2025年秋季高一开学摸底考数学试题（浙江）及答案

试题试题2025年秋季高一开学摸底考试模拟卷（浙江专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：初中内容，必修1前2章一部分内容第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，，是一次函数图象上不同的两个点，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．关于的一元二次方程的两实数根、，满足，则的值是（

）A． B． C．或 D．或3．如图，在边长为的正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，，连接，，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（

）A．B．C．D．4．已知方程组的解满足，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．5．如图，在中，，四边形均为正方形，点在上，点在上，为边的中点，则的长为（

）A． B．1 C． D．6．观察下列等式：，，，，，…，那么的个位数字是（

）A．0 B．1 C．4 D．57．已知二次函数图象的对称轴为，且过点与，则下列说法中正确的是（

）①当时，函数有最大值2；②当时，函数有最小值；③P是第一象限内抛物线上的一个动点，则面积的最大值为；④对于非零实数m，当时，y都随着x的增大而减小.A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④8．如图，以点为圆心，为半径的圆与轴交于A，B两点，P是☉M上异于A，B的一动点，直线，分别交轴于点，，以为直径的☉N与轴交于点E，F则EF的长为（

）A． B． C．6 D．随P点位置而变化二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．对于实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则10．已知二次函数（为常数），当时，的最大值是，则的值是（

