2024-2025学年湖北省武汉市重点中学5G联合体高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】斜率为0，则倾斜角为0.故选：A.2.已知空间向量，且，则（）A.10 B.6 C.4 D.【答案】C【解析】因为，所以,即，则.故选：C.3.已知直线与直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.4.已知向量，，向量在向量上的投影向量为

（

）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可知，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A.5.如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则，则与所成的角的余弦值为.故选：D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为是上的任意一点，则错误的是（）A.的离心率为 B.C.的最大值为 D.使为直角的点有2个【答案】D【解析】，则.AB选项，，故A正确；，故B正确；C选项，由题可知，，设Px,y，则，由题可得，则，故C错误；D选项，因为直角，则P在以原点为圆心，半焦距为半径的圆上，则，与联立，可得.则满足条件的点P为，共4个，故D错误.故选：D.7.已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数为；去掉的两个数据的方差为，平均数为；原样本数据的方差为，平均数为，若，则下列选项错误的是（）A.B.剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变C.D.剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数【答案】D【解析】设20个样本数据从小到大排列分别为，则剩下的18个样本数据为，对于A，依题意，，，，由，得，即，于是，因此，即，A正确；对于B，原样本数据的中位数为，剩下的18个样本数据的中位数为，B正确；对于C，因为，则，，，于是，，因此，即，C正确；对于D，因为，则剩下18个数据的分位数为，又，则原样本数据的分位数为，D错误.故选：D.8.已知P为棱长为1的正方体的内切球表面一动点，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如图以A为原点，分别为x，y，z轴建系，则，则，又，则.表示在方向上的投影向量的长度.如图当P在G或F时，即当A，O，P共线时，取最值.因，内切球半径为.则,则，则.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知事件A，B满足，，则（）A.若，则B.若A与B互斥，则C.若P(AB)=0.1，则A与B相互独立D.若A与B相互独立，则【答案】BC【解析】对于A，由，得，A错误；对于B，由A与B互斥，得，B正确；对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确；对于D，由A与B相互独立，得相互独立，则，D错误.故选：BC.10.如图，在边长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，则（）A.点到直线的距离为 B.直线到直线的距离为C.点到平面的距离为 D.直线到平面的距离为【答案】ABD【解析】】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，A1,0,0．因为，，．设，所以，所以点到直线的距离为，故A正确．因为，，所以，所以，所以点到直线的距离即为直线到直线的距离．，．设，所以，所以直线到直线的距离为，故B正确．设平面的一个法向量，又，，所以取，则，，所以，所以．又，所以点到平面的距离为，故C错误．因为，平面，所以平面，所以到平面的距离即为点到平面的距离．又平面的单位法向量，，所以直线到平面的距离为，故D正确．故选：ABD.11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）A.曲线围成的图形有条对称轴B.曲线围成的图形的周长是C.若是曲线上任意一点，的最小值是D.曲线上的任意两点间的距离不超过【答案】BCD【解析】当，时，曲线方程可化为，即，是以为圆心，为半径的圆在第一象限的半圆，同理可作出其他象限内的图象，且在曲线上，如图所示，A选项：曲线围成的图形有条对称轴，分别是直线，，，，A错误；B选项：曲线围成的图形的周长为，B正确；C选项：到直线的距离为，且点到直线的距离为，由圆的性质，曲线上任意一点到直线的距离最小值为，即，所以的最小值是，C正确；D选项：综上，易知曲线上任意两点间的距离最大值为，D正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.同时抛掷两颗质地均匀骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为______；【答案】【解析】同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个；设两枚骰子点数之和为4为事件，则事件包含：，，共3个基本事件，所以.13.过点且与圆：相切的直线方程为________【答案】或【解析】圆：即，圆心为，半径，当切线的斜率不存在时，直线恰好与圆相切；当切线的斜率存在时，设切线为，即，则，解得，所求切线方程为，综上可得过点与圆相切的直线方程为或.14.已知四棱锥的底面是平行四边形ABCD，过棱PC的中点和点作一平面，分别交棱PB和PD于点和.①设，则______.（用向量表示）②记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则的取值范围是______.【答案】①②【解析】根据题意，底面是平行四边形ABCD，所以，即得，如图所示，设，，又A，M，E，F四点共面，不共面，，设，则，由，求得，当时，取得最小值为，此时，当，或时，即当或时取得最大值为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么（1）树状图中填写样本点，并写出样本空间；（2）求李明第二次答题通过面试的概率；（3）求李明最终通过面试的概率．解：（1）根据题意，可得树状图及样本点，如图所示，其样本空间为.（2）由题意知，，所以第二次答题通过面试的概率.（3）由题意，李明未通过的概率为，所以李明通过面试的概率为.16.为了落实提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），使居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.（1）求直方图中a，b的值；（2）由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.解：（1）由频率分布直方图可得，又，则，.（2）该市居民用水的平均数估计为：（吨）.（3）因的频率为，的频率为，

