《第24章 解直角三角形》章末测试卷（能力过关卷）解析版

22/22第24章解直角三角形元测试（能力过关卷）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•金山区期末）在中，，那么锐角的正弦等于A． B． C． D．【分析】根据锐角三角函数的定义得出答案即可．【解答】解：在中，，锐角的正弦表示的是锐角的对边与斜边的比，即：，故选：．2．（2020秋•锦江区校级期中）在中，，若，，则的值为A． B． C． D．【分析】根据勾股定理求得的值，再根据正弦函数即可求得的值．【解答】解：在中，，，，，．故选：．3．（2019春•巴东县期中）在中，，，，则的度数为A． B． C． D．【分析】求出的正切值，根据特殊锐角的三角函数值，即可得到的度数．【解答】解：，，故选：．4．（2020秋•松江区期末）在中，，，，那么的长为A． B． C． D．【分析】根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：，，，故选：．5．（2021•抚顺县模拟）如图，某高速公路建设中需要测最某条江的宽度，飞机上的测量人员在处测得、两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点，，在同一水平直线上，则这条江的宽度为A． B． C． D．【分析】根据题意和锐角三角函数，可以求得和的长，然后即可得到的长，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，，，，，，，，故选：．6．（2021•宜昌）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为A． B． C． D．【分析】由图可知，可把放在中，利用勾股定理可求出斜边的长，再利用余弦的定义可得．【解答】解：法一、如图，在中，，，，．故选：．法二、在中，，，，．故选：．7．（2021•龙岗区校级一模）如图，热气球探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球与楼的水平距离为90米，则这栋楼的高度为A．米 B．米 C．米 D．225米【分析】在直角三角形中和直角三角形中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，，，米，，在中，，米，，（米，在中，，米，，（米，（米，即这栋楼的高度是米．故选：．8．（2020秋•阜南县期末）已知在中，，，，那么的值等于A． B． C． D．【分析】画出相应的图形，根据勾股定理和锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：如图，由勾股定理得，，，故选：．9．（2019•南充模拟）把一副三角板按如图方式放置，含角的顶点在等腰直角三角板的斜边的延长线上，，，则的值是A． B． C． D．【分析】作于，由等腰直角得和的关系式；再由直角可得和的关系式；再结合从而计算得到答案．【解答】解：作于，为等腰直角三角形，且，，含角的顶点在等腰直角三角板的斜边的延长线上，，，，故选：．10．如图，在中，，，延长到，使，则A． B． C． D．【分析】根据等腰三角形的性质求得，设，求出，，再解直角三角形求出即可．【解答】解：在中，，，，，，设，在中，由勾股定理得，，，，，故选：．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•邵阳县期末）已知是锐角，且，那么1．【分析】根据的正弦值、的正切值计算即可．【解答】解：，，解得，，，故答案为：1．12．（2015•沂源县校级模拟）若等腰三角形两边为4，10，则底角的正弦值是．【分析】根据三角形三边关系定理确定腰和底边的长．作底边上的高，利用三角函数的定义求解．【解答】解：，，．过点作于点．，，．，，，故答案为．13．（2020•南通）如图，测角仪竖直放在距建筑物底部的位置，在处测得建筑物顶端的仰角为．若测角仪的高度是，则建筑物的高度约为7.5．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，【分析】作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．【解答】解：如图，过点作，垂足为点，则，，在中，，，，故答案为：．14．（2020•三水区一模）如图，一根竖直的木杆在离地面处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成角，则木杆折断之前高度约为8．（参考数据：，，【分析】在中，由的长及的值可得出的长，即可解答．【解答】解：如图：，，，木杆折断之前高度．故答案为8．15．（2021•无锡）一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为米．【分析】设上升的高度为米，根据坡度的概念得到水平距离为米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设上升的高度为米，上山直道的坡度为，水平距离为米，由勾股定理得：，解得：，（舍去），故答案为：．