2024-2025学年四川省嘉祥教育集团高一下学期期中质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省嘉祥教育集团2024-2025学年高一下学期期中质量监测数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，且，所以，解得.故选：A2.化简的结果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由二倍角公式：.故选：C3.为得到函数的图象，只需把余弦曲线上的所有点的（）A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】C【解析】余弦曲线上的所有点的向右平移个单位长度得到函数的图象，故选：C.4.若为单位向量，，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】因为，为单位向，所以，即，所以，所以.故选：D5.在中，，则（）A.5 B.3或5 C.4 D.2或4【答案】B【解析】由余弦定理，得，即，即，解得或5，经检验，均满足题意.故选：B.6.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则.故选：A7.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具”．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4米的时间为（）A.9秒 B.12秒 C.15秒 D.20秒【答案】D【解析】根据题意，以为坐标原点，平行于水面的直线为轴，垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，则，所以，如图，盛水筒距离水面的高度为时，分别在点处，则由对称性可得，则，因筒车按逆时针方向每分钟转1圈，所以筒车转1圈的时间为60秒，由上分析，盛水桶距离水面的高度不低于的时间为圆周，所以盛水筒距离水面的高度不低于的时间为秒.故选：D.8.如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点，若，则的值是（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】因为在上，所以与共线，设，因为，所以，又D是BC的中点，所以，所以，，，所以，所以，即，所以，故，所以，故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）9.下列说法错误的是（）A.B.若向量与共线，则存在唯一的实数使C.若非零向量，满足，则与的夹角为60D.若非零向量，满足，则【答案】ABC【解析】对于：当时，与共线，时，与共线，而与不一定共线，所以不一定成立，故错误；对于：若，时，向量与共线，但不存在实数使；当时，向量与共线，但实数不唯一，任意实数都能使成立.故错误；对于：，则以为三边的三角形为等边三角形，则与的夹角为，所以与的夹角为，故错误；对于：，则，则，，即，故正确.故选：.10.已知函数，则（）A. B.≤C.在，上单调递增 D.若为偶函数，则的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，由，得，所以的单调递增区间为，故在上单调递减，在上单调递增，故C错误；对于D，，为偶函数，所以，即，所以的最小值为，故D正确；故选：ABD11.记△ABC中三个内角所对边分别为．如图，分别是函数与直线的两个交点，其中，则（）A.B.面积的最大值为C.周长的取值范围为D.若为锐角三角形，则的取值范围为【答案】BCD【解析】由图可得，而，故，注意到或，.由题可得，则.对于A，，故A错误；对于B，，由余弦定理，，由基本不等式，，当且仅当取等号.则，故B正确；对于C，，因，则，结合和差化积公式，则，因，则，因在上单调递增，在上单调递减，则，故C正确；对于D，，因是锐角三角形，，则.,其中，，又.因，则，又，则在上单调递增，在上单调递减，.因，，则.则，因，则.故，故D正确.故选：BCD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为_______．【答案】【解析】由点，可得，设，因为，可得，所以，可得，解得，所以点的坐标为.故答案为：.13.若，，则_______．【答案】【解析】由题可得，因，因在上单调递增，则.故答案为：.14.在中，已知，则的最大值为______．【答案】【解析】由得，即，又由余弦定理得：，化简得：，，当且仅当时，等号成立，将代入中，可得，满足任意两边之和大于第三边，故有最小值，且为锐角，此时，，由于在上单调递减，在上单调递增，故有最大值，最大值为．故答案为：四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，且与的夹角为．（1）求；（2）若向量与不能作为平面向量的一组基底，求实数的值．解：（1）由，且与的夹角为，得，.（2）由向量与不能作为平面向量的一组基底，得与共线，则存在实数，使得，而与不共线，于是，解得，所以实数的值为.16.已知，，．x

（1）将函数化简为的形式并用五点法画出在上简图；（2）求函数取得最大值时所组成的集合，并试从向量数量积坐标表示的角度，结合数量积的定义解释的最大值为2．解：（1）由题意，，列表如下：作图如下：（2）令，，解得，故函数取得最大值时所组成的集合为.因为，当且仅当时等号成立，此时与同向，夹角为0，则函数的最大值为2．17.已知函数．（1）求的定义域，并化简函数；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值．解：（1）的定义域由满足及的值组成，即及，所以及，得，，因此．在前提下，化简函数=．（2）对任意，不等式≤恒成立，恒成立．而当时，，所以实数m的最小值为3．18.如图，和与存在对顶角，且，，，且．（1）求的大小；（2）证明：为中点；（3）若，求的长．解：（1）,化简得：.在中，由正弦定理得：,由余弦定理可得：，故.（2）设，，则，.在中，由余弦定理得：.在中，由余弦定理得：.由，所以.化简得：，故为中点.（3）如图：过点做，交与.则.由（）.所以，又，所以.所以.所以，又，.所以.由于所以.又，所以，所以.所以.即.在中，根据正弦定理，可得：.19.声音的本质是介质振动形成的波，其基本特性可分解为三个正弦函数参数：频率决定音高（单位Hz），振幅对应响度（dB），相位差反映波形偏移．复杂声波通过傅里叶变换可展开为多个幅度、频率各异的正弦波叠加，如乐器声包含基频与泛音列的正弦组合．请根据你所学的研究一个函数的性质，探究谐音函数的性质，请补充解答完整：函数的自变量x的取值范围是R．