第一节　统计 2026年高三数学第一轮总复习

第九章统计与成对数据的统计分析第一节统计课程内容要求1.了解总体、个体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性.2.了解简单随机抽样及分层随机抽样.3.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述.4.理解集中趋势参数、离散程度参数的统计含义；能用样本估计总体的取值规律；理解百分位数的统计含义.CONTENTS目录123基础扎牢——基础不牢·地动山摇考法研透——方向不对·努力白费思维激活——灵活不足·难得高分4课时跟踪检测基础扎牢—基础不牢·地动山摇011.简单随机抽样由教材回扣基础放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.除非特殊说明，所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样抽取方式逐个不放回抽取特点每个个体被抽到的概率相等常用方法抽签法和____________随机数法2.分层随机抽样定义一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行_________抽样，再把所有子总体中抽取的样本_________作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层比例分配在分层随机抽样中，如果每层_______都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配简单随机合在一起样本量平均数计算

续表

最大值最小值组数组数

数据4.其他统计图表统计图表主要应用扇形图直观描述各类数据占总数的______条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率折线图描述数据随_____的变化趋势比例时间5.样本的数字特征

定义众数在一组数据中出现次数_____的数中位数将一组数据按_________依次排列(相同的数据要重复列出)，处在最中间位置的那个数据(或最中间两个数据的平均数)平均数一组数据的_____________最多大小顺序算术平均数方差百分位数一般地，一组数据的____________是这样一个值，它使得这组数据中__________的数据小于或等于这个值，且_______________的数据大于或等于这个值第p百分位数至少有p%至少有(100-p)%续表

澄清微点·熟记结论(2)方差的性质.若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2；ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为a2s2.特别地，当a=1时，有x1+b，x2+b，…，xn+b的方差为s2，这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性.一、准确理解概念(判断正误)(1)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(

)(2)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.(

)(3)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.(

)(4)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.(

)答案：(1)×

(2)√

(3)×

(4)√练小题巩固基础二、练牢基本小题1.(多选)某城市收集并整理了该市2023年1月份至10月份每月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了如图所示的折线图，已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论正确的是(

)A.每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关B.10月份的最高气温不低于5月份的最高气温C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月份D.最低气温低于0℃的月份有4个√√√解析：由题图可以看出，当最低气温较大时，最高气温也较大，故A正确；10月份的最高气温大于20

℃，而5月份的最高气温不超过20

℃，故B正确；从各月的温差看，1月份的温差最大，故C正确；而最低气温低于0

℃的月份是1，2，4三个月份，故D错误.2.一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别用分层随机抽样的方式从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则男、女运动员应各抽

人，

人.

答案：16

123.如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2，2.5)范围内的居民数为

.

解析：由频率分布直方图可知，月均用水量为[2，2.5)范围内的居民所占频率为0.5×0.5=0.25，所以月均用水量为[2，2.5)范围内的居民数为100×0.25=25.答案：254.已知数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，那么数据2x1+3，2x2+3，…，2x10+3的平均数和方差分别为

.

答案：7，12

2.(混淆众数、中位数、平均数的概念)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的众数为

，这次测试数学成绩的中位数为

(精确到0.1)，这次测试数学成绩的平均数为

.

答案：75

73.3

723.(不理解均值、方差的意义)某校高二年级在一次数学选拔赛中，因为甲、乙两人的竞赛成绩相同，所以决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：甲127138130137135131乙133129138134128136

考法研透—方向不对·努力白费02命题视角一抽样方法的应用(自主练通)√

2.总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为

(

)66

06

58

61

54

35

02

42

35

48

9632

14

52

41

52

48A.54B.14C.35 D.32√解析：生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的有06，35，02，35(重复)，32，14.故第5个编号为14.3.山东某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：

高一年级高二年级高三年级泥塑abc剪纸xyz

一“点”就过

[典例]

(1)有一组样本数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，50%分位数为b，则有

(

)A.a=13.7，b=15.5

B.a=14，b=15C.a=12，b=15.5

D.a=14.7，b=15命题视角二样本的数字特征的计算√

(2)已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有

(

)A.a>b>c

B.a>c>bC.c>a>b

D.c>b>a√

(3)(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则

(

)A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差√√

(1)利用平均数、方差的性质可简化运算，要熟记.(2)方差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.应用时注意其公式的简化形式：

(3)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算i=n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.方法技巧1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该学习小组成绩的平均数、众数、中位数分别是

(

)A.85分、85分、85分 B.87分、85分、86分C.87分、85分、85分 D.87分、85分、90分针对训练√

2.“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：则这50名学生的借书数量的四分位数(第75百分位数)是

(

)A.8 B.8.5 C.9 D.10借书数量(单位：本)5678910频数(单位：人)58131194√解析：由50×75%=37.5，故第75百分位数在借书数量从小到大排序后的第38人，又5+8+13+11=37<38<5+8+13+11+9=46，故四分位数(第75百分位数)是9.故选C.

