2025年大学统计学期末考试：时间序列分析指数平滑模型试题

2025年大学统计学期末考试：时间序列分析指数平滑模型试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（本部分共20小题，每小题1分，共20分。请将答案填写在横线上方）1.在时间序列分析中，描述数据随时间变化的统计模型被称为______。2.指数平滑法的基本思想是赋予近期数据更高的权重，这种权重呈______衰减。3.Holt线性趋势模型需要估计的参数包括平滑系数α、趋势系数β和初始值______。4.当时间序列数据呈现明显的季节性波动时，需要采用______模型进行预测。5.Winters指数平滑模型同时考虑了平滑项、趋势项和季节项，其中季节项的平滑系数用______表示。6.初始值的选取对指数平滑模型的预测效果有显著影响，通常采用______方法确定。7.在单指数平滑模型中，平滑系数α的取值范围是______。8.Holt-Winters模型中的三参数分别为α、β和______。9.季节性指数的波动周期通常用______表示。10.指数平滑法属于______预测方法，适用于短期预测。11.单指数平滑模型适用于没有明显趋势和季节性的时间序列数据。12.Holt模型通过引入趋势项来改进单指数平滑的预测效果。13.Winters模型在Holt模型的基础上增加了季节项，能够更好地捕捉季节性变化。14.在指数平滑法中，权重呈指数衰减，因此称为______。15.平滑系数α越大，模型对近期数据的敏感度______。16.初始值的确定需要结合历史数据和______进行综合判断。17.指数平滑法的关键在于合理选择平滑系数______。18.Holt-Winters模型适用于具有明显趋势和季节性的时间序列数据。19.季节性指数的平滑系数γ通常取值在______之间。20.时间序列分析中，数据点之间的时间间隔通常用______表示。二、选择题（本部分共15小题，每小题2分，共30分。请将正确选项的字母填写在题干后的括号内）1.下列哪一项不属于时间序列分析的内容？（）A.平稳性检验B.季节性分解C.回归分析D.趋势预测2.指数平滑法的基本公式是______？（）A.Sₜ=αYₜ+(1-α)Sₜ₋₁B.Sₜ=βYₜ+(1-β)Sₜ₋₁C.Sₜ=αYₜ+(1-α)Sₜ₋₁+γYₜ-LD.Sₜ=αYₜ+(1-α)Sₜ₋₁+βYₜ-L3.Holt线性趋势模型需要估计的参数个数是______？（）A.1B.2C.3D.44.当时间序列数据呈现明显的季节性波动时，应该采用______模型？（）A.单指数平滑B.Holt模型C.Holt-Winters模型D.ARIMA模型5.Winters指数平滑模型中，季节项的平滑系数用______表示？（）A.αB.βC.γD.Φ6.初始值的选取对指数平滑模型的预测效果有显著影响，通常采用______方法确定？（）A.简单平均法B.移动平均法C.最小二乘法D.专家判断法7.在单指数平滑模型中，平滑系数α的取值范围是______？（）A.[0,1]B.(0,1)C.[0,2]D.(-1,1)8.Holt-Winters模型中的三参数分别为______？（）A.α,β,γB.α,β,ΦC.α,θ,γD.β,γ,Φ9.季节性指数的波动周期通常用______表示？（）A.NB.LC.TD.S10.指数平滑法属于______预测方法，适用于短期预测？（）A.时间序列B.回归分析C.聚类分析D.因子分析11.单指数平滑模型适用于______的时间序列数据？（）A.有明显趋势B.有明显季节性C.没有明显趋势和季节性D.有周期性波动12.Holt模型通过引入______来改进单指数平滑的预测效果？（）A.季节项B.趋势项C.随机项D.常数项13.Winters模型在Holt模型的基础上增加了______，能够更好地捕捉季节性变化？（）A.平滑项B.趋势项C.季节项D.随机项14.在指数平滑法中，权重呈______衰减，因此称为指数平滑？（）A.线性B.指数C.对数D.幂函数15.平滑系数α越大，模型对近期数据的敏感度______？（）A.越低B.越高C.不变D.先升高后降低三、判断题（本部分共10小题，每小题2分，共20分。请将正确选项的“√”填写在题干后的括号内，错误选项的“×”填写在题干后的括号内）1.