2022届湖南省邵阳市、郴州市高三下学期3月二模数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省邵阳市、郴州市2022届高三下学期3月二模数学试题一、单选题1.已知集合A=x-2<2-x<4，BA.x-3<x<4 B.x-3<x<-2【答案】C【分析】求出集合A，B后可求【详解】因为A={x|-2<所以A∩故选C.2.若直线y=2x与圆x-aA.3 B.2 C.3 D.2【答案】A【分析】利用圆心到直线的距离为半径可求a.【详解】因为圆心坐标为(a，0)所以该圆心到直线2x-y=0的距离d=故选A.3.函数y=x+1A.3 B.2 C.1 D.0【答案】D【分析】利用基本不等式可求函数的最小值.【详解】因为x>-2，所以x+2>0，x+当且仅当x+2=1x+2故选D.4.“a+112<2-a12”A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据幂函数的单调性求出a的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为y=x12是定义在所以a+1≥02-a因为由-1≤a<12可推出-2<a故“a+112<2-a1故选A.5.已知函数fx是R上的奇函数，当x>0时，fx=lnx+a2xA.e B.2e C.3e D.4e【答案】D【分析】依题意根据奇函数的性质得到f0=0，即可得到fe=-3，代入函数解析求出【详解】解：依题意得f0=0，f-x=-fx，由fe+f0故选D6.我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会上勇夺“两金一银”，取得了优异的成绩.在某项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数作为该选手的得分，谷爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳，设每轮滑跳的成功率为0.4，利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3表示滑跳成功，4，5，6，7，8，9表示滑跳不成功，现以每3个随机数为一组，作为3轮滑跳的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：813，502，659，491，275，937，740，632，845，936.由此估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为()A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.6【答案】B【分析】由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳全都不成功”的有659，845，利用对立事件，即可得到答案；【详解】由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳全都不成功”的有659，845，共2个，所以估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为1-2故选B7.在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数R0=2，平均感染周期为7天，那么感染人数由1(初始感染者)增加到999大约需要的天数为()(初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染A.42 B.56 C.63 D.70【答案】C【分析】设第n轮感染的人数为an，则数列an是a1=2，公比【详解】设第n轮感染的人数为an，则数列an是a1由1+Sn=2×1-2n则nlg2=3-lg2，所以n故需要的天数约为9×7=63.故选C8.设函数fx=sinωx+π6ω>0，已知fx在A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】A【分析】先求出函数fx的单调区间，根据题意得出参数ω的范围，设t=ωx+π6，则t∈π【详解】由-π2+2kπ≤ωx+取k=0，可得-2π3ω≤x≤解得0<ω≤43.若设t=ωx+π所以函数y=sint在π6，所以fx在0，2π故选A二、多选题9.设复数z=-12-32A.z=cos2πC.zz=1 【答案】ACD【分析】根据复数的乘除法、乘方、模的运算可判断A，C，D；根据特殊三角函数值与共轭复数的关系可判断A.【详解】对于A，由题可知z=-12对于B，因为zz2=对于C，因为zz=-因为z3+z3故选ACD10.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG：GC=DHA.BD∥平面EGHF B.FH∥C.AC∥平面EGHF D.直线GE，HF，AC【答案】AD【分析】由条件可得GH∥BD，FH与AC为相交直线，即可判断ABC，EG与FH必相交，设交点为M，然后可证明M∈AC【详解】因为BG：GC=又E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF=易知BD∥平面EGHF，FH与AC为相交直线，即A正确，B，C错误因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，所以EG⊂平面ABC，FH⊂平面则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，所以M∈AC，即直线GE，HF，AC交于一点，即D故选AD11.设函数fx=2ln1+x-1+4x+1A.2ln1.01>1.04-1 B.C.∀x∈0+2，f'x【答案】AC【分析】对函数进行求导得f'【详解】fx的定义域是-14因为1+4x所以当x∈-1当x∈0，fx在-14，0上单调递减，在0因为0.01>0，所以f0.01>f0=0，即根据fx的单调性可知fx有两个零点，B错误，C因为f-14f2-f所以fx的最大值是2ln34+1故选AC12.已知双曲线E：x2a2-y2=1(a>0)的左､右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，过点F2A.若|PFB.若asin∠PC.ΔF1D.△AOB(O为坐标原点)的面积为定值【答案】ACD【分析】对于A，由双曲线的定义知，PF1-P对于B，在ΔPF1F2中，由正弦定理得出sin∠P对于C，由分析知，当直线PQ垂直x轴时，ΔF1对于D，设Px0，y0，过点P的双曲线E的切线方程为x0a2x-y0y代入计算，即可判定D.