2019-2020学年人教A版必修一 函数的应用 单元测试

函数的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中()A．只有一个小于1B．至少有一个小于1C．都小于1D．可能都大于1【答案】B【解析】试题分析：若则不妨设，于是即，作图如图所示，显然可以发现点满足的区域有，于是，即在两个函数值中至少有一个小于1.考点：本小题主要考查根的分布、零点、函数的图象等知识点，考查学生的理解、分析能力2．已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续的曲线，若f(x)在区间(a,b)上是增函数，则()A．f(x)在(a,b)上一定有零点B．f(x)在(a,b)上一定没有零点C．f(x)在(a,b)上至少有一个零点D．f(x)在(a,b)上至多有一个零点【答案】D【解析】【分析】判断f(x)在(a，b)上有没有零点，即是判断f(a)×f(b)的正负【详解】若f(a)×f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有一个零点若f(a)×f(b)>0，则f(x)在(a，b)上没有零点故选D【点睛】判断某一区间上函数的零点，即使判断区间端点值乘积与0的关系，本题也可以数形结合的思想，画图给出结果3．已知函数且方程有个不同的实根，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】画出函数的图像如图，令，则方程化为，结合图像可知问题转化为方程有两个不为1的正数根的问题。由二次方程的理论可得，应选答案B。点睛：解答本题的关键是将问题进行等价转化与化归，先画出函数的图像，再运用数形结合思想，借助图形的直观将问题转化为“方程有两个不为1的正数根”，然后再借助方程判别式及根与系数的关系建立不等式组，通过解不等式组使得问题成立。4．4．方程ex－x＝2在实数范围内的解有（）个A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】试题分析：由题意令在同一坐标系下作出两个函数图象如图由图象可知有两个交点，即方程有两个解，故选择C考点：方程的根与函数图象5．已知函数，若存在常数t使得方程f(x)=t有两个不等的实根x1，x2（x1<A．[34,1)B．[1【答案】C【解析】试题分析：由已知得，当x∈[0,12)时，f(x)∈[12,1)；当x∈[12,1]时，f(x)∈[34,3]．因为存在x1<x2，使得f(x1)=f(x2)，所以使得考点：函数的图象与性质．【名师点睛】本题是分段函数，因此分段求得函数的值域后，结合函数图象可得t=f(x1)=f(x26．函数的零点所在的一个区间是（）．A．(−2,−1)B．(−1,0)C．(0,1)D．(1,2)【答案】B【解析】f(−1)=27．已知a=t,b=t2,c=t3,t∈NA．4B．22C．21D．16【答案】C【解析】分析：由题意知m<lgt<m+1，则2m<2lgt<2m+2，而得到m=0,1,2，分类讨论，即可求解实数t的值.详解：由题意知m<lgt<m+1，则2m<2lgt<2m+2，而所以2m≤m2+1当m=0时，由m≤lgt<m+1m2+1≤2当m=1时，由m≤lgt<m+1m2+1≤2故t的最大值为21；当m=2时，无解，综上t的最大值为21，故选C.点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质，其中解答中得到2lgt的整数部分为得到m=0,1,2，分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.8．已知函数定义域为D的函数f（x），如果对xD，存在正数k，有|f（x）|≤k|x|成立，则称函数f（x）是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：（1）f（x）=2x；（2）f（x）=Sin（x+）；（3）f（x）=；（4）f（x）=；其中是“倍约束函数”的是（）A．（1）（3）（4）B.（1）（2）C.（3）（4）D.（2）（3）（4）【答案】A【解析】9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x<0时，f(x)=e①当x>0时f(x)=e②函数f(x)有三个零点；③f(x)>0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)；④∀x1,A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】先求出x<0时，fx=exx+1，从而可判断①正确；再根据f【详解】因为函数fx是定义在R上的奇函数，且x<0时，f所以当x<0时，−x>0，故fx所以fx=ex(x+1),x<00,x=0e不等式fx>0等价于x<0e解不等式组可以得−1<x<0或x>1，所以解集为−1,0∪当x>0时，fx=x−1当0<x<2时，f'x>0，所以fx当x>2时，f'x<0，所以fx所以当x>0时fx的取值范围为−1,e−2，因为f故fx的值域为−1,1，故∀x1综上，选D.【点睛】（1）对于奇函数或偶函数，如果知道其一侧的函数解析式，那么我们可以利用fx=−f−x或f（2）对于偶函数fx，其单调性在两侧是相反的，并且fx=f二、填空题10．（2015秋•盐城校级月考）函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）=0存在唯一正实数根x0，则a取值范围是．【答案】（﹣∞，﹣2）【解析】试题分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（）＞0，解出即可得到a的范围．解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x（﹣∞，0）0（0，）（，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x（﹣∞，）（，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）=a）3﹣3（）2+1＞0，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．