[典例]

(1)如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法错误的是

(

)命题视角三统计图表的应用A.甲的数学成绩最后3次逐渐升高B.甲的数学成绩在130分以上的次数多于乙的数学成绩在130分以上的次数C.甲有5次数学成绩比乙高D.甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差√[解析]

对于A，由折线图可知甲最后三次数学成绩逐渐升高，故A说法正确；对于B，甲的数学成绩在130分以上的次数为6次，乙的数学成绩在130分以上的次数为5次，故B说法正确；对于C，甲有7次数学成绩比乙高，故C的说法错误；对于D，由折线图可知，甲、乙两人的数学成绩的最高成绩相同，甲的最低成绩为120分，乙的最低成绩为110分，因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差，故D说法正确，故选C.(2)(多选)某学校开展了针对学生使用手机问题的专项治理，效果显著，现随机抽取该校100名学生，调查他们周六使用手机的时间(单位：min)，数据按照[0，25)，[25，50)，…，[125，150]分组，得到如图的频率分布直方图，则

(

)A.这100名学生中，有25名学生周六使用手机的时间在[75，100)内B.估计这100名学生中，周六使用手机的平均时间约为50minC.估计这100名学生中，周六使用手机时间的第60百分位数约为80D.估计该校周六使用手机时间超过2h的学生比例为10%√√

方法技巧(2)频率分布直方图中数字特征的计算.①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.1.某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是

(

)针对训练A.该次课外知识测试及格率为90%B.该次课外知识测试得满分的同学有30名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名√解析：由题图知，及格率为1-8%=92%，故A错误；该测试得满分的同学百分比为1-8%-32%-48%=12%，即样本中有12%×200=24(名)同学得满分，但总体学生数未知，故B错误；中位数为80分，平均数为40×8%+60×32%+80×48%+100×12%=72.8(分)，故C正确；3

000

名学生成绩能得优秀的同学大约有3

000×(48%+12%)=1

800(名)，故D错误.故选C.2.(多选)某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将所得数据分成6组：[90，91)，[91，92)，[92，93)，[93，94)，[94，95)，[95，96]，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是

(

)A.b=0.25B.长度落在区间[93，94)内的个数为35C.长度的众数一定落在区间[93，94)内D.长度的中位数一定落在区间[93，94)内√√√解析：对于A，由频率和为1，得(0.35+b+0.15+0.1×2+0.05)×1=1，解得b=0.25，所以A正确；对于B，长度落在区间[93，94)内的个数为100×0.35=35，所以B正确；对于C，频率分布直方图上不能判断长度的众数一定落在区间[93，94)内，所以C错误；对于D，[90，93)内有45个数，[94，96]内有20个数，所以长度的中位数一定落在区间[93，94)内，所以D正确.故选A、B、D.[典例]

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：命题视角四用样本估计总体旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高

利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.方法技巧1.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：针对训练甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421

利润6525-5-75频数40202020由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300-70频数28173421

2.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频率分布表.y的分组[-0.20，0)[0，0.20)[0.20，0.40)[0.40，0.60)[0.60，0.80)企业数22453147

思维激活—灵活不足·难得高分03

数学建模•练抽象思维——统计中的创新应用问题√2.(多选)某生活超市2020年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比如下表所示：

生鲜区熟食区乳制品区日用品区其他类营业收入占比48.6%15.8%20.1%10.8%4.7%净利润占比65.8%-4.3%16.5%20.2%1.8%该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%(营业利润率是净利润占营业收入的百分比)，则

(

)A.本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区B.本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区C.本季度此生活超市营业利润最高的是日用品区D.本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过50%√√