故的估计值为（吨）．所以有的居民每月的用水量不超过标准（吨）．17.已知中，；（1）求边AB的中线所在直线的方程；（2）求经过A，B，C三点的圆的标准方程；（3）已知圆与（2）中圆相交于，求直线AB的方程，并求AB.解：（1）AB中点为，所以其中线方程为.（2），直线AB的中垂线方程为，同理直线BC的中垂线方程为，，解得，即，所以所求圆标准方程为.（3）由题意，圆与的方程相减，得，直线AB的距离为，所以.18.在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小；（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.（1）证明：因为在中，，，且，所以，，则折叠后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面内，所以平面；（2）解：由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.因为，故，由几何关系可知，，，，故，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，，.设与平面所成角大小为，则有，设为与平面所成角，故，即与平面所成角的大小为；（3）解：假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.在空间直角坐标系中，，，，设，则，，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，若平面与平面成角余弦值为.则满足，化简得，解得或，即或，故在线段上存在这样点，使平面与平面成角余弦值为.此时的长度为或.19.有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点M与点F重合，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点O，建立平面直角坐标系．（1）记折痕与ME的交点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程．（2）若直线与曲线C交于A，B两点．（ⅰ）当k为何值时，为常数d，并求出d的值．（ⅱ）以A，B为切点，作曲线C的两条切线，设其交点为Q，当时，证明：解：（1）由题意可知，，所以P点轨迹是以F，E为焦点，4为长轴长的椭圆，即，，所以，所以曲线C的方程，即椭圆方程为．（2）（ⅰ）由消元得，，由，得，设，，则，，所以，当为常数d时，即与无关，令，得，此时恒成立，即当时，．（ii）证明：设，则当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与x轴垂直时，切线方程为，即，得，所以另一条切线方程为，即与x轴平行，显然，两切线垂直，即．当斜率存在时，，设切线方程为，由，消去y，得，由，化简得．设两条切线的斜率分别为，，因为，所以，所以两条切线相互垂直，即．综上，．湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】斜率为0，则倾斜角为0.故选：A.2.已知空间向量，且，则（）A.10 B.6 C.4 D.【答案】C【解析】因为，所以,即，则.故选：C.3.已知直线与直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.4.已知向量，，向量在向量上的投影向量为