考点：根的存在性及根的个数判断．11．若函数，则__________.【答案】【解析】试题分析：由于，所以.考点：分段函数求值.12．用二分法研究函数的零点，第一次经计算，则第二次计算的的值为．【答案】【解析】试题分析：因为，所以第二次应计算．考点：二分法．13．．若函数y=f(x)，x∈D同时满足下列条件：（1）在D内的单调函数；（2）存在实数m，n，当定义域为[m，n]时，值域为[m，n]．则称此函数为D内可等射函数，设(a>0且a≠1),则当f(x)为可等射函数时，a的取值范围是【答案】【解析】略14．已知的值等于___________。【答案】3【解析】15．已知函数=若关于的方程恰有5个不同的实数解,则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】作出函数=的图象(如图所示),由恰有5个不同的实数解,则和共有5个解,显然有2个不同的解,要使有3个不同的实数解,则.故填．点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、解答题16．（2011•闵行区三模）某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：月数1234…污染度6031130…污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），，，其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？【答案】（1）见解析；（2）23【解析】试题分析：（1）通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）；g（1），g（2），g（3），g（4）和h（1），h（2），h（3），h（4）的值；可知h（x）更接近表中的实际值，用h（x）模拟较为合理．（2）由复合函数的单调性知，函数在x≥4上是增函数；且h（23）≈59.6，h（24）≈60.9，知整治后有23个月的污染度不超过60．解：（1）∵f（1）=g（1）=h（1）=60；f（2）=40，g（2）≈26.7，h（2）≈27.3；f（3）=20，g（3）≈6.7，h（3）≈10.9；f（4）=g（4）=h（4）=0；由此可得h（x）更接近表中的实际值，所以用h（x）模拟比较合理．（2）因为函数y1=log2x在（x≥4）上是增函数，函数y2=﹣在（x≥4）上是增函数，所以，函数在x≥4上也是增函数；又因为h（23）≈59.6，h（24）≈60.9，故整治后有23个月的污染度不超过60．考点：函数模型的选择与应用．17．（本小题满分14分）已知是偶函数，且上满足①对任意，②当。（1）求的值，并证明当（2）利用单调性定义，判断在（）上的单调性。（3）上恒成立，求实数的取值范围。【答案】（1）2（2）（3）【解析】解：（１）令（３）（2）令18．学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费为S元，用电炉烧开水每吨开水费为P元，S=5x+0.2y+5,P=10.2y+2076−y.其中x为毎吨煤的价格，y（1）如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；（2）如果每百度电价不低于60元，则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少？【答案】（1）x=2y+476−y−1(0<y≤76)；（2）【解析】试题分析：（1）由已知中用煤烧开水每吨开水费用为S元，用电炉烧开水每吨开水费用为P元，S=5x+0.2y+5,P=10.2y+2076−y，根据两种方法烧水费用相同，即S=P，可得5x+0.2y+5=10.2y+2076−y整理可得答案；（2）如果每百度电价不低于60元，结合（1）中试题解析：（1）由题意，得5x+0.2y+5=10.2y+2076−y即x=2y+476−y（2）由S≤P，得x≤−2(76−y)+476−y∵60≤y≤76,∴0≤76−y∴当76−y=1时，xmax=153答：每吨煤的最高价为153元.考点：1、函数模型的选择与应用；2、二次函数的性质．【思路点晴】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，二次函数的性质，其中（1）的关键是由两种方法烧水费用相同，即S=P，得到两个变量的关系式，表示出x，但要注意定义域；（2）的关键是利用换元法将函数的解析式x=2y+476−y−1(0<y≤76)，化为二次型函数的形式x=−2(19．已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b，(a≠0)，若f(x)(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)=f(x)-mx在[2,4]上为单调函数，求实数【答案】（1）a=−1b=3【解析】解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，故f(3)=5f(2)=29a−6a+2+b=54a−4a+2+b=2⇒当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，故f(3)=2f(2)=59a−6a+2+b=24a−4a+2+b=5⇒(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，∵g(x)在[2,4]上单调，∴2+m2≤2或m+2∴m≤2或m≥6.故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．20．（本小题满分16分）已知常数，函数（1）求的单调递增区间；（2）若，求在区间上的最小值；（3）是否存在常数，使对于任意时，恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。【答案】⑴当时，为增函数．…………………（1分）当时，=．令，得．…………（3分）∴的增区间为，和．……………（4分）⑵由图可知，①当时，，在区间上递减，在上递增，最小值为；………（6分）