整式中数字类和图形类规律探究问题 （3知识点+6大题型+过关测）学生版-2025年人教版新七年级数学专项提升

整式中数字类和图形类规律探究问题

1.数字规律：若是一列整数，可考虑相邻两数的和、差、积、商等规律，也可能是奇、偶、平方等方面的

规律；若是等式，可将每个等式对应写好，比较每一行、每一列数字间的关系找规律；若是分数，则分别

观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系。

2.图形规律：观察数量变化，探究由特殊到一般的关系，用代数式抽象出来；观察图形的拼接，发现规律

并类推得到图形的规律性。

3.探索方法：从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，尤其关注

变化时与序数的关系，归纳出一般性结论。

【题型1数字类规律探索之排列问题】

例题：（23-24七年级下.全国.单元测试）一列数1,2,二,第6项是，第2018项是.

【变式训练】

1.（24-25八年级上•山东荷泽・期末）观察下列一组有规律的数：乙，［，3，《，L,根据

2612203042

其规律可知：第〃个数是.

2.（24-25七年级下•黑龙江绥化•开学考试）有一列数：2；，5：，1三0，1?7，L,则第〃个数表示为.

2468

3.（2025•西藏日喀则•一模）按一定规律排列的一组数据：|14916、125…，则按此规律排列的

第〃个数是.

【题型2数字类规律探索之末尾数字问题】

例题：（24-25七年级上•湖南湘潭•期中）观察等式：21=2,2?=4，23=8,24=16,25=32,26=64,

2'=128，.…通过观察，用你发现的规律确定22期的个位数字是—.

【变式训练】

1.（24-25七年级上•安徽合肥•阶段练习）计算=22-1=3,23-1=7,2-1=15,2,-1=31,...

归给计算结果中的个位数字规律，猜测2刈$一1的个位数字是.

2.（24-25七年级下•山东青岛•阶段练习）观察下列几个算式：①（a-=

(2)^6t_1)(/+q+l)=q3_］；(3)^67_1乂/++a+］)=/_］；(^)(a_^6f4++Cl~+6f+1^=6t5_1,....,

结合你观察到的规律判断：22024+L+22+2+1的计算结果的末位数字为•

3.(24-25七年级上•广东广州•期中)二进制即“逢二进一”，如(1101%表示二进制，将它化为十进制数为

321

1X2+1X2+0X2+1X2°=13,(注：2°=1)，把二进制数(111111……1)2(注：里面有2024个1)化为

十进制数后，此十进制数的个位数字是.

【题型3数字类规律探索之新运算问题】

X

例题：(24-25七年级上•河北邢台•期中)已知了⑴二三，其中/⑷表示当x=〃时代数式的值，如

x+1

/(l)=-1L7=41，/(2)=?-£-=2f,则/⑶=_________，/⑴"(2)"⑶・/(2024)=__________.

1+122+13

【变式训练】

1.(24-25七年级上•河南驻马店♦期末)已知1+1=&=Z,2+［=2=工,3+■="=生,4+'=竺=".设

333444555666

〃为正整数，请用关于«的等式表示这个规律.

2

2.(24-25七年级下•广东江门•阶段练习)。是不为2的有理数，我们把—称为。的“伴随数”，如3的

2-a

221

“伴随数”是三三=-2,—2的“伴随数”是=已知q=4,电是q的“伴随数”，生是的的“伴

随数”，%是的的''伴随数"，…，以此类推，则%。％等于.

3.(24-25七年级下•四川成都•阶段练习)若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为

“智慧数''(如3=2?-V,5=3z-22,7=42-32,8=3?-F,12=42-22，16-52-32,15=42-12，21-52-22,

27=62-3?……)从上面的例子中可以看到所有大于3的奇数都是智慧数，则第26个“智慧数”是；2025

是第个“智慧数

4.(2025•山东枣庄•一模)定义一种对正整数w的“尸运算：①当〃为奇数时，尸⑺=3〃+1；②当〃为偶

数时，尸(〃)=/(其中左是使尸(〃)为奇数的正整数)…两种运算交替进行，例如，取”=12,则

因墨痼黑＞叵］慧＞曰…,有按此规律继续计算，第2025次“广，运算的结果是.

【题型4数字类规律探索之等式问题】

例题：(24-25八年级上•吉林•期中)观察下列算式:

®lx3-22=3-4=-1

@2X4-32=8-9=-1

@3X5-42=15-16=-1

把这个规律用含字母〃为正整数）的式子表示出来.

【变式训练】

773344

1.（24-25八年级下.全国•单元测试）已知2+9=22乂/3+?=32*?,4+2=42*2根据以上规律，可

33881515

QQ

得9+==9葭=，猜想：x=.经检验，猜想（填“正确”或“错误”）.

XX

2.（24-25七年级下•江苏宿迁•阶段练习）观察下列式子：1x3+1=22,3x5+1=42,5x7+1=62,…探索以上

式子的规律，请写出第“个等式：.