16．（2020秋•江阴市期末）如图，四边形中，在轴的正半轴上，，，，，则点的坐标是，．【分析】过作于，过作于，得四边形是矩形，则，，先证，再由锐角三角函数定义求出，则，然后证，求出，即可得出答案．【解答】解：过作于，过作于，如图所示：则，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，即，解得：，点的坐标为，，故答案为：，．17．（2020秋•闵行区期中）我们把有三个内角相等的凸四边形叫做三等角四边形，例如：在四边形中，如果，，那么四边形是三等角四边形．请阅读以上定义，完成下列探究：如图，在中，，，如果点在边上，，点在边上，四边形是三等角四边形，那么线段的长是．【分析】如图，过点作于，连接，解直角三角形求出，，再利用相似三角形的性质求出，，想办法求出，即可解决问题．【解答】解：如图，过点作于，连接，过点作于，过点作于．，，，，，，，，，，，，，，，，四边形是三等角四边形，，，设，，在中，，，或（舍弃），，，．故答案为：．18．我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线，”相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形中，，则，所以四边形是闪亮四边形，是闪亮对角线，、是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形中，是闪亮对角线，、是对应的闪亮边，且，，，，那么线段的长为．【分析】如图，作于．想办法证明是等边三角形，即可解决问题．【解答】解，如图，作于．时，，，，，，，，，是等边三角形，．故答案为：．三．解答题（共8小题）19．（2021•津南区模拟）计算下列各式的值：（1）．（2）．【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．【解答】解：（1）；（2）．20．（2020秋•惠山区校级期中）（1）已知中，，，，解直角三角形．（2）已知中，，，，求的长．【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出，、即可；（2）分情况讨论解答，分锐角三角形和钝角三角形进行解答即可．【解答】解：（1）在中，，，，，，，，，，，；（2）如图1，过点作，垂足为，，，，在中，，，如图2，，故的长为或．21．（2020•盐城）如图，在中，，，的平分线交于点，，求的长？【分析】根据，，可求出，，再根据是的平分线，求出，在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可．【解答】解：在中，，，，，是的平分线，，又，，在中，，，．答：的长为6．22．（2021•宣城模拟）如图，小亮在大楼的观光电梯中的点测得大楼楼底点的俯角为，此时他距地面的高度为21米，电梯再上升9米到达点，此时测得大楼楼顶点的仰角为，求大楼的高度．（结果保留根号）【分析】过作于，过作于．求出和的长，在中，求出，则可得出答案【解答】解：过作于，过作于．由已知得，，，米，米．在中，米，，（米．米．在中，，米．米．答：大楼的高度是米．23．（2018秋•淮安区校级期中）如图，在中，，平分交于点，，，求的长．【分析】作于，解，求出，．根据角平分线的性质得出，那么．再解，求出，，然后根据勾股定理得到．【解答】解：如图，作于．在中，，，，，．平分交于点，，于，，．在中，，，，，，．24．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点，之间的距离，在河岸这边取点，．测得，，，，．设，，，在同一平面内，求，两点之间的距离．（参考数据：，．【分析】过作于，过作于，由已知是等腰直角三角形，设，则，，在中，可得，解得，在中，解得，根据四边形是矩形，可得，，，即可在中，求出【解答】解：过作于，过作于，如图：，是等腰直角三角形，设，则，，，中，，，即，解得，，中，，，，即，解得，，于，，四边形是矩形，，，，中，，答：，两点之间的距离是．25．（2021•连云港）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点到岸边的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点恰好位于海面．求点到岸边的距离．（参考数据：，，，，，【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于，先根据三角函数的定义求出，继而得出，再根据三角函数的定义求出，继而得出，根据三角函数的定义得出，从而得出的长度；（2）过点作，垂足为，延长交于点，垂足为，先根据三角函数的定义求出，继而得出，再根据三角函数的定义求出，继而得出，利用勾股定理求出，从而得出的长．【解答】解：（1）过点作，垂足为，延长交于，则，垂足为，由，，，即，，由，，，即，，又，，即，，即点到岸边的距离为；（2）过点作，垂足为，延长交于点，垂足为，由，，，即，，由，，，即，，，，即点到岸边的距离为．26．（2020•福州模拟