第五节　离散型随机变量的分布列及均值、方差2026年高三数学第一轮总复习

离散型随机变量的分布列及均值、方差第五节课程内容要求1.了解离散型随机变量的概念.2.理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差).3.了解超几何分布及其均值，并能进行简单的应用.CONTENTS目录123基础扎牢——基础不牢·地动山摇考法研透——方向不对·努力白费课时跟踪检测基础扎牢—基础不牢·地动山摇011.随机变量(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.(2)离散型随机变量：可能取值为_____________________的随机变量，我们称之为离散型随机变量.(3)字母表示：通常用大写英文字母表示随机变量，例如__________；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如_________.由教材回扣基础唯一有限个或可以一一列举X，Y，Zx，y，z2.分布列的概念与性质(1)定义：一般地，设离散型随机变量X可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=____，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.(2)表示方法：①表格；②概率分布图.(3)性质：①pi____0，i=1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn=____.pi≥1

X01P1-pp我们称X服从两点分布或0-1分布.(2)超几何分布①定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=________，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，则m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

4.离散型随机变量的均值(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)=__________________=_________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.(2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的_________.Xx1x2…xnPp1p2…pnx1p1+x2p2+…+xnpn平均水平5.离散型随机变量的方差(1)方差和标准差的定义：设离散型随机变量X的分布列为我们称D(X)=______________________________________=_____________为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称

______为随机变量X的标准差，记为σ(X).Xx1x2…xnPp1p2…pn(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn(xi-E(X))2pi

(2)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的_________，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差_____，随机变量的取值越集中；方差或标准差_____，随机变量的取值越分散.6.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=________；(2)D(aX+b)=_______.偏离程度越小越大aE(X)+ba2D(X)

澄清微点·熟记结论一、准确理解概念(判断正误)(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(

)(2)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.(

)(3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.(

)练小题巩固基础(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.

(

)答案：(1)√

(2)√

(3)√

(4)×二、练牢基本小题1.同时抛掷两枚均匀的骰子，设X表示掷出的点数之和，则{X=4}表示的随机试验结果是(

)A.一枚掷出3点，一枚掷出1点B.两枚都掷出2点C.两枚都掷出4点D.一枚掷出3点，一枚掷出1点或两枚都掷出2点√

X12345Pp

三、练清易错易混1.(随机变量的概念不清)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是

.

解析：可能第一次就取到合格品，也可能取完次品后才取得合格品，所以X的所有可能取值为0，1，2，3.答案：0，1，2，3

考法研透—方向不对·努力白费02命题视角一离散型随机变量的分布列及性质√

X1234P

X-101Pabc

离散型随机变量的分布列性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值.(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.方法技巧

X04612P离散型随机变量分布列的求解步骤方法技巧明取值明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义求概率要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率画表格按规范要求形式写出分布列做检验利用分布列的性质检验分布列是否正确

针对训练√

X17181920P

考法(一)

求离散型随机变量的均值与方差[例1]

某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X(单位：km)的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t.(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km(不足1km也按1km计程)收费3元计费.试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差.命题视角二离散型随机变量的均值与方差[解]

(1)由题意，得0.1+0.2+0.3+0.1+t+2t=1.∴t=0.1.∴X的分布列为∴E(X)=20×0.1+22×0.2+24×0.3+26×0.1+28×0.1+30×0.2=25，D(X)=(-5)2×0.1+(-3)2×0.2+(-1)2×0.3+12×0.1+32×0.1+52×0.2=10.6.X202224262830P0.10.20.30.10.10.2(2)设此人一天中出车一次的收入为Y元，则Y=3(X-3)+5=3X-4(X≥4，X∈N)，∴E(Y)=E(3X-4)=3E(X)-4=3×25-4=71，D(Y)=D(3X-4)=32·D(X)=95.4.故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4.1.求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值的定义求E(ξ).(5)由方差的定义求D(ξ).方法技巧2.求离散型随机变量均值与方差的关键及注意点(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)的应用.考法(二)

均值与方差在决策中的应用[例2]

为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，a，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.[解]

(1)依据题意知，0.5+3a+a+a=1，解得a=0.1.因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)结合(1)中ξ，η的分布列，可得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2，E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7，D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96，D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.因为E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高.又因为D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以甲的射击技术好，故应选甲.利用均值、方差进行决策的2个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断.(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.方法技巧

针对训练

X012P

2.某销售公司在当地A，B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价为每件300元，两家超市之间调配食品不计费用.若进货不足，食品厂以每件250元补货，若销售有剩余，食品厂以每件150元回收，现需决策每日购进食品数量，为此搜集整理了A，B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：销售件数891011频数20402020以这些数据的频率代替两家超市的食品销售件数的概率，记X表示这两家超市每日共销售食品件数，n表示销售公司每日共需购进食品的件数.(1)求X的分布列；(2)以销售食品利润的期望为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选哪个?

X16171819202122P

Y11

4501

6001

7501

9001

9502

0002

050P

Y21

4001

5501

7001

8502

0002

0502

100P

命题视角三超几何分布

X0123P求超几何分布的分布列的步骤方法技巧第一步验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值第二步根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率第三步用表格的形式列出分布列天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮.视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领.下表列出了视星等数值最小的10颗最亮恒星(除太阳外)的相关数据，其中a∈[0，1.3].针对训练星名天狼星老人星南门二大角星织女一视星等-1.47-0.72-0.27-0.040.03绝对星等1.42-5.534.4-0.380.6赤纬-16.7°-52.7°-60.8°19.2°38.8°

星名五车二参宿七南河三水委一参宿四视星等0.080.120.380.46ɑ绝对星等0.1-6.982.67-2.78-5.85赤纬46°-8.2°5.2°-57.2°7.4°

X1234P

03课时跟踪检测一、基础练——练手感熟练度1.已知随机变量X的分布列为则E(5X+4)等于

(

)A.15B.11C.2.2 D.2.3解析：∵E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，∴E(5X+4)=5E(X)+4=11+4=15.X124P0.40.30.3√2.若随机变量X的分布列为则当P(X<a)=0.8时，实数a的取值范围是

(

)A.(-∞，2] B.[1，2] C.(1，2] D.(1，2)X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1√解析：由随机变量X的分布列知：P(X<-1)=0.1，P(X<0)=0.3，P(X<1)=0.5，P(X<2)=0.8，则当P(X<a)=0.8时，实数a的取值范围是(1，2].3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且

pi=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(

)A.p1=p4=0.1，p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4，p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2，p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3，p2=p3=0.2√

√

X-101Pab

√√

√

ξ012Pa√√√

4.一个袋中有大小、形状相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则

(

)A.E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)=E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)=E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)√

√√√

7.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和均值.

X1234P

8.一台机器设备由A和B两个要件组成，在设备运转过程中，A，B发生故障的概率分别记作P(A)，P(B)，假设A和B相互独立.设X表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若P(A)=0.1，P(B)=0.2.(1)求出P(X=0)，P(X=1)，P(X=2)；(2)依据随机变量X的分布列，求E(X)和D(X).解：(1)因为P(A)=0.1，P(B)=0.2，所以P(X=0)=(1-0.1)×(1-0.2)=0.72，P(X=1)=(1-0.1)×0.2+0.1×(1-0.2)=0.26，P(X=2)=0.1×0.2=0.02.(2)由(1)得X的分布列为所以E(X)=0×0.72+1×0.26+2×0.02=0.3，D(X)=(0-0.3)2×0.72+(1-0.3)2×0.26+(2-0.3)2×0.02=0.25.X012P0.720.260.02

2.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=pi(i=0，1，2，3).(1)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；(3)根据你