2024-2025学年四川省泸州市龙马潭区高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省泸州市龙马潭区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题（共40分）1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线的斜率为，对应的倾斜角为.故选：B2.已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,是定义在上的偶函数，所以当实数满足时，,不一定成立，故不符合题意；因为是定义在上单调递增的奇函数，所以当实数满足时，则，故符合题意；因为在上单调递减，所以当实数满足时，不一定成立，不符合题意.故选：.3.直线：和：垂直，则实数A-1 B.1 C.-1或1 D.3【答案】A【解析】因为直线：和：垂直（不合题意），两直线的斜率分别为，所以，解得a=-1，故选A.4.，“直线和直线平行”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意，则，，因此题中应为充分必要条件．故选：C．5.已知ΔABC的内角所对的边分别为，若,，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，即得，因为，所以，化为，得，故选D.6.若，满足约束条件，则的最小值为（）A.-1 B.0 C. D.1【答案】C【解析】解：作出，满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：由于可得，可得为该直线在轴上的截距，截距越大，越小，作直线，然后把直线向平面区域平移，由图可知，直线平移到点时，最小，由可得，即当直线经过点时，取得最小值，所以.故选：C.7.设k为实数，直线与圆交点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.无法确定【答案】C【解析】由，即直线恒过，而圆可化为，所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点.故选：C8.已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于直线与直线垂直，不妨设直线的方程为，圆心坐标为，将圆心坐标代入直线的方程得，解得.因此，直线的方程为.故选：A.二、多选题（共18分）9.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（）A.椭圆的离心率为B.的周长为6C.若，则的面积为3D.若，则【答案】ABD【解析】对A，由题意，，故，，故A正确；对B，的周长为，故B正确；对C，，，当且仅当时，等号成立，因为在上递减，所以此时最大，又，，所以的最大值为，，不成立，故C错误；对D，由余弦定理，即，解得，故，故D正确；故选：ABD10.已知正方体的棱长为4，点为平面内一动点，则下列说法正确的是（）A.若点在棱上运动，则的最小值为B.若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为C.若点满足，则动点的轨迹是一条直线D.若点在直线上运动，则到直线的最小距离为【答案】BCD【解析】A项，如图将平面展开与平面处于一个平面，连接与交于点由图形知，当且仅当三点共线时，等号成立.即此时取得最小值，即，故A错误；B项，如图取的中点，连接，因为点是棱的中点，所以且，又且，所以四边形为平行四边形所以，所以，则四点共面，所以平面四边形即为平面截正方体所得截面，又，，所以截面周长为，故B正确；C项，如图，平面平面，所以，又平面，所以平面，又，故过与垂直的直线在过与直线垂直的平面内，因为平面平面平面，且平面，所以在直线上，即动点的轨迹是一条直线，故C正确；D项，如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，设，所以，，则，，，所以到棱的距离，所以当时，故D正确；故选：BCD.11.已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（）A.B.C.D.若，则【答案】BCD【解析】根据题意，设，对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以，即，所以A错误；对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以B正确；对于C中，由，可得，所以C正确；对于D中，因为，所以，由可得，所以，所以D正确.故选：BCD.三、填空题（共15分）12.点到直线l：的距离是_______.【答案】1【解析】点到直线的距离：.故答案为：13.正四棱锥中，底面边长为，二面角为，则该四棱锥的高等于____________．【答案】【解析】如图所示，取的中点为，底面中心为，连接，因为四棱锥为正四棱锥，所以，中，，底面为正方形，故，所以是二面角的平面角，即，又在中，，所以，即该四棱锥的高为.故答案为：.14.在平面直角坐标系中，圆经过点，则圆上的点到原点的距离的最大值为___________．【答案】【解析】解：记，圆经过点O，A，B．则，，，所以，故为圆的直径．从而圆上的点到原点O的距离的最大值为．故答案为：四、解答题（共77分）15.根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．（1）的倾斜角为60°，经过点，；（2）平行于y轴，经过点，．解：（1）由题意，知直线的斜率，直线的斜率，所以，所以或与重合．（2）由题意，知是y轴所在的直线，所以．16.为创建全国文明城市，宁德市进行“礼让斑马线”交通专项整治活动，按交通法规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．下表是2020年宁德市某一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为，其中违章情况统计数据如下表：月份12345违章驾驶员人数10085807065（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程；（2）预测该路口2020年9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；并估计该路口经过几个月后“不礼让”的不文明行为可以消失．参考公式：，，参考数据：．解：（1）由表中数据知，∴即，∴所求回归直线方程为.（2）令，则人.令得答：预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为21，故估计经过13个月“不礼让”的不文明行为可以消失.17.已知双曲线C：经过点，其中一条渐近线为，O为坐标原点．（1）求C的标准方程；（2）过C的右焦点F，且在轴上的截距为的直线，交于P，Q两点，求的值．解：（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以①，又因为点在双曲线上，所以②，②联立解得，所以双曲线的方程为．（2）由（1）可知双曲线中，所以右焦点坐标为，即直线的横截距为2，又因为直线在轴上的截距为，所以直线的方程为，即，联立得，设，则，所以．18.在直三棱柱中，，为的中点（I）求证：平面⊥平面；（II）求直线与平面所成角的大小；（III）求二面角的大小．（I）证明：在△ABC中，由余弦定理，得，BC＝，为直三棱柱，平面．平面，平面平面．解：（II），由（I）知，平面为直线与平面所成的角．