.

26.如图，AB是。。的直径，C,。分别是。。上的两点，OCLOD,AC=2cmfBD=®m，则。。的

半径是（）

C.5/5cmD.3cm

【答案】C

【分析】反向延长0D交圆于E,延长CA作EFI3CA,首先证明CE=CD,然后求出13CAE=135°,根据勾股定理

求出AF、EF、DE,即可求出圆的半径.

【详解】解：如图

反问延长0D交圆于E,延长CA作EF回CA,

0OCQOD,

00COE=0COD=9O°,

0OD=OE

@CE=CD,

00COE=9O°,

00D=45°,

00CAE=135%

00FAE=45°,

00AOE=0DOB,

0AE=BD=-72»

0AF=EF=1,

又RAC=2,

0CF=CA+AF=3,

2

CE=JCF+EF=V32+l2=Vio，

2

DE=VC£2+CD2=yj(Vio)+(Vio)2=275,

则B。的半径=26子2=K，

故选c.

【点睛】本题考查圆周角，勾股定理等知识，解题的关键是做出辅助线EF13CA,属于中考常考题型.

27.如图，OA,0B分别为团O的半径，若CDEOA,CESOB,垂足分别为D,E,0P=7O°,则团DCE的度数为()

P

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】D

【详解】丁0P=7O°：.ZAOB=\4（r•/CD0OA,CE0OB,

/.0DCE=18OO-14OO=4O°故选D.

考点十90度的圆周角所对的弦是直径

28.如图，在四边形A8CD中，zTABC=ZADC=90°,对角线AC和8。交于点E,若AE=4,CE=2,则8。

长的最小值为（）

【答案】B

【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明A,B,C,。四点共圆，得到AC为直径，取AC的中点

即圆心O,得到当弦8OJLAC时，4。取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可.

【详解】解：如图，ZABC=ZA£>C=90°.

财，B,C,。四点共圆，AC为直径，取AC的中点即圆心O,

当弦3。JLAC时，8。取到最小值，

回AE=4,CE=2,直径AC=6.

回半径O8=OC=3,

团OE=OC-K=3-2=I.

在RtZ\OEB中，BE=ylOB2-OE-=732-12=78=272-

团友＞=2BE=4垃.

故选B.

29.如图，。。与心8c的斜iiAB切于。，与AC交于E,DE//BC,若AE=S,AC=3近,BC=6,

则0。的半径为（）

c

•o

EX、/

A.3B.4C.3&D.2G

【答案】D

【分析】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，正确添加

辅助线把半径转化到直角三角形中是解题的关键.延长AC交。O于尸，连接尸证明。尸为直径，

FD1AD.利用“。炉^48。求。石；利用“U)石石求石尸；利用勾股定理求。尸.得解.

【详解】延长4c交0。于凡连接产。，

0ZC=9O°,DE//BC,

团ND即=90。，

(3FD是圆的直径,

(3AB切。O于。,

^FD±AB,

屯DE〃BC,

团△AZ）ES»BC,

,AEDEIIrI2V2DE

同一=——,HP—^==——，

ACBC3x/26

团。E=4,

0Z4PF=9O°,DE1AF,

回△ADESA£）庄,

嗤嚏，即鼠乎

®EF=4五,

团DF=NDE?+EF?=+（4人）=4百，

畔径为25

故选D.

30.如图，已知两条平行线6、和点A是乙上的定点，于点八，点C、。分别是4、上的动点，

且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH工CD于点、H,则当/BAH最大时，sinZBAH的值为（）

【答案】B

【分析】此题重点考查90。的圆周角所对的弦是直径、切线的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角

形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键.作△曲处的外接圆，圆心为点。，由8”_L8于点〃，得

N8〃E=90。，所以班:是。0的直径，由"〃2,点A是4上的定点，AB上％于点、B,得NCAE=NDBE=900,

A5为定值，而ZACE=NBQE,AC=30,可证明△AC%V3OE,得AE==1,OH=OE=\AB,

24

求得=因为当A"与。。相切时，NBAH最大,此时NO〃4=900,所以sinNBAH=空=2,于

40A3

是得到问题的答案.

【详解】解：作石的外接圆，圆心为点。，

/.N4〃E=90。，

.•.力石是O。的吏径，

二。是BE的中点,

•••4〃如点A是4上的定点,AB14于点8,

.♦.NC4£=NO3£=90。，AB为定值，

••点c、。分别是4、4上的动点,

;.ZACE=NBDE,

在Z\ACE和V8OE中，

/ACE=ABDE

<AC=BD,

NCAE=/DBE

'△AC年△比陀(ASA),

AE=BE=—AB,

2

..OH=OE=-BE=-AB

24t

I13

:.OA=OE+AE=-AB+-AE=-AB,

424

...点，在。0上运动,

••・当A”与。。相切时，NBAH最大,

-AHA.OH,

:.ZOHA=9QP,

—AB1

„OH41

二.s\nZ/.OB/AlH------=------=-,

加3

4

故选：B.

考点十一三角形的外接圆

31.在RtZ\A8C中，ZC=9O°,ZA=60°,BC=4,则这个三角形的外接圆的直径是（）

46C.巫D,4

A.8R

33

【答案】C

【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形30。角的性质以及勾股定理.根据30，所对的直角

边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可.

【详解】解：团在中，NC=90。，ZA=60°,

0Zfi=3O°,

团AC=—AB,

2

根据勾股定理得：BC2+AC2=AB2,

即42+(1")=AB2,

8G

解得：AB

亍

回这个三角形的外接圆的直径是辿，

3

故选：C.

