线性代数a试题及答案

线性代数a试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A\vert=(\)\)A.\(2\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(16\)2.若\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=O\)，则（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=O\)D.\(A-B=O\)3.设向量组\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)，则向量组\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\alpha_3\)的秩为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)4.已知\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵，则下列等式中不一定成立的是（）A.\((A^{-1})^{-1}=A\)B.\((kA)^{-1}=kA^{-1}\)（\(k\neq0\)）C.\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)D.\(\vertA^{-1}\vert=\vertA\vert^{-1}\)5.设\(A\)是\(3\)阶方阵，\(A\)的特征值为\(1\)，\(-1\)，\(2\)，则\(\vertA\vert=(\)\)A.\(-2\)B.\(2\)C.\(1\)D.\(-1\)6.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(R(A)=n-1\)，\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)是\(Ax=0\)的两个不同的解，则\(Ax=0\)的通解为（）A.\(k\alpha_1\)（\(k\)为任意常数）B.\(k\alpha_2\)（\(k\)为任意常数）C.\(k(\alpha_1-\alpha_2)\)（\(k\)为任意常数）D.\(k(\alpha_1+\alpha_2)\)（\(k\)为任意常数）7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3\)的矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&2\\2&2&0\\2&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)8.若\(A\)与\(B\)相似，则下列说法错误的是（）A.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)B.\(R(A)=R(B)\)C.\(A\)与\(B\)有相同的特征值D.\(A\)与\(B\)有相同的特征向量9.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(E\)是\(n\)阶单位矩阵，若\(A^2=E\)，则（）A.\(A=E\)B.\(A=-E\)C.\(A\)可逆，且\(A^{-1}=A\)D.\(A\)不可逆10.设向量组\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\cdots\)，\(\alpha_s\)线性相关，则（）A.存在一组全为零的数\(k_1\)，\(k_2\)，\(\cdots\)，\(k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.存在一组不全为零的数\(k_1\)，\(k_2\)，\(\cdots\)，\(k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)C.任意一组数\(k_1\)，\(k_2\)，\(\cdots\)，\(k_s\)，都有\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)D.向量组中任意一个向量都能由其余向量线性表示二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列关于矩阵运算正确的有（）A.\((A+B)^T=A^T+B^T\)B.\((AB)^T=A^TB^T\)C.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)为常数）D.\(A+B=B+A\)2.设\(A\)为\(n\)阶方阵，则下列说法正确的有（）A.若\(A\)可逆，则\(A\)的行向量组线性无关B.若\(A\)可逆，则\(A\)的列向量组线性无关C.若\(A\)的行向量组线性相关，则\(A\)不可逆D.若\(A\)的列向量组线性相关，则\(A\)不可逆3.已知\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，则（）A.若\(A\)，\(B\)可逆，则\(AB\)可逆B.若\(AB\)可逆，则\(A\)，\(B\)都可逆C.若\(A\)可逆，\(B\)不可逆，则\(AB\)不可逆D.若\(A\)，\(B\)都不可逆，则\(AB\)不可逆4.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，则（）A.存在非零向量\(\xi\)，使得\(A\xi=\lambda\xi\)B.齐次线性方程组\((A-\lambdaE)x=0\)有非零解C.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)D.\(\lambda\)是\(A\)的特征多项式\(f(\lambda)=\vert\lambdaE-A\vert\)的根5.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\)（\(A^T=A\)）为正定二次型的等价条件有（）A.\(A\)的所有特征值都大于零B.\(A\)的各阶顺序主子式都大于零C.存在可逆矩阵\(C\)，使得\(A=C^TC\)D.对任意非零向量\(x\)，都有\(x^TAx>0\)6.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)相似，则（）A.\(A-\lambdaE\)与\(B-\lambdaE\)相似B.