23.3.2相似三角形的判定（2）（难点练）解析版

23.3.2相似三角形的判定（2）（难点练）一、单选题1．（2020·山东德州市）如图，正方形，点、分别在边、上，且，把绕点沿逆时针方向旋转90°得到，连接交、于点、，连接，并在截取，连接．有如下结论：①；②始终平分；③；④；⑤垂直平分．上述结论中，所有正确的个数是（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】由正方形的性质与旋转的性质得到再证明从而可判断①，②，利用正方形的性质与，证明可判断③，连接证明再证明为直角三角形，可判断④，证明利用等腰三角形的性质可判断⑤．【详解】解：正方形，绕点沿逆时针方向旋转90°得到，三点共线，故①错误；由由始终平分故②始终平分正确；正方形故③成立；如图，连接④正确，垂直平分．故⑤垂直平分．综上：上述结论中，所有正确的个数是4个．故选B．【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．2．（2021·东营市胜利第三十九中学九年级）如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=.其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再由△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的，即可得答案．【详解】如图，由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，在Rt△ADG和Rt△FDG中，，∴Rt△ADG≌Rt△FDG，故①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故③错误；∵S△GBE=×6×8=24，S△BEF：S△BGE=EF：EG，∴S△BEF=×24=，故④正确．综上可知正确的结论是3个．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.3．如图，在等腰梯形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②；③；④.其中正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据等腰梯形的性质对各个结论进行分析即可得到正确结论.【详解】等腰梯形是轴对称图形，故①正确；可证明△ABC≌△DCB∴,∴△AOB≌△DOC，故③正确；AD∥BC∴△AOD∽△BOC,故④正确.故选B.【点睛】本题综合性较强，综合考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定、相似三角形的判定等知识点.4．（2020·全国九年级课时练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上(小正方形的顶点).，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以D，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论．【详解】根据题意得，，.连接，，，.故，∴.同理可找到，和相似.故选B.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定方法“三边对就成比例，两三角形相似”,理解题意，会根据勾股定理计算边的长度是关键．5．（2020·东阿县实验中学）将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（）A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）【答案】B【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝，MO＝3，进而得出答案．【详解】如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，过点C作CM⊥x轴于点M．∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO=90°，∴△AEO∽△OMC，∴，∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中，，∴△ABN≌△OCM（AAS），∴BN=CM．∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，∴BN，∴CM，∴，∴MO=3，∴点C的坐标是：（3，）．故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.6．（2020·山东）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF．其中正确的个数有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME；②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断；③先证明CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，表示AC的长为AO+OC可作判断；④如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断.【详解】如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°，∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，∴△AMN∽△BME，∴，∴，∵∠AMB=∠EMN，∴△AMB∽△NME，故①正确，∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确，在△ABE和△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=CD，∴CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE=OF，Rt△CEF中，OC=EF=x，△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE，∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），∴AO=AB=1，∴AC==AO+OC，∴1+x=，x=2-，∴，故③正确，③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF=AH，∠DAF=∠BAH，∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE，∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H、B、E三点共线，在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正确，故选：D【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．