）A． B． C． D．11．如图，正方形的边长为8，点，分别在边，上，将正方形沿折叠，使点A落在边上的处，点落在处，交于．下列结论正确的是（

）

A．当为中点时，B．当时，C．当（点不与、重合）在上移动时，周长随着位置变化而变化D．连接，则第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．分解因式．13．如图，在中，，，点D在边上，若以、为边，以为对角线，作，则对角线的最小值为.14．已知函数，下列说法：①方程必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当时，抛物线顶点在第三象限；④若，则当时，y随着x的增大而增大，其中正确的序号是.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，直线与直线交于点，直线经过点.(1)求直线的函数表达式；(2)直接写出方程组的解______；(3)若点在直线的下方，直线的上方，写出的取值范围______.16．某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益.通过市场分析，每月需投入固定成本5000元，每月生产台该设备另需投入成本元，且，若每台设备售价1000元，且当月生产的视频设备该月内能全部售完.(1)求厂商由该设备所获的月利润关于月产量台的函数关系式；（利润＝销售额－成本）(2)当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润.17．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a+1（a＞0）（1）若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围；（2）若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上两点，且n＞b，求实数m的取值范围；（3）当m≤x≤m+2时，求y的最小值（用含a、m的代数式表示）.18．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点E是边CD的中点，AE和BC的延长线交于点F，点G是边BC上的一点，且满足BG＝BC＝a，连接AG，DG.且DG与AE交于点O.（1）若a＝1，求△AOG的面积.（2）当△AOG是直角三角形时，求所有满足要求的a值.（3）记S△DOE＝x，S△AOG＝y.①求y关于x的函数关系式；②当∠AGO＝∠DEA时，求tan∠DAE的值.19．阅读理解：把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，我们称之为集合，其中大括号内的数称其为集合的元素.如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，例如：集合{3，﹣2}，因为﹣2×3+4＝﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素，所以{3，﹣2}是条件集合；例如：集合{﹣2，9，8}，因为﹣2×（﹣2）+4＝8，8恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，9，8}是条件集合.（1）集合{﹣4，12}条件集合；集合条件集合（填“是”或“不是”）.（2）若集合{8，10，n}是条件集合，求n的所有可能值.2025年秋季高一开学摸底考试模拟卷（浙江专用）数学·答案及评分参考一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678DBBACAAC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BDACABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】;13．【答案】3;14．【答案】①③四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）当时，，解得，即点坐标为；·······2分由与直线交于点，直线经过点，得，解得，直线的函数表达式为；·······3分（2）方程组的解即为交点C横纵坐标的值，又点坐标为，所以方程组解为；·······4分（3）由题意可知当，，.所以.·······4分16．(15分)某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益.通过市场分析，每月需投入固定成本5000元，每月生产台该设备另需投入成本元，且，若每台设备售价1000元，且当月生产的视频设备该月内能全部售完.(1)求厂商由该设备所获的月利润关于月产量台的函数关系式；（利润＝销售额－成本）(2)当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润.【答案】(1)(2)当时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为4000元【详解】（1）当时，；·······3分当时，．·······3分·······1分（2）当时，，当时，．·······3分当时，，······3分当且仅当，即时，．当时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为4000元······2分17．（15分）【答案】（1）a≥；（2）m＜﹣1或m＞5；（3）当m＜0时，y的最小值为：am2﹣3a+1.；当0≤m≤2时，y的最小值为：﹣3a+1.；当m＞2时，y的最小值为：am2﹣4am+a+1.【详解】解：（1）△＝（﹣4a）2﹣4a（a+1）≥0，且a＞0，解得：a≥；······3分（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，······1分当n＝b时，根据函数的对称性，则m＝﹣1，故实数m的取值范围为：m＜﹣1或m＞5；······3分（3）①当m+2＜2时，即m＜0时，函数在x＝m+2时，取得最小值，ymin＝a（m+2）2﹣4a（m+2）+a+1＝am2﹣3a+1；······2分②当m≤2≤m+2时，即0≤m≤2，函数在顶点处取得最小值，即ymin＝4a﹣4a×2+a+1＝﹣3a+1；······2分③当m＞2时，函数在x＝m时，取得最小值，ymin＝am2﹣4am+a+1；······2分综上，当m＜0时，y的最小值为：am2﹣3a+1.；当0≤m≤2时，y的最小值为：﹣3a+1.；当m＞2时，y的最小值为：am2﹣4am+a+1.······2分18．（17分）【答案】（1）；（2）或4；（3）①y＝5x；②.【详解】（1）∵a＝1，∴BG＝1，BC＝3，∴GC＝2，∴△ADG的面积＝×8×3＝12，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△ADE∽△FCE，∴＝＝1，即AD＝CF，∴GF＝5，∴AD∥BC，∴△ADO∽△FGO，∴＝＝，∴△AOG的面积＝×12＝；······3分（2）如图1，过点O作MN∥AB交AD于M，交BC于N，∵AD∥BC，∴△ADO∽△FGO，∴＝＝，∴OM＝3，ON＝5，∵MN∥CD，∴△GNO∽△GCD，······2分∴＝＝，∴GN＝a，AM＝BN＝a，······2分当∠AOG＝90°时，△AOM∽△OGN，∴＝，即＝，解得，a＝，······2分当∠AGO＝90°时，△ABG∽△GCD，∴＝，即＝，解得，a＝4，综上所述，△AOG是直角三角形时，a＝或4；······2分（3）①∵＝＝，AE＝EF，∴OA＝3OE，∴S△AOD＝3S△DOE，∵＝＝，∴S△AOG＝S△AOD，∴S△AOG＝5S△DOE，∴y＝5x；······3分②∵∠AGO＝∠DEA，∠AOG＝∠DOE，∴△AOD∽△DOE，∴（）2＝5，∴OA2＝5OD2，即（a）2+32＝5[（a）2+32]，解得，a＝4，∴tan∠DAE＝＝.······3分19．（17分）【答案】（1）是，是；（2）﹣12，﹣16，﹣2，﹣3，.【详解】（1）∵﹣4×（﹣2）+4＝12，∴集合{﹣4，12}是条件集合；∵×（﹣2）+4＝，∴集合是条件集合.故答案为：是；是；······4分（2）∵集合{8，10，n}是条件集合，∴若n＝﹣2×8+4，则n＝﹣12；······2分若n＝﹣2×10+4，则n＝﹣16；······2分若﹣2n+4＝8，则n＝﹣2；······2分若﹣2n+4＝10，则n＝﹣3；······3分﹣2n+4＝n，则n＝；······3分∴可得n的可能值有﹣12，﹣16，﹣2，﹣3，.······1分2025年秋季高一开学摸底考试模拟卷（浙江专用）数学•全解全析第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，，是一次函数图象上不同的两个点，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数的性质知，当时，判断出随的增大而减小.【详解】，与异号，∵，，是一次函数图象上不同的两个点，∴该函数随的增大而减小，，解得：.故选：D.2．关于的一元二次方程的两实数根、，满足，则的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】利用韦达定理结合判别式求出实数的值，再结合韦达定理可求得的值.【详解】由题意可知，可得，由韦达定理可得，因为，则，原方程为，所以，，故，因此，.故选：B.3．如图，在边长为的正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，，连接，，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】分点在上和点在上两种情况讨论，由面积公式可求与的函数关系，即可求解．【详解】当点在上时，四边形是正方形，边长为，，，，，，，，，，，，，，，，当点在上时，同理可得：，．由此可知，只有B中图象符合题意，故选：B.4．已知方程组的解满足，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，用表示出即可列出不等式求解得结果.【详解】由方程组，得，即，而，因此，解得，所以a的取值范围是.故选：A5．如图，在中，，四边形均为正方形，点在上，点在上，为边的中点，则的长为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】设，由勾股定理可得，利用三角形相似可求得，，又，可得的方程，求解即可.【详解】设，因为中，，所以，因为四边形均为正方形，所以，所以，所以，因为为边的中点，所以，所以，又所以，所以，解得.故选：C.6．观察下列等式：，，，，，…，那么的个位数字是（