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）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可知，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A.5.如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则，则与所成的角的余弦值为.故选：D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为是上的任意一点，则错误的是（）A.的离心率为 B.C.的最大值为 D.使为直角的点有2个【答案】D【解析】，则.AB选项，，故A正确；，故B正确；C选项，由题可知，，设Px,y，则，由题可得，则，故C错误；D选项，因为直角，则P在以原点为圆心，半焦距为半径的圆上，则，与联立，可得.则满足条件的点P为，共4个，故D错误.故选：D.7.已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数为；去掉的两个数据的方差为，平均数为；原样本数据的方差为，平均数为，若，则下列选项错误的是（）A.B.剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变C.D.剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数【答案】D【解析】设20个样本数据从小到大排列分别为，则剩下的18个样本数据为，对于A，依题意，，，，由，得，即，于是，因此，即，A正确；对于B，原样本数据的中位数为，剩下的18个样本数据的中位数为，B正确；对于C，因为，则，，，于是，，因此，即，C正确；对于D，因为，则剩下18个数据的分位数为，又，则原样本数据的分位数为，D错误.故选：D.8.已知P为棱长为1的正方体的内切球表面一动点，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如图以A为原点，分别为x，y，z轴建系，则，则，又，则.表示在方向上的投影向量的长度.如图当P在G或F时，即当A，O，P共线时，取最值.因，内切球半径为.则,则，则.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知事件A，B满足，，则（）A.若，则B.若A与B互斥，则C.若P(AB)=0.1，则A与B相互独立D.若A与B相互独立，则【答案】BC【解析】对于A，由，得，A错误；对于B，由A与B互斥，得，B正确；对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确；对于D，由A与B相互独立，得相互独立，则，D错误.故选：BC.10.如图，在边长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，则（）A.点到直线的距离为 B.直线到直线的距离为C.点到平面的距离为 D.直线到平面的距离为【答案】ABD【解析】】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，A1,0,0．因为，，．设，所以，所以点到直线的距离为，故A正确．因为，，所以，所以，所以点到直线的距离即为直线到直线的距离．，．设，所以，所以直线到直线的距离为，故B正确．设平面的一个法向量，又，，所以取，则，，所以，所以．又，所以点到平面的距离为，故C错误．因为，平面，所以平面，所以到平面的距离即为点到平面的距离．又平面的单位法向量，，所以直线到平面的距离为，故D正确．故选：ABD.11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）A.曲线围成的图形有条对称轴B.曲线围成的图形的周长是C.若是曲线上任意一点，的最小值是D.曲线上的任意两点间的距离不超过【答案】BCD【解析】当，时，曲线方程可化为，即，是以为圆心，为半径的圆在第一象限的半圆，同理可作出其他象限内的图象，且在曲线上，如图所示，A选项：曲线围成的图形有条对称轴，分别是直线，，，，A错误；B选项：曲线围成的图形的周长为，B正确；C选项：到直线的距离为，且点到直线的距离为，由圆的性质，曲线上任意一点到直线的距离最小值为，即，所以的最小值是，C正确；D选项：综上，易知曲线上任意两点间的距离最大值为，D正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.同时抛掷两颗质地均匀骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为______；【答案】【解析】同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个；设两枚骰子点数之和为4为事件，则事件包含：，，共3个基本事件，所以.13.过点且与圆：相切的直线方程为________【答案】或【解析】圆：即，圆心为，半径，当切线的斜率不存在时，直线恰好与圆相切；当切线的斜率存在时，设切线为，即，则，解得，所求切线方程为，综上可得过点与圆相切的直线方程为或.14.已知四棱锥的底面是平行四边形ABCD，过棱PC的中点和点作一平面，分别交棱PB和PD于点和.①设，则______.（用向量表示）②记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则的取值范围是______.【答案】①②【解析】根据题意，底面是平行四边形ABCD，所以，即得，如图所示，设，，又A，M，E，F四点共面，不共面，，设，则，由，求得，当时，取得最小值为，此时，当，或时，即当或时取得最大值为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么（1）树状图中填写样本点，并写出样本空间；（2）求李明第二次答题通过面试的概率；（3）求李明最终通过面试的概率．解：（1）根据题意，可得树状图及样本点，如图所示，其样本空间为.（2）由题意知，，所以第二次答题通过面试的概率.（3）由题意，李明未通过的概率为，所以李明通过面试的概率为.16.为了落实提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），使居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.（1）求直方图中a，b的值；（2）由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.解：（1）由频率分布直方图可得，又，则，.（2）该市居民用水的平均数估计为：（吨）.（3）因的频率为，的频率为，

故的估计值为（吨）．所以有的居民每月的用水量不超过标准（吨）．17.已知中，；（1）求边AB的中线所在直线的方程；（2）求经过A，B，C三点的圆的标准方程；（3）已知圆与（2）中圆相交于，求直线AB的方程，并求AB.解：（1）AB中点为，所以其中线方程为.（2），直线AB的中垂线方程为，同理直线BC的中垂线方程为，，解得，即，所以所求圆标准方程为.（3）由题意，圆与的方程相减，得，直线AB的距离为，所以.18.在中，，，，分别是上的点，满足且