7．（2021·新疆阿勒泰·）如图所示，、分别是正方形的边、上的点，且，，，现有如下结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知HC＜EC，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∵AG＝GE，∴BG＝BE，∴∠BEG＝45°，∴∠BEA＞45°，∵∠AEF＝90°，∴∠HEC＜45°，∴HC＜EC，∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①错误；∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE和△CEF中，∵AG=CE，∠GAE=∠CEF,AE=EF,∴△GAE≌△CEF（SAS））,∴②正确；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，＜,∴和不相似，∴④错误；故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．二、填空题8．（2021·山东九年级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的_______________（把所有正确结论的序号都填在横线上）【答案】①②④．【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，∴△ADG≌△FDG，①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12-x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，则△GED不是等腰三角形，△GDE与△BEF不相似，③错误；S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确.故答案为：①②④9．如图，、是的边上的两点，以为边作平行四边形，经过点，且．试写出四对相似三角形________．【答案】；；；【分析】根据平行四边形得到对边平行,找相等的角度即可,见详解.【详解】解:∵四边形CDEF是平行四边形,∴EF∥AB,CF∥ED∴∠F=∠MCA.∠FPM=∠A∴△PMF~△AMC∵∠A=∠A,∠ACM=∠ADE=∠APB∴△AMC~△ABP∵∠F=∠ACM=∠APB,∠FPM=∠A∴△PMF~△ABP∵EF∥AB∴∠E=∠NDB,∠EPN=∠B∴△BDN~△PEN,综上答案为；；；【点睛】本题考查了相似三角形的判定,属于简单题,找到相等的角,熟悉判定方法是解题关键.10．如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．若▱ABCD的周长为42cm，FM=3cm，EF=4cm，则EM=

________cm，AB=

________cm．【答案】5,13【解析】AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线,AE,EFMN是平行四边形，∠DAB+∠CDA=180°，∠DFA=90°，FM=3cm，EF=4cm，勾股定理知,EM=5cm，∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，∴△AFD∽△AEB,设DF=3k，则AF=4k,∵∠AFD=90°，∴AD=5k,∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），∴AB=5（k+1）,∵2（AB+AD）=42，∴AB+AD=21,∴5（k+1）+5k=21,∴k=1.6,∴AB=13（cm）．11．（2021·上海）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度【答案】145【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.【详解】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD，△ABD与△DBC相似，但不全等，∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，∴∠ADB+∠BDC=145°，即∠ADC=145°.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.12．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级）如图，正方形的边长为2，连接，点是线段延长线上的一个动点，，点是与线段延长线的交点，当平分时，______（填“>”“<”或“=”）：当不平分时，__________.【答案】=8【分析】①先证明△ABP≌△CBQ,再证明△QBD≌△PBD,即可得出PD=QD;②证明△BQD∽△PBD,即可利用对应边成比例求得PD·QD.【详解】解:①当BD平分∠PBQ时，∠PBQ=45°，∴∠QBD=∠PBD=22.5°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°,∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°，在△ABP和△CBQ中，∴△ABP≌△CBQ（ASA）,∴BP=BQ，在△QBD和△PBD中，∴△QBD≌△PBD（SAS）,∴PD=QD;②当BD不平分∠PBQ时，∵AB∥CQ，∴∠ABQ=∠CQB，∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°，∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB，∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°,∴∠BDQ=∠BDP,∴△BQD∽△PBD，∴,∴PD·QD=BD2=22+22=8，故答案为:=，8.