\(A^k\)与\(B^k\)相似（\(k\)为正整数）C.\(f(A)\)与\(f(B)\)相似（\(f(x)\)为多项式）D.\(A\)与\(B\)合同7.设向量组\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\alpha_3\)线性无关，则下列向量组中线性无关的有（）A.\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)B.\(\alpha_1+\alpha_2\)，\(\alpha_2+\alpha_3\)，\(\alpha_3+\alpha_1\)C.\(\alpha_1-\alpha_2\)，\(\alpha_2-\alpha_3\)，\(\alpha_3-\alpha_1\)D.\(2\alpha_1\)，\(3\alpha_2\)，\(4\alpha_3\)8.对于\(n\)元齐次线性方程组\(Ax=0\)，下列说法正确的有（）A.若\(R(A)=n\)，则方程组只有零解B.若\(R(A)<n\)，则方程组有非零解C.方程组的解向量的线性组合还是方程组的解D.方程组的基础解系所含向量个数为\(n-R(A)\)9.设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，则（）A.\(A\)的特征值都是实数B.\(A\)一定可以相似对角化C.不同特征值对应的特征向量正交D.存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^{-1}AQ=\Lambda\)（\(\Lambda\)为对角矩阵）10.若矩阵\(A\)与\(B\)等价，则（）A.\(R(A)=R(B)\)B.存在可逆矩阵\(P\)，\(Q\)，使得\(PAQ=B\)C.\(A\)与\(B\)有相同的特征值D.\(A\)与\(B\)有相同的行列式三、判断题（每题2分，共20分）1.若\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，则\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)。（）2.若向量组\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\cdots\)，\(\alpha_s\)线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。（）3.设\(A\)是\(n\)阶方阵，若\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的行向量组线性相关。（）4.若\(A\)与\(B\)相似，则\(A\)与\(B\)合同。（）5.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2\)是正定二次型。（）6.齐次线性方程组\(Ax=0\)只有零解的充分必要条件是\(A\)的列向量组线性无关。（）7.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则\(k\lambda\)（\(k\)为常数）是\(kA\)的特征值。（）8.若\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)也可逆。（）9.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，若\(AB=E\)，则\(A\)，\(B\)都可逆，且\(A^{-1}=B\)，\(B^{-1}=A\)。（）10.若向量组\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\cdots\)，\(\alpha_s\)的秩为\(r\)，则其中任意\(r+1\)个向量都线性相关。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述矩阵可逆的充要条件。答：矩阵\(A\)可逆的充要条件有：\(\vertA\vert\neq0\)；\(A\)的行（列）向量组线性无关；\(R(A)=n\)（\(A\)为\(n\)阶方阵）；\(Ax=0\)只有零解；\(A\)可表示为有限个初等矩阵的乘积等。2.什么是向量组的线性相关性？答：对于向量组\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\cdots\)，\(\alpha_s\)，若存在一组不全为零的数\(k_1\)，\(k_2\)，\(\cdots\)，\(k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，则称向量组线性相关；若仅当\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)时等式成立，则称向量组线性无关。3.简述求矩阵特征值和特征向量的步骤。答：先求矩阵\(A\)的特征多项式\(f(\lambda)=\vert\lambdaE-A\vert\)；令\(f(\lambda)=0\)，解出特征值\(\lambda_i\)；对于每个特征值\(\lambda_i\)，求解齐次线性方程组\((A-\lambda_iE)x=0\)，其非零解即为对应于\(\lambda_i\)的特征向量。4.如何判断二次型\(f(x)=x^TAx\)（\(A^T=A\)）的正定性？答：可通过判断\(A\)的所有特征值都大于零；\(A\)的各阶顺序主子式都大于零；存在可逆矩阵\(C\)，使得\(A=C^TC\)；对任意非零向量\(x\)，都有\(x^TAx>0\)等方法来判断正定性。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论矩阵的相似与合同的区别与联系。答：区别：相似要求存在可逆矩阵\(P\)使\(P^{-1}AP=B\)，合同要求存在可逆矩阵\(C\)使\(C^TAC=B\)。相似保特征值等，合同保正定性等。联系：实对称矩阵若相似则一定合同；当\(P\)为正交矩阵时，相似与合同等价。2.讨论线性方程组解的情况与系数矩阵秩的关系。答：对于\(n\)元线性方程组\(Ax=b\)，当\(R(A)=R(A,b)=n\)时，有唯一解；当\(R(A)=R(A,b)<n\)时，有无穷多解；当\(R(A)\neqR(A,b)\)时，无解。对于齐次线性方程组\(Ax=0\)，\(R(A)=n\)时只有零解，\(R(A)<n\)时有非零解。3.讨论向量组的极大线性无关组的性质和作用。答：性质：极大线性无关组所含向量个数唯一；向量组中任一向量可由极大线性无关组线性表示。作用：可确定向量组的秩；可将向量组的研究转化