显然有，函数是奇函数，图象关于原点对称.（1）函数的一个周期为，简要说明理由；（2）求出函数的零点；（3）对称轴的定义：‌若存在直线，使得对任意，有，则称函数关于直线对称．试判断函数‌有无对称轴？若有，求出对称轴方程并证明；若无，说明理由．解：（1）的周期分别为、、，其最小公倍数为．‌验证‌：．所以，函数的一个周期为．（2）因为＞0，所以令，得，因此，，所以函数的零点‌为，．（3）假设存在对称轴，展开方程‌,将条件代入函数，利用三角恒等式展开各项：，，整理后方程变为：左侧减去右侧得：由于等式需对任意成立，故所有系数必须为零．令各项系数为零：‌①，解得（为整数）．②，解得．（为整数）③，解得．（为整数）上述三个条件需同时满足，，，为整数，显然‌无共同解‌；‌结论‌：函数没有对称轴‌.四川省嘉祥教育集团2024-2025学年高一下学期期中质量监测数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，且，所以，解得.故选：A2.化简的结果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由二倍角公式：.故选：C3.为得到函数的图象，只需把余弦曲线上的所有点的（）A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】C【解析】余弦曲线上的所有点的向右平移个单位长度得到函数的图象，故选：C.4.若为单位向量，，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】因为，为单位向，所以，即，所以，所以.故选：D5.在中，，则（）A.5 B.3或5 C.4 D.2或4【答案】B【解析】由余弦定理，得，即，即，解得或5，经检验，均满足题意.故选：B.6.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则.故选：A7.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具”．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4米的时间为（）A.9秒 B.12秒 C.15秒 D.20秒【答案】D【解析】根据题意，以为坐标原点，平行于水面的直线为轴，垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，则，所以，如图，盛水筒距离水面的高度为时，分别在点处，则由对称性可得，则，因筒车按逆时针方向每分钟转1圈，所以筒车转1圈的时间为60秒，由上分析，盛水桶距离水面的高度不低于的时间为圆周，所以盛水筒距离水面的高度不低于的时间为秒.故选：D.8.如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点，若，则的值是（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】因为在上，所以与共线，设，因为，所以，又D是BC的中点，所以，所以，，，所以，所以，即，所以，故，所以，故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）9.下列说法错误的是（）A.B.若向量与共线，则存在唯一的实数使C.若非零向量，满足，则与的夹角为60D.若非零向量，满足，则【答案】ABC【解析】对于：当时，与共线，时，与共线，而与不一定共线，所以不一定成立，故错误；对于：若，时，向量与共线，但不存在实数使；当时，向量与共线，但实数不唯一，任意实数都能使成立.故错误；对于：，则以为三边的三角形为等边三角形，则与的夹角为，所以与的夹角为，故错误；对于：，则，则，，即，故正确.故选：.10.已知函数，则（）A. B.≤C.在，上单调递增 D.若为偶函数，则的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，由，得，所以的单调递增区间为，故在上单调递减，在上单调递增，故C错误；对于D，，为偶函数，所以，即，所以的最小值为，故D正确；故选：ABD11.记△ABC中三个内角所对边分别为．如图，分别是函数与直线的两个交点，其中，则（）A.B.面积的最大值为C.周长的取值范围为D.若为锐角三角形，则的取值范围为【答案】BCD【解析】由图可得，而，故，注意到或，.由题可得，则.对于A，，故A错误；对于B，，由余弦定理，，由基本不等式，，当且仅当取等号.则，故B正确；对于C，，因，则，结合和差化积公式，则，因，则，因在上单调递增，在上单调递减，则，故C正确；对于D，，因是锐角三角形，，则.,其中，，又.因，则，又，则在上单调递增，在上单调递减，.因，，则.则，因，则.故，故D正确.故选：BCD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为_______．【答案】【解析】由点，可得，设，因为，可得，所以，可得，解得，所以点的坐标为.故答案为：.13.若，，则_______．【答案】【解析】由题可得，因，因在上单调递增，则.故答案为：.14.在中，已知，则的最大值为______．【答案】【解析】由得，即，又由余弦定理得：，化简得：，，当且仅当时，等号成立，将代入中，可得，满足任意两边之和大于第三边，故有最小值，且为锐角，此时，，由于在上单调递减，在上单调递增，故有最大值，最大值为．故答案为：四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，且与的夹角为．（1）求；（2）若向量与不能作为平面向量的一组基底，求实数的值．解：（1）由，且与的夹角为，得，.（2）由向量与不能作为平面向量的一组基底，得与共线，则存在实数，使得，而与不共线，于是，解得，所以实数的值为.16.已知，，．x

（1）将函数化简为的形式并用五点法画出在上简图；（2）求函数取得最大值时所组成的集合，并试从向量数量积坐标表示的角度，结合数量积的定义解释的最大值为2．解：（1）由题意，，列表如下：作图如下：（2）令，，解得，故函数取得最大值时所组成的集合为.因为，当且仅当时等号成立，此时与同向，夹角为0，则函数的最大值为2．17.已知函数．（1）求的定义域，并化简函数；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值．解：（1）的定义域由满足及的值组成，即及，所以及，得，，因此．在前提下，化简函数=．（2）对任意，不等式≤恒成立，恒成立．而当时，，所以实数m的最小值为3．18.如图，和与存在对顶角，且，，，且．（1）求的大小；（2）证明：为中点；（3）若，求的长．解：（1）,化简得：.在中，由正弦定理得：,由余弦定理可得：，故.（2）设，，则，