【点睛】本题考查三角形的全等和相似,关键在于熟悉基础知识,利用条件找到对应三角形.13．（2020·全国九年级课时练习）在中，，，D是AC上一点，，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与相似，则AE的长为_______.【答案】8或【分析】与相似要分成两种情况来进行讨论，一种是，则需；一种是，则需，无论哪一种情况，将已知线段的长度代入后比例式后都能较容易的求出AE的值．【详解】∵，∴分或两种情况讨论:①如图(1)，当时，有，即，解得；②如图(2)，当时，有，即，解得.综上所述，AE的长为8或.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，关键是运用分类讨论，对可能出现的几种情况进行分析．14．如图，已知△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠B=30°，点A在反比例函数y=的图象上，若点B在反比例函数y=的图象上，则的k值为_______．【答案】-3【分析】根据已知条件证得OB=OA，设点A（a，），过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，证明△AOC∽△OBD得到，=，得到点B的坐标，由此求出答案.【详解】∵△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠B=30°，∴OB=OA，设点A（a，），过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴∠BOD+∠OBD=90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∴∠AOC=∠OBD，∴△AOC∽△OBD，∴，∴，=，∴B(-，)，∴k=-=-3，故答案为：-3.【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，反比例函数的性质，求函数的解析式需确定的图象上点的坐标，由此作辅助线求点B的坐标解决问题.15．（2020·江西吉安·九年级期中）等腰被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰的顶角的度数是____．【答案】或或【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，且其中一个等腰三角形与原三角形相似与故应该分三种情况进行分析，从而求解．【详解】解：①如图1，∵AB=AC，当BD=CD，CD=AD，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠B=45°，∴∠BAC=90°．此时易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC=45°，故∽；②如图2，∵AB=AC，AD=BD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，∴∠BAC=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．此时易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC=36°，故∽；③如图3，∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．此时易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有∽；故答案为：或或．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，并应用相似三角形的判定进行检验，不要漏解，不能多解.16．（2020·广东广州·）如图，在中，，在的外部和内部（不在边上）分别取一点，，若，，，的补角等于，则下列结论：①点在线段的垂直平分线上；②；③；④的最大值是14．其中正确的结论是_________．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③【分析】由垂直平分线的性质，即可判断①；根据题意，但夹角不相等，不能证明，可判断②；延长DA至F，由，则，，即可判断③；不能确定BC的最大值，则可判断④，即可得到答案．【详解】解：∵，∴点A在线段的垂直平分线上；故①正确；∵，，，∴，但是，∴与不相似；故②错误；延长DA至F，如图：∵在△ABC中，，∴，∵+=180°，+=180°，∴，∵，∴，∴；故③正确；∵，，∴，∴不能确定BC的最大值；故④错误；∴正确的结论是：①③；故答案为：①③．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的对每个选项进行判断．17．（2020·江苏九年级月考）如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，请添加一个条件：____，使△ADE∽△ACB．【答案】∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一个即可）．【分析】解：根据∠AED=∠B和∠A=∠A,可证△AED∽△ABC，故添加条件∠AED=∠B；根据∠2=∠B和∠A=∠A,可证△AED∽△ABC，故添加条件∠2=∠B；根据两边对应成比例且夹角相等，故添加条件AD∶AC＝AE∶AB，然后任选其一即可解答．【详解】解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A∴△AED∽△ABC，故添加条件∠AED=∠B可证其相似；∵∠2=∠B，∠A=∠A,∴△AED∽△ABC，故添加条件∠2=∠B可证其相似；根据两边对应成比例且夹角相等，故添加条件AD∶AC＝AE∶AB可证其相似．故答案为∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一个即可）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．18．