3.（24-25六年级上•山东淄博・期末）定义新运算：a*b=--y,a®b=^~（右边的运算为平常的加、减、

abab

乘、除）.

例如：3*7=！一，=W，307=—=—.

37213x721

若a^）b=a*b,则称有理数a,b为“隔一数对”.

例如：2*3=工二=L203=-=-,即203=2*3,所以2,3就是一对“隔一数对

2362x36

请同学们解答下列问题：

⑴-1,1是'隔一数对"吗？请说明理由;

（2）已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：

l02+203+304+405+---+202302024.

【题型5图形类规律探索之数字问题】

例题：（24-25六年级上•山东泰安•期末）观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得

a-b_

m

EHIZH……FS

I2pINio|M,5I\h\m\

【变式训练】

1.（24-25七年级上•河北秦皇岛•期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的:

2.（2025•安徽合肥・一模）【问题呈现】我们知道,1+2+3++〃=-^——L,那么如何求F+2?+33+

2

的值?

【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系:

O•••。OOO

•••OOO

OOOOOO

。••

•••OOOOOOOOO

OOOOOOOOO

。•••

OOO

。oo

♦OOO

。oo

・OOO

。OO

OOO

|3+2,*3J+43=IO2

【归纳猜想】

(1)13+23+33+43+53=

(2)l3+23+33+43+--.+n3=

【拓展应用】

(3)求1展+123+133++2CP的值.

3.(24-25七年级下•江苏泰州•阶段练习)观察下列图形.将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对

折，记第1次对折后得到的图形面积为R,第2次对折后得到的图形面积为邑，，第〃次对折后得到的图

形面积为S”.

图1-1图1-2图1一3图2

2

(1)继续观察图形填空：设S1=§2=,计算$2=,并在上面某个图中将

表示$2的区域涂成阴影;

2025

11

⑵请根据上面图形计算:—++(直接写出结果)

22

(3)观察图形并探索()中各式的规律:试写出第〃个等式乙=,并说明第〃个等式成立.

4.(24-25九年级下•海南海口•阶段练习)综合与实践

如图所示，某同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形.

【观察思考】

(1)第1个图中的彩色正方形有：1+1=1+了(1+1)

2

第2个图中的彩色正方形有：1+1+2=1+2^1+2)

2

第3个图中的彩色正方形有：1+1+2+3=1+—（1+3）；

第4个图中的彩色正方形有：1+1+2+3+4=1+—（1+4）；…，

2

请写出第〃个图中的彩色正方形有：个；（请用含有，的代数式表示）

【运用规律】

（2）根据图形的搭建规律可知，第〃个图中的白色正方形有个；（请用含有〃的代数式表示）

（3）若第〃个图中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求〃的值.

△

A△一

△△二△二一二二

第1个图第2个图第3个图第4个图

5.（24-25七年级上•广东佛山•期中）综合探究

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法.

如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半,

部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推...

①②③阴影面积

1£

面积

~248

（1）根据图形填写上表；

⑵计算：*+〉…+j（请写出计算过程）

（3）类比：小华在计算：+"+"+…+/时利用了如图2所示的正方形模型.

2

设正方形的面积为1,第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为1;

22

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为:+康；

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为:2+（2+（2；

①第"次分割后，空白部分的面积是.

②由此计算§+手■+手■+…+§而的值•

①②③阴影面积

11

面积

248128

【题型6图形类规律探索之数量问题】

例题：(24-25七年级上•江苏泰州•阶段练习)下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂

有阴影，依此规律完成此题：

图形标号第一个第二个第三个第四个

涂有阴影的小正方形的个数5a13b

(l)a=,b=；

(2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为个；(用含n的代数式来表示)

(3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数.

【变式训练】

1.(24-25七年级上•北京•期中)化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烧,

如图，第1个结构式中有1个C和4个H,分子式是CH”；第2个结构式中有2个C和6个分子式是C2H6；

第3个结构式中有3个C和8个分子式是C3//8…按照此规律，回答下列问题.

HHHHHH

—

II—II

HCTHCCC

C-C-r1J---

———H

II—II

HHHHHH

勒个

缴

个

第

个

S3

(1)第6个结构式的分子式是；

(2)第n个结构式的分子式是；

(3)试通过计算说明分子式C2024H4048的化合物是否属于上述的碳氢化合物.

(4)请你根据找到的规律再创造一个新的化合物.

2.(24-25七年级上•福建莆田•期中)用火柴棒按图中的方式摆图形：

①②③④

按图示规律填空：

图形标号①②③④⑤

火柴棒的

5913ab

根数

⑴a=，b=；

(2)按照这种方式搭下去，则搭第〃个图形需要火柴棒的根数为；(用含〃的代数式来表示)

(3)按照这种方式搭下去，用(2)中的代数式求搭第2024个图形需要的火柴棒的根数.

3.(2025・安徽宣城•一模)如图，将形状，大小完全相同的“•”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1

个图案中“•”的个数为3,第2个图案中“•”的个数为8,第3个图案中“•”的个数为15,…，以此类推.