3.某高校为从甲、乙两名学生中选出一名学生会主席，对甲、乙两名学生的领导力进行了考核.已知一个人的领导力由影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力这五项能力构成.通过考核，得到甲、乙两人的五项能力指标值的雷达图如图所示，则下列说法中正确的是

(

)A.从整体上看，乙的领导力高于甲的领导力B.甲、乙两人的五项能力指标值的方差不同C.如果仅从控制力、决断力和前瞻力三项能力考虑，乙的领导力低于甲的领导力D.如果仅从影响力、感召力、控制力三项能力考虑，甲的领导力高于乙的领导力√

4.(多选)某运动队共有8名运动员，教练为直观了解运动员的训练效果，统计了近几个月测试成绩的平均分和标准差，得到如下统计图，则

(

)A.1号和2号运动员比较，1号竞技水平较高，且2号成绩较稳定B.3号和4号运动员比较，3号竞技水平较高，且4号成绩较稳定C.5号和6号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，且6号成绩波动较大D.7号和8号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，且8号成绩波动较大√√解析：对于A，由统计图可知，1号运动员成绩的平均分和标准差均高于2号运动员，∴1号竞技水平较高，2号成绩较稳定，A正确；对于B，由统计图可知，3号运动员成绩的平均分和4号运动员成绩的平均分相同，∴两名运动员的竞技水平相同，B错误；对于C，由统计图可知，5号运动员成绩的标准差高于6号运动员成绩的标准差，∴5号运动员的成绩波动较大，C错误；对于D，由统计图可知，7号和8号运动员成绩的平均分均低于整体平均分，8号运动员成绩的标准差高于7号运动员成绩的标准差，∴7号和8号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，8号成绩波动较大，D正确.故选A、D.04课时跟踪检测一、基础练——练手感熟练度1.(多选)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是(

)A.应采用分层随机抽样抽取B.应采用抽签法抽取C.三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的√√√

2.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现从某县随机抽取10位居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，则这组数据的80%分位数是

(

)A.7.5B.8C.8.5

D.9解析：数据3，4，5，5，6，7，7，8，9，10共10个，且10×80%=8，所以80%分位数是第8个数与第9个数的平均数，为8.5.√3.某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校3000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委从这3000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图：则选取的学生中参加机器人社团的学生数为(

)A.50B.75C.100 D.125√

4.对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20，25)上的为一等品，在区间[15，20)和区间[25，30)上的为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为

(

)A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45√解析：由题图可知，二等品的概率为1-(0.02+0.06+0.03)×5=0.45.所以从该批产品中随机抽取1件，则其是二等品的概率为0.45.

二、综合练——练思维敏锐度1.(多选)PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3~75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3

以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值(单位：μg/m3)的统计数据，则下列叙述正确的是(

)A.这10天中有4天空气质量为一级B.这10天中PM2.5日均值最高的是11月5日C.从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低D.这10天的PM2.5日均值的中位数是45√√√

2.(多选)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c(i=1，2，…，n)，c为非零常数，则

(

)A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同√√

√√4.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为

(

)A.9 B.10 C.11 D.12解析：不妨设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，且x1<x2<x3<x4<x5，则由样本方差为4，知(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20.若5个整数的平方和为20，则这5个整数的平方只能在0，1，4，9，16中选取(每个数最多出现2次)，当这5个整数的平方中最大的数为16时，分析可知，总不满足和为20；当这5个整数的平方中最大的数为9时，0，1，1，9，9这组数满足要求，此时对应的样本数据为x1=4，x2=6，x3=7，x4=8，x5=10；当这5个整数的平方中最大的数不超过4时，总不满足和为20，因此不存在满足条件的另一组数据.故选B.5.(2025·武汉模拟)(多选)某市2024年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后年经济收入构成比例，得到如下扇形图，则下列结论正确的是

(

)

√√解析：设招商引资前经济收入为M，而招商引资后经济收入为2M，则招商引资前工资净收入为M×60%=0.6M，而招商引资后工资净收入为2M×37%=0.74M，所以工资净收入增加了，故A正确；招商引资前转移净收入为M×4%=0.04M，招商引资后转移净收入为2M×5%=0.1M，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；

6.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示.现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为

；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1020小时，980小时，1030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为

小时.

解析：由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%=50(件).由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命约为1

020×50%+980×20%+1

030×30%=1

015(小时).答案：50

10157.造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出三种及其以上发明的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对四大发明只