（2021·黑龙江九年级期中）已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________【答案】或．【分析】先画草图借草图分析．如图重叠的小三角形为，由对折知，所以要使△ABC和相似，只需，此时和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值；或只需，此时与B点重合，M=BM=AM=，再由相似的知识算得MN的值．【详解】由AC=4，BC=3，∠ACB=90°据勾股定理得AB=5．下面分情况讨论：第一种情况如图1当∠MNC=90°时，折叠后A点落在C点．∵∠BCA=90°∴∠MNC=∠BCA又由对折知：∠MCN=∠A∴△MCN∽△ABC由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得（㎝）；第二种情况如图2当∠NMB=90°时，折叠后A点落在B点．∵∠C=90°∴∠C=∠NMB又由对折知∠A=∠NBM∴△ABC∽△BNM∴又由对折知∴（㎝）．综上分析得MN=㎝或㎝．故答案为：或．【点睛】本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法．关键之处在于紧抓折叠的图形成轴对称及全等解决之．三、解答题19．（2020·山西）综合与实践将矩形和按如图1的方式放置，已知点在上（），，连接，．特例研究（1）如图1，当，时，线段与之间的数量关系是_______；直线与直线之间的位置关系是_______；（2）在（1）条件下中，将矩形绕点旋转到如图2的位置，试判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；探究发现（3）如图3，当，时，试判断线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由；知识应用（4）如图4，在（3）的条件下，连接，，若，请直接写出的值．【答案】（1），；（2）（1）中结论仍然成立，理由见解析；（3），，理由见解析；（4）的值为．【分析】（1）先证，便可证得BF=DE，∠BFC=∠CED，再根据直角三角形两锐角互余及直角三角形判定不难证得BF⊥DE；（2）方法同（1），问题易证；（3）利用∽证得∠BFC=∠CED，再根据直角三角形两锐角互余及、对顶角相等及直三角形的判定即可证得结论成立；（4）延长ED交BF于点G，根据勾股定理求出EB2，FD2，FE2，不难求出结果．【详解】解：（1）在矩形中，∠BCD=90，BC=CD，在，∠FCE=90，FC=CE，∴∠BCD=∠FCE，∴，∴，∠BFC=∠DEC∵∠BFC+∠FBC=90，∴∠FBC+∠DEC=90，∴故答案为：BF=DE，（2）（1）中结论仍然成立．理由如下：如图，延长交于点，交于点，四边形是矩形，，，，，，．，，在和中，，，，．，．，，，，，．（1）中结论仍然成立．（3），．如图，延长交于，交于．四边形是矩形，，，，，．，，．，．．，．，．．．（4）如图，延长ED交BF于点G，则EG⊥BF于G，∵，，∴CD=1，CF=4，BC=2，∵在RtFGD中，GF2+GD2=FD2，在RtGBE中，GE2+GB2=BE2，∴BE2+FD2=（GF2+GE2）+（GB2+GD2）=连接BD，则BD2=，∵在Rt△FCE中，EF2=∴BE2+FD2=20+5=25．【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质及旋转变换等知识，侧重考查了对知识的综合应用．20．（2020·枣庄市薛城舜耕中学九年级月考）如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动．几秒时，的面积为？几秒时，由、、三点组成的三角形与相似？【答案】（1）秒或秒后，的面积为；（2）当或者时，由、、三点组成的三角形与相似【分析】（1）设t秒后△PCQ的面积为3，首先表示出线段PC和线段CQ，然后利用其面积为3列出有关t的方程求解即可；（2）有两种情况，△ABC∽△PCQ或者△ABC∽△QCP，根据线段的比例关系求解．【详解】解：（1）秒或秒后，的面积为；要使两个三角形相似，由∴只要或者∵，∴只要或者设时间为则，∴或者，∴当或者时，由、、三点组成的三角形与相似；【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的性质，特别是第二问中分两种情况讨论是解题的关键．21．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是△ABC内一动点（不包括△ABC的边界），连接AD．将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE．连接CD，BE．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：BE=CD．（3）延长CD交AB于F，交BE于G．①求证：△ACF∽△GBF；②连接BD，DE，当△BDE为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BD的值．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①证明见解析，②AB：BD=：2或：2．【分析】（1）根据题意，将AD绕点A顺时针旋转90°，补全图形即可；（2）已知AD=AE，∠BAD+∠BAE=∠BAD+∠CAD，可得∠BAE=∠CAD，利用全等三角形判定依据SAS，即可求证本问结论；（3）①利用全等三角形对应角相等得到∠ACD=∠ABE，由对顶角相等得到∠AFC=∠GFB，至此问题不难证明；②分为∠EDB=90°与∠BED=90°时两种情况，分别利用△AED、△EBD、△ABC为等腰直角三角形，即直角三角形斜边等于直角边的倍，结合BE=CD，求解直角三角形，即可得解.【详解】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵∠EAD=∠BAC=90°，∴∠EAB=∠DAC，∵AE=AD，AB=AC，∴△EAB≌△DAC，∴BE=CD．（3）①证明：∵△EAB≌△DAC，∴∠ABE=∠ACD，∵∠CFA=∠BFG，∴△ACF∽△GBF．②如图2中，当BE=ED，∠BED=90°时，设AE=AD=a，则DE=BE=a，BD=BE=2a，∵∠ADE=∠BDE=45°，∴∠ADB=90°，∴AB==a，∴AB：BD=a：2a=：2．如图3中，当BD=DE，∠BDE=90°时，设AE=AD=a，则BD=DE=a，BE=2a，∵∠AED=∠BED=45°，∴∠AEB=90°，∴AB=a，∴AB：BD=a：a=：2．