32.如图，0。是等边V4BC的外接圆，D,£分别为AC,8c的中点，延长EO交0。于点尸，若0。的

半径,.=辿，则OE的长度为（）

"■必一V

A.75-2

【答案】D

【分析】连接CO,交DE于点M,延长C。交A8于点〃，连接。4。尸，根据0。是等边V/A8C的外接圆,

。0的半径/=辿，可得0/=4。=0。=冬叵,/BCA=NC4B=60。，C"1A8,求出。斤，AH=\,

333

AC=48=2,C"=G,再证得ACDM^^CAH，可得OM=走，运用勾股定理得FM=y）0F2-0M2=—，

62

结合线段的和差关系求出。尸的长，即可作答.

【详解】解：如图，连接C。，交DE于点、M,延长CO交A8于点”，连接。4。〃，

团。0是等边VA4c的外接圆，。。的半径「二也

3

回OF=AO=OC=—,N4CA=NCA3=60°，CH1AB,

3

则。，」40=立,

^AH=^AOr-OH2=H

^AC=AB=2,

图CH=亚口=5

团。，E分别为AC,3c的中点,

^DE//AB,DE=-AB=\

2f

回ACDVS《AH,

CMCDMD1…，”

0===—»CMLDE,

CHCAAH2

(3CW=—,MD=-,

22

2G

回OM

37~~6,

@FW=y)OF2-OM2=—

2

田DF=FM-MD泻千痔1

故选:D

【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线

定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

33.如图，0O是锐角三角形ABC的外接圆，OE工BC,OFA.AC,垂足分别为。，E,F,

连接DE,EF,FD,若DE+DF-65,V4BC的周长为21,则石尸的长为()

【答案】D

【分析】本题主要考查.三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是

解题关键.根据三角形外接圆的性质得出点。、E、尸分别是AB、BC、AC的中点，再由中位线的性质及三

角形的周长求解即可.

【详解】解：团。O是锐角三角形A3C的外接圆，ODA_AB,OE1BC,OF1AC,

回点。、E、”分别是A3、BC、AC的中点,

^\DF=-BC,DE=-AC,EF=-AB

222f

0DE+DF=6.5,△ABC的周长为21,

回CB+C4+A8=21即2DF+2DE+2EF=2T,

回£F=4,

故选：D.

考点十二判断三角形外接圆的圆心位置

34.在RtZ\A8C中，斜边4B=18,其重心与外心之间的距离为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的重心和三角形的外心.掌握直角三角形的外心是斜

边的中点是解题的关键.根据直角三角形的外心是斜边的中点和直角三角形斜边中线的性质可求出

C0=gAB=9,再根据重心的性质求解即可.

【详解】解：如图，点。为外心，点。为重心，

回直角三角形的外心是斜边的中点，

S=■!"A"=9,

2

团点。为RtZ\A8C的重心，

0D=-CD=3f

3

••・重心与外心之间的距离为3.

故选B.

35.已知半径为5的0。是VA4C的外接圆，若NA6C=25。，则劣弧AC的长为（）

【答案】C

【分析】此题考查三角形的外接圆，圆周角定理，弧长，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答.

根据圆周角定理和弧长公式解答盟可.

【详解】解：根据题意，画图如下，连接A。，CO：

A

0ZABC=25°,

0ZAOC=5O0,

“xr”3"507rx525兀

团劣弧AC的长=1Qn=1Q

1oU1o

故选：c.

36.如图，直角坐标系中A（0,4）,8（4,4）,C（6,2）,经过A,B,。三点的圆，圆心为M,则点M的坐标为（）

C.（2,0）D.（2,1）

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形.

由网络可得出线段A8和3c的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M,进而可得点用的坐标.

【详解】解：如图，作线段A8和BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M,则点M坐标为（20）,

考点十三点与圆上一点的最值问题

37.如图，在正方形A8CO中，48=4,£尸分别是边。。和4）上的动点，且A/=。石，BE与CF交于

点、G,连接AG,则AG的最小值是（）.

AB

C.25/2D.2x/2-2

【答案】A

【分析】本题主要考查了正方形的性质，借助于圆解决线段的最值问题，勾股定理等知识点，解题的关键

是熟练掌握以上性质，并灵活应用.取线段4c的中点0,以点。为圆心，长为半径画圆，连接0A交

00于点G',判定出△CDFgZkBCE,得出N8GC=90°,确定点G在00上，然后利用勾股定理即可求出

线段最小值.

【详解】解：如图所示，取线段3c的中点。，以点。为圆心，长为半径画圆，连接04交0。于点G',

在正方形AAC。中,

VAF=DE，

：.DF=CEt

又•«-CD=BC,ND=/BCE=90°,

.•.△CDF^A«CE(SAS),

/.NDCF=/CBE*

NDC尸+N8CG=90°

/.ZCBE+NBCG=90°,

:.NBGC=9()。,

回点G在。。上，

此时，4G=47时值最小，

由勾股定理得OA=JABROB2=275,

4G=OA-OG'=2百-2,

故选：A.

38.如图，在矩形中，A3=4,A£>=6,点民产分别是边上的两个动点，且EF=2,点、G为EF

的中点，点〃为A。边上一动点，连接C〃,G〃，则G〃+C〃的最小值为（）

C.8D.572

【答案】B

【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于

将所求折线转化为两点之间的距离.

根据题意得到点G在以8为圆心，以1为半径的圆在与矩形ABC。重合的弧上运动，作点。关于AO的对称

点C,连接C8交AD于点"，交所'于点G,此时CG