）A．0 B．1 C．4 D．5【答案】A【分析】由题意可知以2为指数的幂的末位数字是依次循环的，结合，计算即可求解.【详解】以2为指数的幂的末位数字是依次循环的，，，∴的个位数字是0.故选：A.7．已知二次函数图象的对称轴为，且过点与，则下列说法中正确的是（

）①当时，函数有最大值2；②当时，函数有最小值；③P是第一象限内抛物线上的一个动点，则面积的最大值为；④对于非零实数m，当时，y都随着x的增大而减小.A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】A【分析】根据给定条件，求出二次函数解析式，再利用二次函数的图象、性质逐一判断即可.【详解】由二次函数图象的对称轴为，且过点，得该图象还过点，设二次函数的解析式为，由图象过点，得，解得，因此二次函数的解析式为，对于①，当时，，取得最大值2，①正确；对于②，当时，，取得最小值，②正确；对于③，设直线方程为，由，得，即直线：，过点作直线轴交于，设，取，则，此时面积为，③错误；对于④，当时，，当时，y随着x的增大而增大，④错误，因此说法中正确的是①②.故选：A

8．如图，以点为圆心，为半径的圆与轴交于A，B两点，P是☉M上异于A，B的一动点，直线，分别交轴于点，，以为直径的☉N与轴交于点E，F则EF的长为（

）A． B． C．6 D．随P点位置而变化【答案】C【分析】通过证明相似三角形的方法，结合圆的几何性质求得.【详解】连接，设圆的半径为，，则，，依题意，，，对顶角，所以，所以，所以，由垂径定理得，所以.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．对于实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】BD【分析】A特殊值法判断；B由结合不等式性质判断；C作差法判断；D由或时的大小情况判断.【详解】A：当时，不成立，错误；B：由，有，则，正确；C：由，则，错误；D：若或，有，与题设矛盾，故，正确.故选：BD10．已知二次函数（为常数），当时，的最大值是，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分、、三种情况讨论，分析二次函数在时的增减性，结合的最大值是可求得实数的值.【详解】二次函数图象的对称轴为直线.①当时，即当时，当时，随着的增大而减小，当时，取得最大值，即，解得，合乎题意；②当时，即当时，当时，取得最大值，即，即，解得或（舍）；③当时，即当时，当时，随着的增大而增大，当时，取得最大值，即，解得（舍）.综上所述，或.故选：AC.11．如图，正方形的边长为8，点，分别在边，上，将正方形沿折叠，使点A落在边上的处，点落在处，交于．下列结论正确的是（

）

A．当为中点时，B．当时，C．当（点不与、重合）在上移动时，周长随着位置变化而变化D．连接，则【答案】ABD【分析】当为CD中点时，设，则，由勾股定理列方程求解，进一步求得的值，进而可判断A的正误；当三边之比为时，设，，，由可求a的值，进一步求得的值，进而可判断B的正误；过点A作，垂足为H，连接，AG，先证，可得，，再证，可得，由此证得周长为16，进而可判断C的正误；过点E作EM⊥BC，垂足为M，连接交EM，EF于点N，Q，证明，进而可判断D的正误．【详解】∵为CD中点，正方形ABCD的边长为8，∴，由折叠的性质，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，∴，故A正确；当三边之比为时，设，，，则，∵，∴，解得：，∴，，故B正确；过点A作，垂足为H，连接，AG，则，