【详解】由题意知PF1-PF2=2a，a2+1=c2，则P在ΔPF1F2中，由正弦定理得PF1sin∠PF2F1=PF2sin∠P当直线PQ垂直x轴时，PQ的最小值为2aPF1+Q设Px0，y0，过点P的双曲线E的切线方程为x0a2x-y0y=1，Aa2x又因为点P在双曲线E上，则有x02a2-y02=1，xA+xB=a2x0-ay0+a故选ACD.三、填空题13.已知向量a=m，2，b=n，【答案】1【分析】由题知m-2n【详解】解：因为a=m，2，b所以m-2n=0mn+2=4故答案为：114.已知椭圆C：x2a2+y216=1a>0的左､右焦点分别为F1，F【答案】5【分析】设焦距为2c，根据题意和椭圆的定义可得2a+2c=16【详解】设焦距为2c，因为△PF1所以2a+2c=16又a2-c可得a-c=2②，由①②故答案为：515.一次考试后，学校准备表彰在该次考试中排名前10位的同学，其中有2位是高三(1)班的同学，现要选4人去“表彰会”上作报告，若高三(1)班的2人同时参加，则2人作报告的顺序不能相邻，则要求高三(1)班至少有1人参加的作报告的方案共有___________种.(用数字作答)【答案】3024【分析】就高三(1)有1人参加还是有2人参加分类计数后可得正确的结果.【详解】若高三(1)班只有1人参加，则有C2若高三(1)班2人都参加，则有C82A2故答案为：302416.已知A、B、C、D四点都在表面积为100π的球O的表面上，若AD是球O的直径，且BC=33，∠BAC=120°，则该三棱锥A【答案】6【分析】作出图像，数形结合求解.设△ABC的外接圆半径为r，圆心为O1，根据正弦定理可求r，根据几何关系可求D到平面ABC的距离为定值2OO1，故当△ABC面积最大时，三棱椎A−BCD体积最大，在△ABC内，由余弦定理、基本不等式、三角形面积公式可求【详解】设求O的半径为R，∵球O的表面积为100π，∴4πR2∵BC=33，∠BAC=120°，设△ABC的外接圆半径为∴根据正弦定理知，33sin120°=2r∴OO∵AD是直径，O是AD中点，∴D到平面ABC的距离为2O在△ABC中，根据余弦定理得，BC即27=A∴AB⋅AC≤9∴△ABC面积的最大值为S=∴三棱锥A−BCD体积的最大值V=故答案为：63四、解答题17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3b(1)求B.(2)若a=2，c=1，___________，求在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)2(2)答案见解析【分析】(1)利用正弦定理化简条件可得3sinB=1-cos(2)选择条件①：利用向量的加法和数量积运算；选择条件②：利用面积关系S△【详解】(1)(1)由正弦定理得，3sin因为sinA≠0，所以所以3sinB+cos又B∈0，π，则(2)(2)选择条件①：因为BD=BA+=141∴BD=选择条件②：因为BD为∠ABC的角平分线，所以S△则12∴1解得BD=18.已知数列an满足a1=1，a(1)求an的通项公式(2)证明1a【答案】(1)a(2)证明见解析【分析】(1)根据an(2)由1an【详解】(1)解：由an得an-12-an-2由累加法得a==n所以an又a1=1满足又因为an所以an(2)因为1a所以当n≥2时，<1+=1+1-1当n=1时，1所以1a19.某跳绳训练队需对队员进行限时的跳绳达标测试.已知队员的测试分数y与跳绳个数x满足如下关系y=0，0≤x<14060，140≤x<16080，160≤x<180(1)计算a值，并根据直方图计算队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值；(同一组中的数据用该组区间中点值作为代表)(2)将跳绳个数落入各组的频率作为概率，并假设每次跳绳相互独立，X表示队员甲在达标测试中的分数，求X的分布列与期望.【答案】(1)a=0.02，平均值为(2)分布列答案见解析，数学期望：81.4【分析】(1)根据频率分布直方图的各小面积的和为1求解；再利用平均数的定义求解；(2)由X可能的取值为0，60，80，100，再求得其相应的概率，列出分布列，再利用期望公式求解.【详解】(1)解：由题可得a+0.005+0.01+0.015所以a=0.02队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值为130×0.1+150×0.2+170×0.4+190×0.3=168.(2)X可能的取值为0，60，80，100.PX=0=0.1×0.1=0.01PX=80X的分布列为X06080100P0.010.220.440.33E20.如图，四棱锥A−BCDE的底面为等腰梯形，DE∥BC，且∠DCB=45°，AB⊥(1)证明：CD⊥(2)若BC=2DE=2AB=2，求二面角C−【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】(1)由面面垂直的性质可得AB⊥平面ACD.从而证明结论(2)分别以AC，AB为x，y轴，过点A作平面ABC【详解】(1)因为平面ACD⊥平面ACB，且平面ACD∩平面AB⊥AC，AB⊂平面ACB，所以AB又因为CD⊂平面ACD，所以CD(2)分别以AC，AB为x，y轴，过点A作平面ABC的垂线为由已知条件，易得A0，0，0在△BCD中，由余弦定理可得BD2=在△ACD中，由余弦定理得cos∠DAC=3因为DE=12CB 设n =x由n⋅AD=0n⋅DE=0又平面ACD的一个法向量为AB=所以cos〈n又面角C−AD−E为钝角，所以二面角C−AD−E为2π21.已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且AB=4(1)求C的标准方程.(2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点【答案】(1)y(2)证明见解析【分析】(1)设出抛物线的方程，根据题意将x=p2代入(2)先求出点A，B的坐标，设直线l1的方程为x=my+1，与抛物线方程联立，得出韦达定理，写出直线AM【详解】(1)由抛物线C的焦点F在x轴上，点A在第一象限，则抛物线开口向右.设抛物线C的标准方程为y2=2px由题意AF⊥x轴，则点A的横坐标为将x=p2代入y2=2px，可得所以抛物线C的标准方程为y2(2)证明：由(1)可知A1，2设直线l1的方程为x=my+1，联立设Mx1，y1，N直线AM的方程为y=y1令x=-1，解得y=2y直线BN的方程为y=y2令x=-1，解得y=-2y2因为2y即2所以直线AM，BN和l相交于一点.22.已知函数f((1)若fx≤0恒成立，求实数(2)若lnx1-2【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】(1)fx≤0恒成立，等价于a≥lnxx恒成立，即(2)lnx1-2ax1=lnx2-2ax2=0x1>x2>0，即x1，x2