指数平滑法的基本思想是赋予近期数据更高的权重，这种权重呈线性衰减。（）2.Holt线性趋势模型能够同时处理趋势和季节性。（）3.Winters指数平滑模型需要估计的参数包括平滑系数α、趋势系数β和季节系数γ。（）4.初始值的选取对指数平滑模型的预测效果没有显著影响。（）5.在单指数平滑模型中，平滑系数α的取值越大，模型对近期数据的敏感度越高。（）6.Holt-Winters模型适用于具有明显趋势和季节性的时间序列数据。（）7.季节性指数的平滑系数γ通常取值在[0,1]之间。（）8.时间序列分析中，数据点之间的时间间隔通常用季节周期L表示。（）9.指数平滑法属于时间序列预测方法，适用于短期预测。（）10.单指数平滑模型适用于有明显趋势和季节性的时间序列数据。（）四、简答题（本部分共5小题，每小题4分，共20分）1.简述指数平滑法的基本思想和适用条件。2.Holt线性趋势模型与单指数平滑模型相比有哪些改进？3.Winters指数平滑模型是如何处理季节性变化的？4.初始值在指数平滑模型中如何确定？为什么初始值的选择很重要？5.简述选择平滑系数α、β、γ时需要考虑的因素。五、计算题（本部分共5小题，每小题10分，共50分）1.某公司过去10个月的销售数据如下表所示，请使用单指数平滑法（α=0.3）预测第11个月的销售数据。|月份|销售数据||------|----------||1|120||2|130||3|135||4|140||5|145||6|150||7|155||8|160||9|165||10|170|2.假设某时间序列数据具有线性趋势，请使用Holt线性趋势模型（α=0.4，β=0.1）预测第12个月的销售数据，已知S₁₀=165，T₁₀=5。3.某时间序列数据具有明显的季节性波动，季节周期为4，请使用Holt-Winters指数平滑模型（α=0.2，β=0.1，γ=0.05）预测第17个月的销售数据，已知S₁₀=165，T₁₀=5，季节性指数分别为0.9，1.1，1.0，1.2。4.假设某时间序列数据具有明显的趋势和季节性，请简述如何确定Holt-Winters模型中的初始值S₀，T₀和季节性指数F₁，F₂，F₃，F₄。5.某公司过去8周的需求数据如下表所示，请使用单指数平滑法（α=0.2）计算第9周的需求预测值，并解释α取值对预测结果的影响。本次试卷答案如下一、填空题答案及解析1.时间序列模型解析：时间序列分析的核心是构建模型来描述数据随时间变化的规律，这类模型统称为时间序列模型。2.指数衰减解析：指数平滑法的关键特征是赋予近期观测值更高的权重，而赋予较早观测值递减的权重，这种权重结构呈指数形式衰减。3.S₀解析：Holt线性趋势模型需要三个初始值：平滑项S₀、趋势项T₀和季节项F₁至Fₗ（季节周期为l）。题目只提到两个参数，通常S₀是隐含的初始平滑值。4.Holt-Winters模型解析：当数据同时呈现趋势和季节性时，Holt-Winters模型通过引入季节项来同时捕捉这两种模式，而其他模型无法处理这种复合模式。5.γ解析：Winters模型包含三个平滑系数：α（平滑项）、β（趋势项）和γ（季节项），其中γ专门控制季节成分的平滑。6.简单平均法解析：初始值的选择至关重要，常用方法包括：使用早期数据计算简单平均作为初始平滑值、使用历史数据的平均值作为初始趋势等。7.[0,1]解析：平滑系数α控制近期观测值的影响程度，必须位于0和1之间。α=0时模型退化为简单均值，α=1时完全依赖最新观测值。8.γ解析：Holt-Winters模型需要三个参数：α（平滑系数）、β（趋势系数）和γ（季节系数），分别控制三个分量（平滑项、趋势项和季节项）的平滑程度。9.季节周期L解析：季节性指数描述的是周期性波动的幅度，其波动周期由数据中的季节周期决定，通常用L表示（如季度数据L=4）。10.时间序列解析：指数平滑法是时间序列预测的经典方法，通过加权平均历史数据来预测未来值，特别适用于短期预测且计算简单。11.正确解析：单指数平滑适用于无趋势无季节性的平稳序列，其模型仅包含一个平滑系数α，通过加权平均历史值来估计当前值。12.趋势项解析：Holt模型在单指数平滑基础上引入了趋势项，通过估计平滑项的变化率来捕捉线性趋势，从而提高预测精度。13.季节项解析：Winters模型在Holt模型基础上增加季节项，通过季节性指数来描述周期性波动，使模型能够同时处理趋势和季节性。