高中数学选修课程综合测试与解析

高中数学选修课程综合测试与解析一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知双曲线\(\boldsymbol{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\)（\(a\gt0,b\gt0\)）的一条渐近线过点\((2,\sqrt{3})\)，则该双曲线的离心率为（）A.\(\frac{\sqrt{7}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{13}}{3}\)C.\(2\)D.\(\sqrt{7}\)2.函数\(\boldsymbol{f(x)=x\lnx}\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程为（）A.\(x-y-1=0\)B.\(x-y+1=0\)C.\(x+y-1=0\)D.\(x+y+1=0\)3.从4名男生和3名女生中选3人参加某项活动，要求男女生都有，则不同的选法种数为（）A.30B.32C.34D.364.复数\(\boldsymbol{z=\frac{2i}{1-i}}\)（\(i\)为虚数单位）的共轭复数\(\overline{z}\)在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知空间向量\(\boldsymbol{\vec{a}=(1,2,3)}\)，\(\boldsymbol{\vec{b}=(-2,m,1)}\)，若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(m\)的值为（）A.\(-1\)B.\(1\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)6.为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：有效无效总计------------男性患者15520女性患者201030总计351550设\(H_0\)：服用此药的效果与患者的性别无关，则\(\chi^2\)的观测值约为（）（精确到0.01）A.0.86B.0.94C.1.02D.1.13二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7.抛物线\(\boldsymbol{y^2=4x}\)的焦点到准线的距离为______，过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于\(A,B\)两点，则\(|AB|=\)______（第一空2分，第二空3分）8.函数\(\boldsymbol{f(x)=x^3-3x^2+1}\)的极值点为______9.\(\boldsymbol{(x-\frac{1}{x})^6}\)的展开式中常数项为______10.已知\(P(A)=0.6\)，\(P(B|A)=0.3\)，则\(P(AB)=\)______三、解答题（本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11.（12分）已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，过\(F_2\)的直线\(l\)交椭圆于\(A,B\)两点，\(\triangleAF_1B\)的周长为8。（1）求椭圆\(C\)的方程；（2）若直线\(l\)的斜率为1，求\(\triangleAF_1B\)的面积。12.（14分）已知函数\(f(x)=x^3-3x^2-9x+1\)。（1）求函数\(f(x)\)的单调区间；（2）求函数\(f(x)\)在区间\([-2,4]\)上的最值。13.（14分）如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为矩形，\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，\(E\)为\(PD\)的中点，\(PA=AB=2\)，\(AD=4\)。（1）求证：\(PB\parallel\)平面\(AEC\)；（2）求二面角\(E-AC-D\)的余弦值。14.（15分）某学校为了解学生的课外阅读情况，从高二年级随机抽取了\(n\)名学生，统计了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时），并将所得数据分成\([0,2)\)，\([2,4)\)，\([4,6)\)，\([6,8)\)，\([8,10]\)五组，得到频率分布直方图（图中\([4,6)\)组的频率为0.3）。（1）求\(n\)的值及\([6,8)\)组的频率；（2）从阅读时间在\([0,2)\)和\([8,10]\)的学生中任选2人，求这2人阅读时间都在\([0,2)\)的概率。15.（15分）已知\((1+2x)^n\)的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的\(\frac{5}{6}\)。（1）求\(n\)的值；（2）求展开式中系数最大的项。高中数学选修课程综合测试解析一、选择题解析1.考点：双曲线的渐近线与离心率思路：双曲线渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，代入点\((2,\sqrt{3})\)得\(\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。离心率\(e=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^2}=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}\)。答案：\(\boldsymbol{A}\)2.考点：导数的几何意义（切线方程）思路：求导得\(f^\prime(x)=\lnx+1\)，则切线斜率\(f^\prime(1)=1\)，且\(f(1)=0\)。由点斜式得切线方程\(y=x-1\)，即\(x-y-1=0\)。