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质

，勾股定理等知识及分类讨论的数学思想.解（2）的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，解（3）①的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，解（3）②的关键是分两种情况进行讨论.22．已知在△ABC中，∠A=45°，AB=7，，动点P、D分别在射线AB、AC上，且∠DPA=∠ACB，设AP=x，△PCD的面积为y．（1）求△ABC的面积；（2）如图，当动点P、D分别在边AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求线段AP的长．【答案】(1)14;(2)y=(0＜x＜）；（3）AP的长为或16或32．试题分析：（1）过C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH、Rt△CHB中，分别用CH表示出AH、BH的长，进而由AB=AH+BH=7求出CH的长，即可得到AH、BH的长，由三角形的面积公式可求得△ABC的面积；（2）由∠DPA=∠ACB，可证得△DPA∽△BCA，根据相似三角形得出的成比例线段可求得AD的表达式，进而可得到CD的长；过P作PE⊥AC于E，根据AP的长及∠A的度数即可求得PE的长；以CD为底、PE为高即可求得△PCD的面积，由此可得出y、x的函数关系；求自变量取值的时，关键是确定AP的最大值，由于P、D分别在线段AB、AC上，AP最大时D、C重合，可根据相似三角形得到的比例线段求出此时AP的长，由此可得到x的取值范围；（3）在（2）题中，已证得△ADP∽△ABC，根据相似三角形得到的比例线段，可得到PD的表达式；若△PDC是以PD为腰的等腰三角形，则可分两种情况：PD=DC或PD=PC；①如果D在线段AC上，此时∠PDC是钝角，只有PD=DC这一种情况，联立两条线段的表达式，即可求得此时x的值；②如果D在线段AC的延长线上，可根据上面提到的两种情况，分别列出关于x的等量关系式，即可求得x的值．试题解析：（1）作CH⊥AB，垂足为点H，设CH=m；∵tanB=，∴BH=∵∠A=45°，∴AH=CH=m∴；∴m=4；∴△ABC的面积等于；（2）∵AH=CH=4，∴∵∠DPA=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADP∽△ABC；∴即∴CD=；作PE⊥AC，垂足为点E；∵∠A=45°，AP=x，∴PE=；∴所求的函数解析式为y=，即y=；当D到C时，AP最大．∵△CPA∽△BCA∴∴AP=，∴定义域为0＜x＜；（3）由△ADP∽△ABC，得；∴；∵△PCD是以PD为腰的等腰三角形，∴有PD=CD或PD=PC；（i）当点D在边AC上时，∵∠PDC是钝角，只有PD=CD∴；解得；（ii）当点D在边AC的延长线上时，如果PD=CD，那么解得x=16如果PD=PC，那么解得x1=32，（不符合题意，舍去）综上所述，AP的长为，或16，或32．23．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．（特例探究）（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=2时，a=，b=；如图2，当∠PAB=30°，c=4时，a=，b=；（归纳证明）（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．（拓展证明）（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=6，AB=6，求AF的长．【答案】（1）4，4，，；（2）猜想：a2，b2，c2三者之间的关系是：a2+b2=5c2（3）AF=2试题分析：(1)①由等腰直角三角形的性质得到AP=BP=AB=4，根据三角形中位线的性质,得到EF∥AB，EF=AB=2，再由勾股定理得到结果；②如图2，连接EF，类比①，结合△PEF～△ABP进行求解；(2)连接EF，类比着(1)即可证得结论;(3)根据全等三角形的性质得到AG=GF，得到BG是△ABF的中线,取AB的中点H,连接FH,并延长交DA的延长线于P,推出四边形CSPF是平行四边形,根据平行四边形的性质得到FP∥CE,得到△ABF是中垂三角形,于是得到结论.解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，∴AP=BP=AB=4，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF=AB=2，∴∠PFE=∠PEF=45°，∴PE=PF=2，在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE=BF==2，∴AC=BC=4，∴a=b=4，如图2，连接EF，同理可得：EF=×2=1，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，∴=，在Rt△ABP中，AB=2，∠ABP=30°，∴AP=1，PB=，∴PF=，PE=，在Rt△APE和Rt△BPF中，AE=，BF=，∴a=，b=，故答案为：4，4，，；（2）猜想：a2，b2，c2三者之间的关系是：a2+b2=5c2，证明：如图3，连接EF，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB．且EF=AB=c．∴==，设PF=m，PE=n则AP=2m，PB=2n，在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2=c2①在Rt△APE中，（2m）2+n2=（）2②在Rt△BPF中，m2+（2n）2=（）2③由①得：m2+n2=，由②+③得：5（m2+n2）=，∴a2+b2=5c2；（3）在△AGE与△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，∴BG=EG，AG=GF，∴BG是△ABF的中线，如图4，取AB的中点H，连接FH，并延长交DA的延长线于P，同理，△APH≌△BFH，∴AP=BF，PE=CF=2BF，∴PE∥CF，PE=CF，∴四边形CSPF是平行四边形，∴FP∥CE，∵BE⊥CE，∴FP⊥BE，即FH⊥BG，∴△ABF是中垂三角形，由（2）知，AB2+AF2=5BF2，∵AB=6，BF=AD=2，∴36+AF2=5×（2）2，∴AF=2．