14.指数解析：“指数平滑”得名于其权重呈指数衰减的特性，即权重随时间间隔呈指数形式下降，如α(1-α)ⁿ。15.越高解析：平滑系数α越大，近期观测值对预测结果的影响越显著，模型越敏感于最新数据变化；α越小，模型越平滑但可能滞后。16.专家判断法解析：初始值的选择需要结合业务理解和历史数据，专家判断法包括：参考行业基准、咨询经验丰富的同事或使用历史数据的统计特性。17.α解析：α是控制平滑项更新的关键参数，直接影响模型对近期数据的敏感度。合理选择α能使模型既响应变化又保持稳定性。18.正确解析：Holt-Winters模型通过三参数（α,β,γ）分别控制平滑项、趋势项和季节项，能够有效处理同时具有趋势和季节性的时间序列数据。19.[0,1]解析：季节性指数的平滑系数γ控制季节成分的更新速度，通常取值在0和1之间。γ=0时季节模式固定，γ=1时完全依赖最新季节值。20.时间间隔解析：时间序列中的时间间隔可以是任意单位（年、季、月、周等），用T表示，其取值决定了数据频率和季节周期的计算方式。二、选择题答案及解析1.C解析：回归分析属于因果推断方法，通过自变量预测因变量，不属于时间序列分析范畴。其他选项都是时间序列分析的核心内容。2.A解析：单指数平滑的基本公式为Sₜ=αYₜ+(1-α)Sₜ₋₁，其中Yₜ是当前观测值，Sₜ₋₁是上一期平滑值。其他选项分别是其他模型或错误公式。3.C解析：Holt线性趋势模型需要估计三个参数：α（平滑项）、β（趋势项）和S₀（初始平滑值）。题目只提到两个参数，可能是遗漏了初始值S₀。4.C解析：Holt-Winters模型通过引入季节项来处理季节性波动，适用于同时具有趋势和季节性的数据。其他模型要么忽略季节性，要么无法处理趋势。5.C解析：Winters模型包含三个平滑系数α、β、γ，分别对应平滑项、趋势项和季节项。γ专门控制季节成分的更新，其他选项是其他参数。6.A解析：初始值常用简单平均法确定，如使用最早5-10期数据的平均值作为初始平滑值。其他方法虽然可行但不如简单平均直观。7.A解析：平滑系数α的取值范围是0到1，包括0但不包括1。α=0时模型退化为常数，α=1时完全依赖最新观测值。其他范围都是错误的。8.A解析：Holt-Winters模型的三参数是α（平滑系数）、β（趋势系数）和γ（季节系数），分别控制三个分量。其他选项包含错误参数或多余参数。9.B解析：季节周期用L表示，如季度数据L=4，月度数据L=12。题目中的T表示时间间隔，S表示平滑值，都不是季节周期。10.A解析：指数平滑法属于时间序列预测方法，特别适合短期预测。其他选项是不同类型的统计方法：回归分析、聚类分析、因子分析。11.C解析：单指数平滑适用于无趋势无季节性的平稳序列。其他选项描述的是需要更复杂模型处理的情况：有趋势、有季节性、有周期性。12.B解析：Holt模型通过引入趋势项Tₜ=β(Yₜ-Yₜ₋₁)来改进预测，捕捉数据变化率。其他选项描述的是其他模型成分：季节项、随机项、常数项。13.C解析：Winters模型通过季节项Fₜ=γ(Yₜ-Sₜ₋₁+Tₜ₋₁)来处理季节性，其中Fₜ是当前季节指数。其他选项描述的是其他模型成分或错误关系。14.B解析：指数平滑的权重呈指数衰减，即α(1-α)ⁿ，权重随时间间隔呈指数形式下降。其他衰减方式：线性、对数、幂函数都不符合指数平滑特性。15.B解析：α越大，近期观测值权重越高，模型越敏感。α越小，模型越平滑但可能滞后。这种关系是指数平滑的核心特性之一。三、判断题答案及解析1.×解析：指数平滑的权重呈指数衰减，不是线性衰减。线性衰减的权重形式为a-bt，其中t是时间间隔，不符合指数平滑特性。2.×解析：Holt模型只能处理趋势，无法处理季节性。需要同时处理趋势和季节性的模型是Holt-Winters模型。题目说法错误。3.×解析：Winters模型需要三个参数：α（平滑项）、β（趋势项）和γ（季节系数）。题目中多了一个参数“季节系数”，可能是笔误，实际只有γ。4.×解析：初始值对预测效果有显著影响，特别是当数据量较小时。不合理的初始值会导致模型偏差和预测误差增大。题目说法错误。5.√解析：α越大，近期观测值权重越高，模型越敏感。这是指数平滑的基本特性，α值越大表示模型越关注最新数据。6.√解析：Holt-Winters模型通过三个参数分别控制平滑项、趋势项和季节项，能够同时处理趋势和季节性，适用于复合模式数据。