第七章 课时3 球的接、切、截问题

课时3球的接、切、截问题一、单选题1．已知一个正四棱柱的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为()A．25π B．34πC．68π D．100π2．若一个球与棱长为a的正方体的各棱均相切，则该球的表面积为（）A． B． C． D．3．正四面体的外接球与内切球的体积之比为（）A.3 B．4 C．9 D．274．(2024·重庆市质检)在Rt△ABC中，CA＝CB＝eq\r(2)，以AB所在直线为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为()A．eq\f(\r(2)π,3) B．eq\f(8\r(2)π,3)C．2π D．eq\f(2π,3)5．已知正三棱S-ABC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A．16π B．20π C．32π D．64π6．(2024·北京101中学期末)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为4，∠BAD＝60°，则以D1为球心，2eq\r(5)为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为()A．eq\f(\r(2),2)π B．eq\r(2)πC．eq\f(2\r(2),3)π D．2eq\r(2)π二、多选题7．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN长的最小值为eq\r(3)－1，则下列说法正确的有()A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为eq\f(4,3)πC．正方体的棱长为2D．线段MN长的最大值为2eq\r(3)8．(2024·海南华侨中学期末)勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示．若某勒洛四面体内的四面体ABCD的高为2eq\r(2)，则()A．AB＝3eq\r(2)B．△BCD外接圆的半径为2C．四面体ABCD的体积为2eq\r(6)D．该勒洛四面体的表面积为24π9．(2024·江苏南通中学月考)已知AB为圆锥SO底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，N为线段SA的中点，SA＝5，圆锥SO的侧面积为15π，则下列说法正确的有()A.圆O上存在点M，使得MN∥平面SBCB.圆O上存在点M，使得AM⊥平面SBCC.圆锥SO的外接球半径为eq\f(25,8)D.圆锥SO的内切球半径为eq\f(3,2)三、填空题10．如图所示为古希腊数学家阿基米德的墓碑，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积的比值为，圆柱的表面积与球的表面积的比值为．11．已知△ABC是面积为eq\f(9\r(3),4)的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为．12．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是．四、解答题13．如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为棱BC的中点.求：（1）该三棱柱的体积与表面积；（2）三棱锥的内切球半径．14．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现