点睛：本题主要考查直角三角形、相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.明确“中垂三角形”的含义，熟练运用相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.24．已知，，，是的中点，是平面上的一点，且，连接.（1）如图，当点在线段上时，求的长；（2）当是等腰三角形时，求的长；（3）将点绕点顺时针旋转得到点，连接，求的最大值．【答案】(1)2;(2)见解析;(3).【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长，由直角三角形斜边中线的性质可求出CD的长，利用勾股定理求出PC的长即可；（2）由DP=1可知点P在以D为圆心，1为半径的圆上，分别讨论、、的情况，求出PC的长即可；（3）由旋转性质可知，，可得，由等腰直角三角形的性质可知，进而可证明∽，即可得，利用三角形三边关系即可得答案.【详解】（1）如图1中，连接．在中，，，∴，∵，∴，，在中，．（2）如图2中，∵，∴点在以点为圆心的⊙上．①当时，∵，∴都在线段的垂直平分线上，设直线交于．∴，，∵，∴，在中，，当在线段上时，，，当在线段的延长线上时，，．②当时，∵，∴，此种情形不存在；③当时，同理这种情形不存在；如图3中（3）如图4中，连接．由旋转可知：，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴∽，∴，∵，∴点落在的延长线与⊙的交点处，的值最大，∴．∴的最大值为．【点睛】本题考查勾股定理、旋转的性质、直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理与性质并正确的作出辅助线是解题的关键．25．（2020·贵州贵阳·九年级期末）如图，在中，，，垂足为点，点是上的一点，连接，作，且交于点.（1）求证：；（2）除（1）中的相似三角形外，图中还有其它的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来.【答案】（1）详见解析；（2）；；；.【分析】（1）由，证得，再利用证得，即可得到；（2）利用直角与公共角的关系得到；；；.【详解】（1）,,又,，；（2），∴∠ACB=∠ADC=∠BCD=90，∵∠A=∠A,∴;∵∠ABC=∠CBD,∴;∴；∵,∴∠BMN=∠BDP=90，又∵∠DBP=∠MBN,∴.∴共4对相似三角形：；；；.【点睛】此题考查相似三角形的判定，注意公共角在证明三角形相似中的作用，再由已知条件所给的都是关于角的条件，因此通过证明两组角分别相等证明两个三角形相似比较简单.26．（2021·江西九年级）如图，在中，E是DC上一点，连接AE、F为AE上一点，且.求证：.【分析】本题要证明，根据题目给定的条件中没有给定与边对应成比例有关的信息，只有与角有关的条件，故在方法选择上确定利用定理“两角对应相等，两三角形相似”，通过证明，即可完成．【详解】证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，，∴∵，且，∴.∵，∴，∴.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，关键是根据题意利用“两角对应相等，两三角形相似”的方法来证明两三角形相似．27．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP（1）求证：△ADE≌△CDF；（2）求证：△ADP∽△BDF；（3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）CF＝﹣1，【分析】（1）根据SAS证明即可；（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．易证△APE≌△HPF（AAS），得PE＝PF，再证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDP＝∠FDP＝45°，进而得∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可得到结论；（3）如图2，作PH⊥BC于H．首先证明∠EFB＝30°，由PC＝，得：HF＝，进而求出CF，即可解决问题．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠FCH＝45°，∵AB∥FH，∴∠HFC＝∠ABC＝90°，∴∠FCH＝∠H＝45°，∴CF＝FH＝AE，∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH，∴△APE≌△HPF（AAS），∴PE＝PF，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∵EP＝PF，∴∠EDP＝∠FDP＝45°，∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，∴∠ADP＝∠BDF，∵∠DAP＝∠DBF＝45°，∴△ADP∽△BDF；（3）如图2中，作PH⊥BC于H．∵∠ACB＝45°，PC＝，∴PH＝CH＝1．由（2）得：BE＝PE＝PF，∴BE＝EF，∴∠BFE＝30°，∴PF＝2，∴HF＝，∴CF＝﹣1，【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，正方形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及含30°角的直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造全等三角形和含30°角的直角三角形，是解题的关键．28．（2020·扬州市梅岭中学九年级月考）如图，在中，点分别在边上，连接，且．（1）证明：；（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．【答案】(1)理由见详解；（2）或，理由见详解．【分析】（1）根据题目已知条件易得：，，所以得到，问题得证．（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．【详解】（1）如图可知：在中，又．（2），是等腰直角三角形BC=2，AB=AC=BC=①当AD=AE时，，点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上此情况不符合题意．②当AD=DE时，由（1）结论可知：AB=DC=．