题目说法正确。7.×解析：季节性指数的平滑系数γ通常取值在0到1之间，但也可以取小于0的值（如负季节性）。题目限定在[0,1]过于绝对。8.×解析：时间间隔用T表示，季节周期用L表示。题目中的T表示时间间隔，不是季节周期。季节周期是数据中的重复模式长度。9.√解析：指数平滑法属于时间序列预测方法，特别适合短期预测。其原理简单、计算高效且无需外生变量，广泛应用于短期预测。题目说法正确。10.×解析：单指数平滑适用于无趋势无季节性的平稳序列。题目描述的是需要更复杂模型处理的情况：有趋势、有季节性、有周期性。题目说法错误。四、简答题答案及解析1.解析：指数平滑法的基本思想是赋予近期观测值更高的权重，赋予较早观测值递减的权重，通过加权平均历史数据来预测未来值。适用条件：数据是时间序列、观测值按固定时间间隔收集、无明显异常值、短期预测需求。核心公式Sₜ=αYₜ+(1-α)Sₜ₋₁，其中α是平滑系数（0,1），Yₜ是当前观测值，Sₜ₋₁是上一期平滑值。2.解析：Holt线性趋势模型通过引入趋势项来改进单指数平滑。单指数平滑无法捕捉趋势，导致预测滞后；Holt模型通过估计平滑项的变化率Tₜ=β(Yₜ-Yₜ₋₁)来捕捉线性趋势，使预测更准确。Holt模型有两个平滑系数α和β，公式为Sₜ=Sₜ₋₁+Tₜ=Sₜ₋₁+β(Yₜ-Yₜ₋₁)。3.解析：Winters模型在Holt模型基础上增加季节项来处理季节性。首先估计初始季节性指数F₁至Fₗ（季节周期为l），然后通过公式Fₜ=γ(Yₜ-Sₜ₋₁+Tₜ₋₁)+(1-γ)Fₜ₋₁来更新季节成分。预测时使用当前季节指数Sₜ+Fₜ-L（L为季节周期）。模型需要三个参数α、β、γ，能够同时处理趋势和季节性。4.解析：初始值的选择对预测效果至关重要，常用方法：简单平均法（使用最早5-10期数据计算平均值）、递推法（使用初始观测值和模型公式逐步计算）、专家判断法（参考行业基准或经验）。重要性在于：初始值决定了模型的初始状态，对早期预测值影响较大，尤其当数据量较小时。不合理的初始值会导致模型偏差和预测误差增大。5.解析：选择平滑系数α时需考虑：数据波动性（波动大需大α）、预测精度要求（高精度需小α）、数据量（数据量小需小α）。α越大，模型越敏感于最新数据，但可能不稳定；α越小，模型越平滑但可能滞后。α=0时模型退化为常数，α=1时完全依赖最新观测值。实际选择时可通过试错法（计算均方误差MSE）或交叉验证确定最优α。五、计算题答案及解析1.解析：单指数平滑预测公式Sₜ=αYₜ+(1-α)Sₜ₋₁，α=0.3，初始值S₀=120（假设用第1期数据作为初始值）。计算过程：S₁=0.3×130+0.7×120=123S₂=0.3×135+0.7×123=126.21S₃=0.3×140+0.7×126.21=130.25S₄=0.3×145+0.7×130.25=134.17S₅=0.3×150+0.7×134.17=138.42S₆=0.3×155+0.7×138.42=142.59S₇=0.3×160+0.7×142.59=146.71S₈=0.3×165+0.7×146.71=150.70S₉=0.3×170+0.7×150.70=154.49S₁₀=165第11个月预测值S₁₁=αY₁₀+(1-α)S₁₀=0.3×170+0.7×165=168.52.解析：Holt线性趋势模型预测公式Sₜ=Sₜ₋₁+Tₜ，Tₜ=β(Yₜ-Yₜ₋₁)。已知α=0.4，β=0.1，S₁₀=165，T₁₀=5（假设Tₜ=0.1(Yₜ-Yₜ₋₁)）。计算过程：T₁₁=β(Y₁₀-Y₉)=0.1(170-165)=0.5S₁₁=S₁₀+T₁₀=165+5=170T₁₂=β(Y₁₁-Y₁₀)=0.1(预测值-170)但题目未给出Y₁₁，假设Y₁₁=S₁₁=170（自我预测），则：T₁₂=0.1(170-170)=0S₁₂=S₁₁+T₁₁=170+0.5=170.5最终预测值S₁₂=170.53.解析：Holt-Winters模型预测公式Sₜ=Sₜ₋₁+Tₜ+Fₜ，其中Fₜ=γ(Yₜ-Sₜ₋₁+Tₜ₋₁)+(1-γ)Fₜ₋₁。已知α=0.2，β=0.1，γ=0.05，S₁₀=165，T₁₀=5，初始季节指数F₁=0.9，F₂=1.1，F₃=1.0，F₄=1.2，季节周期L=4。预测第1