在中，＝＝，故直线DA1与平面所成角为（III）过C作CH⊥DC1，垂足为H，连接AH，则由三垂线定理可知，DC1⊥AH，从而∠AHC为二面角A﹣DC1﹣C的平面角．Rt△CDC1中，CD＝BC＝，CH＝＝，tan∠AHC＝.故二面角A﹣DC1﹣C大小为arctan．19.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过定点的直线与椭圆C相交于A、B两点，已知点，设直线、的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.解：（1）∵，且过点，，又，解得，∴椭圆的标准方程.（2）（i）若的斜率不存在，则，，此时（ii）若的斜率存在，设，，设的方程为：，，由韦达定理得：，，，∴所以：=1.另解：（2）当直线AB的斜率为0时，，直线AB的斜率不为0时，设直线AB为：，设则：，，则：，，所以：=1.四川省泸州市龙马潭区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题（共40分）1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线的斜率为，对应的倾斜角为.故选：B2.已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,是定义在上的偶函数，所以当实数满足时，,不一定成立，故不符合题意；因为是定义在上单调递增的奇函数，所以当实数满足时，则，故符合题意；因为在上单调递减，所以当实数满足时，不一定成立，不符合题意.故选：.3.直线：和：垂直，则实数A-1 B.1 C.-1或1 D.3【答案】A【解析】因为直线：和：垂直（不合题意），两直线的斜率分别为，所以，解得a=-1，故选A.4.，“直线和直线平行”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意，则，，因此题中应为充分必要条件．故选：C．5.已知ΔABC的内角所对的边分别为，若,，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，即得，因为，所以，化为，得，故选D.6.若，满足约束条件，则的最小值为（）A.-1 B.0 C. D.1【答案】C【解析】解：作出，满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：由于可得，可得为该直线在轴上的截距，截距越大，越小，作直线，然后把直线向平面区域平移，由图可知，直线平移到点时，最小，由可得，即当直线经过点时，取得最小值，所以.故选：C.7.设k为实数，直线与圆交点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.无法确定【答案】C【解析】由，即直线恒过，而圆可化为，所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点.故选：C8.已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于直线与直线垂直，不妨设直线的方程为，圆心坐标为，将圆心坐标代入直线的方程得，解得.因此，直线的方程为.故选：A.二、多选题（共18分）9.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（）A.椭圆的离心率为B.的周长为6C.若，则的面积为3D.若，则【答案】ABD【解析】对A，由题意，，故，，故A正确；对B，的周长为，故B正确；对C，，，当且仅当时，等号成立，因为在上递减，所以此时最大，又，，所以的最大值为，，不成立，故C错误；对D，由余弦定理，即，解得，故，故D正确；故选：ABD10.已知正方体的棱长为4，点为平面内一动点，则下列说法正确的是（）A.若点在棱上运动，则的最小值为B.若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为C.若点满足，则动点的轨迹是一条直线D.若点在直线上运动，则到直线的最小距离为【答案】BCD【解析】A项，如图将平面展开与平面处于一个平面，连接与交于点由图形知，当且仅当三点共线时，等号成立.即此时取得最小值，即，故A错误；B项，如图取的中点，连接，因为点是棱的中点，所以且，又且，所以四边形为平行四边形所以，所以，则四点共面，所以平面四边形即为平面截正方体所得截面，又，，所以截面周长为，故B正确；C项，如图，平面平面，所以，又平面，所以平面，又，故过与垂直的直线在过与直线垂直的平面内，因为平面平面平面，且平面，所以在直线上，即动点的轨迹是一条直线，故C正确；D项，如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，设，所以，，则，，，所以到棱的距离，所以当时，故D正确；故选：BCD.11.已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（）A.B.C.D.若，则【答案】BCD【解析】根据题意，设，对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以，即，所以A错误；对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以B正确；对于C中，由，可得，所以C正确；对于D中，因为，所以，由可得，所以，所以D正确.故选：BCD.三、填空题（共15分）12.点到直线l：的距离是_______.【答案】1【解析】点到直线的距离：.故答案为：13.正四棱锥中，底面边长为，二面角为，则该四棱锥的高等于____________．【答案】【解析】如图所示，取的中点为，底面中心为，连接，因为四棱锥为正四棱锥，所以，中，，底面为正方形，故，所以是二面角的平面角，即，又在中，，所以，即该四棱锥的高为.故答案为：.14.在平面直角坐标系中，圆经过点，则圆上的点到原点的距离的最大值为___________．【答案】【解析】解：记，圆经过点O，A，B．则，，，所以，故为圆的直径．从而圆上的点到原点O的距离的最大值为．故答案为：四、解答题（共77分）15.根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．（1）的倾斜角为60°，经过点，；（2）平行于y轴，经过点，．解：（1）由题意，知直线的斜率，直线的斜率，所以，所以或与重合．（2）由题意，知是y轴所在的直线，所以．16.为创建全国文明城市，宁德市进行“礼让斑马线”交通专项整治活动，按交通法规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．下表是2020年宁德市某一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为，其中违章情况统计数据如下表：月份12345违章驾驶员人数10085807065（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程；（2）预测该路口2020年9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；并估计该路口经过几个月后“不礼让”的不文明行为可以消失．参考公式：，，参考数据：．解：（1）由表中数据知，∴即，∴所求回归直线方程为.（2）令，则人.令得答：预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为21，故估计经过13个月“不礼让”的不文明行为可以消失.17.已知双曲线C：经过点，其中一条渐近线为，O为坐标原点．（1）求C的标准