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

⑴第5个图案中“•"的个数是.

⑵请用含n的代数式表示第〃个图案中“•”的个数.

(3)请用含n的代数式表示第〃个图案中最长的线段上“•”的个数.

8串知识识框架

1.数字规律：若是一列整数，可考虑相邻两数的和、差、积、商等规律，也可能是奇、

探

偶、平方等方面的规律；若是等式，可将每个等式对应写好，比较每一行、每一列数字

究间的关系找规律；若是分数，则分别观察分子,分母的变化规律及它们之间的联系

与

表

2.图形规律：观察数量变化，探究由特殊到一般的关系，用代数式抽象出来；观察图形

达的拼接，发现规律并类推得到图形的规律性

规

律

3.探索方法：从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化

的部分，尤其关注变化时与序数的关系，归纳出一般性结论

过关测稳提升

一、单选题

X3

1.（2025.云南楚雄•二模）按一定规律排列的代数式:X2，第〃个代数式是（）

万345

72+1Y"+In

A.-B.匚c.—D.—x

nn-1nn+1

2.（2025•云南文山•模拟预测）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过1小时便由1个分裂成2个.根

据此规律可得，那么经过"（〃为正整数）小时后可分裂成（）个细胞

C.2"D.2"~'

本艮据（工_1）（彳+1）=彳2—1,（无一l）（d+大+1）=/_],

+x2+X+1）=x4-1,

（尤一1）（/+尤3+尤2+彳+1）=彳5_]……的规律，则22025+22024+2/3+……++2?+，+1的个位数字是（）

A.3B.5C.7D.1

4.（2025•黑龙江哈尔滨•三模）烷垃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、

润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护.通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷....癸烷（当

碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷...）等，甲烷的化学式为CH「乙烷的化学

式为C2H6,丙烷的化学式为C3H$…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（）

术3帝liIIin：

申媪乙馁因蝮”一•

A.C]2H26B.C]2H27C.C]2H28D.C]2H29

5.（2025・湖南岳阳二模）已知。力0且owl,我们定义工（。）=」一,记为6；力（。）=丁匚，记为。2；L；

力（“）=匚卜，记为凡•若将数组[1，£|中的各数分别作力的变换，得到的数组记为（4々）；将（44）作

72的变换，得到的数组记为（外也）；L；贝lj%+4+%+匕2++%025+“2025的值为（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

二、填空题

793440~n

6.（2025・四川资阳•模拟预测）已知2+：=2%；3+：=3隈：,4+、=4隈4；若10+;=欧*/（°、匕均为整

33oo1515bb

数），贝+

7.（2025.山东枣庄三模）将连续的正整数排成如图所示的数表，记。（仃）为数表中第i行第/列位置的数

字，如2）=4,a（3,2）=8,a（5,4）=22,若a（〃?,〃）=2024,则一=,n=.

14,516—17

2-361518

f

9+8<-71419

if

10—1112-A1320

1

25<-24<-23<-22<—21

I

26-27-28->29f…

8.（2025・山东日照•模拟预测）发现：71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649.......依据上述

规律，通过计算判断6x（7+l乂7?+”74+1）（78+1）…+1）+1的结果的个位数字是

9.（2025・广西贺州•三模）据《九章算术•方田》记载：“今有叠方累砖，内方一尺，每层外扩，各边广增二

尺，砖皆方正，层间新砖数循律而增.”如图所示，第1层（中心层）为边长1尺的正方形，用砖1块；第

2层为边长3尺的正方形，新增外围砖8块；第3层为边长5尺的正方形，新增外围砖16块；第4层为边

长7尺的正方形，新增外围砖24块；……，依此规律，则第16层新增外围砖为块.

10.（2025•山东日照•三模）对于正整数W,定义尸5=、、s，其中/■⑺表示力的首位数字、末位

数字的平方差的绝对值.例如：网6）=62=36,尸（123）=|12-32卜8.规定耳5）=尸（及）,鼻+|（"）=产（理5））院

为正整数），例如，耳（123）=F（123）=8,^（123）=F（^（123））=F（8）=64.按此定义，则居您⑶=

11.（2025•安徽合肥・模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物.如图，这

是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作C）,白球是氢原子（记作H）,碳原子之

间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷妙.烷煌依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前

十个以天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸)来代表碳原子的数量.如：第2个模型中有2

个C和6个分子式是C2H6,简称为乙烷.按照图示规律，回答下列问题.

甲烷乙烷丙烷

(1)壬烷的分子式是,第〃个结构式的分子式是；

(2)请问分子式为C2025»4052的化合物是否属于上述的烷烧，并说明理由.

12.(2025•广东清远・二模)将连续的奇数1,3,5,7,……排成如图所示的数表.

13|-5]79

II131$1719

2123-|25|2729

3133353739

(1)十字形框中的五个数之和是，设中间数为。，请用含。的代数式表示十字形框中的五个数之和是

(2