由折叠的性质可知，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，

∴周长，∴当在CD上移动时，周长不变，故C错误；如图，过点E作EM⊥BC，垂足为M，连接交EM，EF于点N，Q，

∴，，∴，由翻折可知：EF垂直平分，∴，∴，∴，在和中，，，∴，故D正确．故选：ABD．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．分解因式．【答案】【分析】通过拆项，结合分组分解法，提公因式法，完全平方公式分解因式即可.【详解】故答案为：.13．如图，在中，，，点D在边上，若以、为边，以为对角线，作，则对角线的最小值为.【答案】3【分析】由四边形是平行四边形得，当时最短，则最短，然后利用直角三角形的性质求解.【详解】因为，，根据勾股定理得，因为四边形是平行四边形，所以，所以当取最小值时，线段最短，又因为点为中点，D在边上变化，所以当时最短，此时是的中位线，所以，所以，故答案为：3.14．已知函数，下列说法：①方程必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当时，抛物线顶点在第三象限；④若，则当时，y随着x的增大而增大，其中正确的序号是.【答案】①③【分析】利用二次函数与轴的交点及二次函数的性质，逐一判断各个选项即得.【详解】二次函数与轴交于点，对于①，方程化为，解得或，①正确；对于②，将函数图象向右移动1个单位或向右、向左平移个单位，所得函数图象都过原点，②错误；对于③，当时，，抛物线开口向上，对称轴，又与轴有两个交点，则抛物线顶点在第三象限，③正确；对于④，取，抛物线的开口向下，对称轴为，当时，y随着x的增大而减小，④错误，所以正确的序号是①③.故答案为：①③四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，直线与直线交于点，直线经过点.(1)求直线的函数表达式；(2)直接写出方程组的解______；(3)若点在直线的下方，直线的上方，写出的取值范围______.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由题意可得，结合待定系数法计算即可求解；（2）根据方程组的解为交点C坐标的值，直接得出结果；（3）由题意可得当时，求出即可.【详解】（1）当时，，解得，即点坐标为；由与直线交于点，直线经过点，得，解得，直线的函数表达式为；（2）方程组的解即为交点C横纵坐标的值，又点坐标为，所以方程组解为；（3）由题意可知当，，.所以.16．某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益.通过市场分析，每月需投入固定成本5000元，每月生产台该设备另需投入成本元，且，若每台设备售价1000元，且当月生产的视频设备该月内能全部售完.(1)求厂商由该设备所获的月利润关于月产量台的函数关系式；（利润＝销售额－成本）(2)当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润.【答案】(1)(2)当时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为4000元【分析】（1）分和时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可；（2）利用二次函数求时的最大值，利用基本不等式求时的最大值，取最大即可.【详解】（1）当时，；当时，．（2）当时，，当时，．当时，，当且仅当，即时，．当时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为4000元17．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a+1（a＞0）（1）若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围；（2）若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上两点，且n＞b，求实数m的取值范围；（3）当m≤x≤m+2时，求y的最小值（用含a、m的代数式表示）.【答案】（1）a≥；（2）m＜﹣1或m＞5；（3）当m＜0时，y的最小值为：am2﹣3a+1.；当0≤m≤2时，y的最小值为：﹣3a+1.；当m＞2时，y的最小值为：am2﹣4am+a+1.【解析】（1）△≥0，且a＞0，即可求解；（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，当n＝b时，根据函数的对称性，则m＝﹣1，即可求解；（3）分m＜0、0≤m≤2、m＞2三种情况，分别求解即可.【详解】解：（1）△＝（﹣4a）2﹣4a（a+1）≥0，且a＞0，解得：a≥；（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，当n＝b时，根据函数的对称性，则m＝﹣1，故实数m的取值范围为：m＜﹣1或m＞5；（3）①当m+2＜2时，即m＜0时，函数在x＝m+2时，取得最小值，ymin＝a（m+2）2﹣4a（m+2）+a+1＝am2﹣3a+1；②当m≤2≤m+2时，即0≤m≤2，函数在顶点处取得最小值，即ymin＝4a﹣4a×2+a+1＝﹣3a+1；③当m＞2时，函数在x＝m时，取得最小值，ymin＝am2﹣4am+a+1；综上，当m＜0时，y的最小值为：am2﹣3a+1.；当0≤m≤2时，y的最小值为：﹣3a+1.；当m＞2时，y的最小值为：am2﹣4am+a+1.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.18．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点E是边CD的中点，AE和BC的延长线交于点F，点G是边BC上的一点，且满足BG＝BC＝a，连接AG，DG.且DG与AE交于点O.（1）若a＝1，求△AOG的面积.（2）当△AOG是直角三角形时，求所有满足要求的a值.（3）记S△DOE＝x，S△AOG＝y.①求y关于x的函数关系式；②当∠AGO＝∠DEA时，求tan∠DAE的值.【答案】（1）；（2）或4；（3）①y＝5x；②.【解析】（1）根据题意求出△ADG的面积，证明△ADE∽△FCE，求出GF＝5，证明△ADO∽△FGO，根据相似三角形的性质计算即可；（2）作MN∥AB，根据△ADO∽△FGO，得到OM＝3，ON＝5，分∠AOG＝90°、∠AGO＝90°两种情况，根据相似三角形的性质解答即可；（3）①根据三角形的面积公式得到S△AOD＝3S△DOE，S△AOG＝S△AOD，得到答案；②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到（）2＝5，根据勾股定理列式求出a，根据正切的定义计算，得到答案.【详解】（1）∵a＝1，∴BG＝1，BC＝3，∴GC＝2，∴△ADG的面积＝×8×3＝12，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△ADE∽△FCE，∴＝＝1，即AD＝CF，∴GF＝5，∴AD∥BC，∴△ADO∽△FGO，∴＝＝，∴△AOG的面积＝×12＝；（2）如图1，过点O作MN∥AB交AD于M，交BC于N，∵AD∥BC，∴△ADO∽△FGO，∴＝＝，∴OM＝3，ON＝5，∵MN∥CD，∴△GNO∽△GCD，∴＝＝，∴GN＝a，AM