高二数学第一次月考卷（全解全析）（人教A版2019）

1/62025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何+直线。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过，两点的直线倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两点间斜率公式可得斜率，再由倾斜角与斜率关系可得结果.【详解】设直线的倾斜角为，所以，因，所以，故选：D.2．在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出点的坐标可得答案.【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以.故选：A.3．已知，则（

）A．-1 B．1 C．0 D．-2【答案】A【分析】由向量的加法，乘法的坐标运算得出结果.【详解】由已知可得,，则，故选：A4．若两平行直线与之间的距离是，则（

）A． B． C．12 D．14【答案】C【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，则得到答案.【详解】因为直线与直线平行，所以，即，因为直线与直线的距离为，所以，即，解得或（舍去），故．故选：C5．在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解.【详解】由题意有，所以，所以，所以，故选：B.6．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.【详解】

设直线的倾斜角为，，当直线的斜率不存在时，，符合，当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，因为点，，，则，，因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，因为，又，所以，所以直线的倾斜角范围为.故选：B.7．已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（

）A．3 B． C． D．5【答案】D【分析】先求出定点，再根据当时，点P到l的距离最大，运用两点间距离公式计算即可.【详解】将直线l的方程变形为，由，得，所以直线l过定点，当时，点P到l的距离最大，故最大距离为.故选：D.8．三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，得证为等腰三角形，于是建立如图所示空间直角坐标系，，根据与直线AC与BD所成角为建立方程，求得，然后找出外接球球心，根据相关数量关系，建立外接球半径的等式关系，求出半径，应用球的表面积公式即可得解【详解】由题意可得，因为为等边三角形，所以，又，且所以，所以,取的中点，易得,又所以平面，又平面，所以平面平面，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，令，所以，因为，所以，所以，所以，因为直线AC与BD所成角为，所以，解得，即，如图，为外接球的球心，为等边三角形的重心，设点A在平面内的投影为，作，所以,所以在中，,,所以在中，，解得，所以，三棱锥外接球表面积为，故选：A【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体求解；3.正方体的内切球的直径为正方体的棱长．4.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．5.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，则下列说法正确的是（

）A．是平面的一个法向量 B．四点共面C． D．【答案】AD【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D.【详解】，所以平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确；设，则，无解，所以四点不共面，故B错误；，所以与不平行，故C错误；，故D正确；故选：AD.10．已知直线，直线，下列说法正确的是（

）A．直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距B．若点在直线上，则点也在直线上C．若，则D．若，则【答案】BD【分析】根据直线的截距、直线与直线平行与垂直关系，逐项判断即可.【详解】直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为2，不相等，故A错误；若点在直线上，则，所以点在直线上，故B正确；当时，与重合，故C错误；若，则，故D正确.故选：BD11．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（

）

A．若，则面B．若，则C．若，则到平面的距离为D．若时，直线与平面所成角为，则【答案】ACD【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围.【详解】连结，由可知，点在线段上，因为，平面，平面，所以平面，同理平面，且，且平面，所以平面平面，平面，所以平面，故A正确；

如图以为原点建立空间直角坐标系，则，，对于A，，则，得，则，，A正确：对于B，由A分析可得，故不与垂直，故B错误；对于C，时，，又，设平面的法向量为，则，故可取，又，则到平面的距离为，故C正确：对于D，当时，，则，又由C已得平面的法向量为，则当，当，因在上单调递减，则，则有，则，则当时，，故D正确.故选：ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若，则.【答案】【分析】根据夹角公式算出，进而求出正弦值.【详解】根据夹角公式，，注意到，则，于是.故答案为：13．已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则．【答案】【分析】根据空间共面定理得到若，，，四点共面，则，且，从而得到方程，解得即可.【详解】因为，，，四点共面，则，且，又，即，即，所以，解得.故答案为：14．已知点在直线上，则的最小值为【答案】4【分析】根据所求式子，转化为动点到两个定点的距离和，利用数形结合，结合对称性，即可求最小值.【详解】，表示直线上的点到定点和的距离和，如图，点关于的对称点为，，当点三点重合时，最小，最小值为4.故答案为：4四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知，.(1)若()∥()，求x，y的值；(2)若，且，求x的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求出和的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；（2）先根据向量垂直得，进而，再根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】（1）∵，，∴，.又()∥()，∴，解得，.（2）由，得，∴，∴，即，∴，解得.16．（15分）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程．(1)求经过点，且与直线平行的直线方程；(2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程；(3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．【答案】(1)(2)(3)和【分析】根据题给条件设直线方程即可.（1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解.（2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可.（3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可.【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为.（2）因为点，，中点为，，则垂直平分线的斜率，则，直线方程为，所以直线的一般方程为.（3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过当截距时，直线过，，则，即；当截距时，直线斜率，则，即.所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和.17．（15分）如图在平行六面体中，，．

(1)求证：直线平面；(2)求直线和夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，，，则为空间的一个基底，根据空间向量的线性运算得出，，，再根据向量的数量积运算得出，，从而得出，进而根据线面垂直的判定定理，即可证明直线平面；（2）根据空间向量的线性运算得出，再根据向量的数量积运算求得和，，最后根据异面直线的夹角公式，即可求出直线和夹角的余弦值.【详解】（1）设，，，则为空间的一个基底，且，，，因为，，则，，可得，，即，且，平面，所以平面.（2）由（1）得，则，，即，则，即，设与的夹角为，则，所以直线和夹角的余弦值为.18．（17分）已知的三个顶点的坐标为，，．求：(1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形；(2)点C关于直线AB对称点的坐标；(3)求的面积．【答案】(1)(2)(3)3【分析】（1）由ABCD为平行四边形知可求；（2）设点关于直线AB对称点的坐标为，由题意可得出，解方程即可得出答案.（3）求出和点到直线AB的距离即可求出面积.【详解】（1）设，由ABCD为平行四边形知，即，则，解得，即.（2）直线AB的方程为，即，点关于直线AB对称点的坐标为，所以，解得：，故C关于直线AB对称点的坐标为.（3），直线AB的方程，点到直线AB：的距离为，∴.19．（17分）如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且【分析】（1）在平面图形中证得，，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证.（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.（3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解.【详解】（1）在图1中，由，，得，则，所以，由，得，即，在图2中，，取的中点，连接，由为的中点，得，则，由，得，而，平面，则平面，又平面，所以.（2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，，于是平面，直