③当AE=DE时，是等腰直角三角形，，即．综上所诉：或．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．29．（2021·贵州九年级期末）如图，正方形的边长是4，，线段的两端点在上滑动，当为多长时，与以D，M，N为顶点的三角形相似？请说明理由．【答案】或．【分析】因为∠B＝∠D＝90°，所以只有两种可能，假设△ABE∽△NDM或△ABE∽△MDN，分别求出DM的长．【详解】解：∵正方形ABCD边长是4，BE＝CE，∴BE＝2，∴AE＝，∵∠B＝∠D＝90°①当时．△ABE∽△NDM．DM＝．②当时，△ABE∽△MDN．．∴DM＝．∴DM＝或．【点睛】本题考查了三角形相似的判定定理，解题关键是需注意边的对应关系，分类讨论列比例式．30．（2021·浙江绍兴·）在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足+＝0．（1）求点A、C的坐标；（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB＝90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．【答案】（1）点A（0，-2）、C的坐标（2，0）；（2）CD、OD、BD之间的数量关系是BD-OD=CD，见解析；（3）的值不变化；1．【分析】（1）利用实数的非负性，确定m，n的值，根据点的位置，坐标的特点，确定坐标即可；（2）如图1，在BD上截取BE=OD，连接CE，根据∠ODB=∠OCB=90°，对顶角相等，确定∠DOC=∠EBC，从而证明△DOC≌△EBC，继而得到△DEC是等腰直角三角形，实现解题目标；（3）根据∠OMF=∠FAB=90°，∠OFM=∠AFB，得到∠MOF=∠NBA，∠OMF=∠BNA=90°，得到△OMF∽△BNA，；∠ABF=∠NBA，∠BAF=∠BNA=90°，得到△BAF∽△BNA，,继而得到,将两个比例式相加即可．【详解】（1）∵+＝0，∴m+2=0，n-2=0，∴m=-2，n=2，∴点A（0，-2）、C的坐标（2，0）；（2）如图1，在BD上截取BE=OD，连接CE，∵∠ODB=∠OCB=90°，∠1=∠2，∴∠DOC=∠EBC，∵四边形ABCD是矩形，且OC=OA=2，∴四边形ABCD是正方形，∴CO=CB，∵BE=OD，∴△DOC≌△EBC，∴DC=CE，∠DCO=∠ECB，∵∠OCE+∠ECB=90°，∴∠OCE+∠DCO=90°，∴△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CD，∴BD-OD=CD；（3）的值不变化；1．理由如下：如图2，∵∠OMF=∠FAB=90°，∠OFM=∠AFB，∴∠MOF=∠NBA，∵∠OMF=∠BNA=90°，∴△OMF∽△BNA，∴；∵∠ABF=∠NBA，∠BAF=∠BNA=90°，∴△BAF∽△BNA，∴,∴,∴,∵四边形OABC是正方形，∴OA=AB，∴,∴=1．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的全等，三角形的相似，熟练运用截长法和三角形相似是解题的关键．31．（2021·福建宁德市·）如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，．（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；（2）若AB=4，求的值；（3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）16；（3）EB=EG，理由见解析【分析】（1）根据正方形的性质，等腰三角形的两个底角相等，等角的补角相等，证明△ABE≌△CBF即可；（2）证明EBF△∽△ECB∽△BAF，列出比例式计算即可；（3）先证明△BEF∽△CGF，得到，根据∠EFG=∠BFC，证明△EFG∽△BFC即可．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．∵BE=BF，∴∠BEF=∠BFE．∴∠AEB=∠CFB．∴△ABE≌△CBF．∴AE=CF．（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE=+∠ABE，∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE，∴∠BEC=∠ABF．∵∠BAF=∠BCE=，∴△ABF∽△CEB．∴．∴=16．（3）如图2∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC，∴△BEF∽△CGF.∴.即.∵∠EFG=∠BFC，∴△EFG∽△BFC.∴∠EGF=∠BCF=45°.∴∠EBF=∠EGF.∴EB=EG.【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法和三角形相似的判定方法是解题的关键．32．（2021·山东九年级）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）4．【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【详解】解：（1）问题发现：∵和都是等边三角形，∴A，，，∴，在和中，，∴，∴，故答案为：；（2）变式探究：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解决问题：连接、，如图所示:∵四边形是正方形，∴，，∵是正方形的中心，∴，，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，设，则，在中，，即，解得，（舍去），，∴正方形的边长为：．【点睛】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．33．（2021·河南）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角．（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系是______；（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且．①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若的面积为，求的面积．【答案】（1）30°，；（2）①，证明见解析；（3）．【分析】（1