专题09 最值问题（原卷版）

试卷第=page1010页，共=sectionpages1111页09最值问题1．已知实数满足．若，且，则的最小值是（

）A．6 B． C．3 D．02．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，于点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（

）A． B． C．2 D．3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4a，E在BC上，BE＝2a，，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（）A．6a B．5a C．4a D．2a4．如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．105．如图，已知中，，，平分交于，是边上的点，且：：，：：，连结交于，连结，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．6．如图，等边边长为6，点是中线上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．当在点运动过程中，取得最小值时，的面积等于（

）．A． B． C． D．7．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，AE⊥CD于点E，F是OA的中点，P是AB边上的一个动点，则PE﹣PF的最大值是______．8．如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是______．9．如图，在矩形中，，垂足为，动点分别在上，则的长为_____，的最小值为_____．10．如图，在中，，，，点P在的内部（不包括边上），且的面积等于的面积的一半，设点D为的重心，点P、D两点之间的距离为d，那么d的最小值为___________．11．如图，点M为正方形边上一动点，，将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，若E、F分别为中点，当取到最小值时，_______．12．如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是___________13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为边CD的中点，点P在线段AB上运动，F是CP的中点，则△CEF的周长的最小值是_____．14．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是________．15．温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值_____________．阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为________．16．如图，在中，，，作直线，点E为直线上的一个动点，连接，在右侧作等腰直角，使得，，连接，则的周长最小值为___________；17．如图，正方形中，，是中点，上有一动点，连接、，将沿着翻折得到，连接，，则的最小值为______．18．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△ABE面积的最大值是______．19．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为．(1)当时，的最长边的长度是______（请直接写出答案）；(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）；(3)若x为整数，求的最大值．20．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树高是6米，另外一棵点高4米；与树干间的距离是10米．每棵树的树顶上都停着一只鸟，忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．(1)问：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？(2)求的最小值．21．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时，∵，∴当即时，的最小值为2．请利用以上结果解决下面的问题：(1)当时，的最小值为___________；当时，的最大值为___________；(2)当时，求的最小值；(3)如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为3，的面积为6，求四边形面积的最小值．22．阅读理解对于任意正实数，，，，，只有当时，等号成立．结论：在均为正实数中，若为定值，则只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题：(1)若，只有当______时，有最小值______．(2)探索应用如图，已知，，为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，轴于点求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．(3)实践应用建筑一个容积为，深为的长方体蓄水池，池壁每平方米造价为元，池底每平方米造价为元，如何设计池底的长、宽，使总造价最低？23．由得，；如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：(1)当，式子x+的最小值为___；当，则当___时，式子取到最大值；(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？(3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和18，求四边形面积的最小值．24．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式最小值．解：∵无论x取何实数，总有．∴，即的最小值是．即无论x取何实数，的值总是不小于的实数．问题：(1)已知，求证y是正数；(2)知识迁移：如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒时S最大，请求出t和S的值，25．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题：(1)若，是方程的两根，则_____，______；若2，3是方程的两根，则______，______；(2)已知，满足，，求的值；(3)已知，，满足，，则正整数的最小值为______．26．阅读下面的材料：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下．∵，由，得；∴代数式的最小值是4．(1)①仿照上述方法求代数式的最小值为．②代数式的最大值为．(2)延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边面积为．当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？27．（1）如图1，MN⊥PQ于N，△ABC是等腰直角三角形，，等腰直角△ABC的顶点C、B分别在射线MN，射线NQ上滑动（顶点C、B与点N不重合）在滑动过程中，点A到直线MN的距离AHCN（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）如图2，在（1）的条件下，等腰直角△ECF中，，且△ECF的顶点C、F也分别在射线NM、射线NP上滑动（顶点C、F与点N不重合），连接AE交MN于点D，试探究AD与ED的数量关系，并证明你的结论．（3）如图2，，，在△ECF和△ABC保持原来滑动状态的过程中，△ACE的面积是否有最大值？若有，请求出△ACE的最大面积并求此时BF的长度；若△ACE的面积没有最大值，请说明理由．28．旋转是图形变换的一种，它能解决很多的数学问题．(1)如图1