答案：\(\boldsymbol{A}\)3.考点：排列组合（间接法/直接法）思路：直接法：选2男1女或1男2女，即\(C_4^2C_3^1+C_4^1C_3^2=18+12=30\)；或间接法：总选法\(C_7^3\)减去全男、全女，即\(35-4-1=30\)。答案：\(\boldsymbol{A}\)4.考点：复数的运算与共轭复数的几何意义思路：化简\(z=\frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=-1+i\)，共轭复数\(\overline{z}=-1-i\)，对应点\((-1,-1)\)，在第三象限。答案：\(\boldsymbol{C}\)5.考点：空间向量垂直的坐标运算思路：向量垂直则点积为0，即\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2+2m+3=0\)，解得\(m=-\frac{1}{2}\)。答案：\(\boldsymbol{D}\)6.考点：独立性检验的\(\chi^2\)计算思路：由公式\(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，代入数据得\(\chi^2\approx0.40\)（注：题目选项可能存在数据调整，需结合实际计算验证）。二、填空题解析7.考点：抛物线的基本性质（焦点、准线、焦点弦长）思路：抛物线\(y^2=4x\)中\(2p=4\)，故焦点到准线的距离为\(p=2\)；直线\(y=x-1\)与抛物线联立，得\(x^2-6x+1=0\)，由焦点弦长公式\(|AB|=x_1+x_2+p=6+2=8\)。答案：\(\boldsymbol{2}\)；\(\boldsymbol{8}\)8.考点：利用导数求极值点思路：求导得\(f^\prime(x)=3x(x-2)\)，令\(f^\prime(x)=0\)得\(x=0\)或\(x=2\)，结合单调性分析，极值点为\(x=0\)和\(x=2\)。答案：\(\boldsymbol{x=0}\)和\(\boldsymbol{x=2}\)（或\(\boldsymbol{0,2}\)）9.考点：二项式定理（求常数项）思路：通项为\(T_{r+1}=C_6^r(-1)^rx^{6-2r}\)，令\(6-2r=0\)得\(r=3\)，代入得\(T_4=-20\)。答案：\(\boldsymbol{-20}\)10.考点：条件概率公式思路：由\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\)，得\(P(AB)=P(A)\cdotP(B|A)=0.6\times0.3=0.18\)。答案：\(\boldsymbol{0.18}\)三、解答题解析11.考点：椭圆的定义与方程、直线与椭圆的位置关系（面积计算）（1）求椭圆方程：由椭圆定义，\(\triangleAF_1B\)的周长为\(4a=8\)，得\(a=2\)；离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，得\(c=\sqrt{3}\)；又\(b^2=a^2-c^2=1\)，故椭圆方程为\(\boldsymbol{\frac{x^2}{4}+y^2=1}\)。（2）求\(\triangleAF_1B\)的面积：直线\(l\)的方程为\(y=x-\sqrt{3}\)，联立椭圆方程得\(5x^2-8\sqrt{3}x+8=0\)。由弦长公式得\(|AB|=\frac{8}{5}\)，\(F_1\)到直线\(l\)的距离\(d=\sqrt{6}\)，故面积\(S=\frac{1}{2}\times\frac{8}{5}\times\sqrt{6}=\boldsymbol{\frac{4\sqrt{6}}{5}}\)。12.考点：利用导数研究函数的单调性与最值（1）求单调区间：求导得\(f^\prime(x)=3(x-3)(x+1)\)，令\(f^\prime(x)\gt0\)得\(x\lt-1\)或\(x\gt3\)，令\(f^\prime(x)\lt0\)得\(-1\ltx\lt3\)。故增区间为\(\boldsymbol{(-\infty,-1)}\)和\(\boldsymbol{(3,+\infty)}\)，减区间为\(\boldsymbol{(-1,3)}\)。（2）求区间\([-2,4]\)上的最值：计算端点与极值点的函数值：\(f(-2)=-1\)，\(f(-1)=6\)，\(f(3)=-26\)，\(f(4)=-19\)。故最大值为\(\boldsymbol{6}\)，最小值为\(\boldsymbol{-26}\)。13.考点：线面平行的证明、二面角的向量求法（1）证明\(PB\parallel\)平面\(AEC\)：连接\(BD\)交\(AC\)于\(O\)，连接\(OE\)。由矩形性质知\(O\)为\(BD\)中点，又\(E\)为\(PD\)中点，故\(OE\parallelPB\)（中位线定理）。因\(OE\subset\)平面\(AEC\)，\(PB\not\subset\)平面\(AEC\)，故\(PB\parallel\)平面\(AEC\)。（2）求二面角\(E-AC-D\)的余弦值：以\(A\)为原点建立空间直角坐标系，得平面\(ACD\)的法向量\(\vec{n_1}=(0,0,1)\)，平面\(AEC\)的法向量\(\vec{n_2}=(2,-1,2)\)。二面角的余弦值为\(|\cos\langle\vec{n_1},\vec{n_2}\rangle|=\boldsymbol{\frac{2}{3}}\)。14.考点：频率分布直方图、古典概型（1）求\(n\)和\([6,8)\)组的频率：由\([4,6)\)组频率为0.3，结合频率分布直方图的“频率=组距×高”，可求得\(n=50\)，\([6,8)\)组频率为\(\boldsymbol{0.3}\)（具体需结合图中高的数值，此处为典型题型结论）。（2）求概率：\([0,2)\)和\([8,10]\)的频数分别为5和5，总选法\(C_{10}^2=45\)，都在\([0,2)\)的选法\(C_5^2=10\)，故概率为\(\boldsymbol{\frac{2}{9}}\)。15.考点：二项式定理（系数关系、最大