专题04排列组合与二项式定理小题综合-2024年高考数学冲刺双一流之小题必刷满分冲刺

专题04排列组合与二项式定理小题综合一、单选题1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）如图，小明从街道的出发，选择一条最短路径到达处，但处正在维修不通，则不同的路线有（

）种

A．66 B．86 C．106 D．126【答案】B【分析】求出从A到C不同的路线总数，减去从A到C的过程中途经B处的路线数，即可得出答案.【详解】要使A到C的路径最短，则小明到达每个网格点后只能选择向右或向上走到下一个网格点，且选择向右的次数为5，选择向上的次数为4，总共9次选择，所以从A到C总共有种不同的路线，同样，从A到B相当于在4次选择中3次向右，1次向上，所以A到B总共有种不同的路线，从B到C相当于在5次选择中2次向右，3次向上，所以B到C总共有种不同的路线，故从A到C的过程中途经B处的路线数为4×10＝40种，但B处正在维修不通，则不同的路线有126－40＝86种．故选：B.2．（2023·安徽铜陵·统考三模）若有4名女生和2名男生去两家企业参加实习活动，两家企业均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案有（

）种A．20 B．28 C．32 D．64【答案】B【分析】根据分步乘法计数原理，先安排男生，再安排女生，在安排女生时，利用间接法分析运算即可.【详解】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有种分配方案；再安排4名女生，若将每个女生随机安排，共有种分配方案，若女生都在同一小组，共有种分配方案，故保证每个小组都有女生，共有种分配方案；所以共有种分配方案.故选：B.3．（2023·安徽·校联考二模）积极参加公益活动是践行社会主义核心价值观的具体行动．现将包含甲、乙两人的5位同学分成2个小组分别去敬老院和老年活动中心参加公益活动，每个小组至少一人，则甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法的总数为（

）A．12 B．14 C．15 D．16【答案】D【分析】将5位同学分成，两种情况，结合排列与组合求得结果.【详解】若按分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种；若按分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种，故甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种．故选：D．4．（2023·安徽淮北·统考二模）世界数学三大猜想：“费马猜想”､“四色猜想”､“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年新1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.280多年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的越果“1+2由我国数学家陈景润在1966年取得.哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.在不超过20的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的选法有（

）A．28 B．21 C．15 D．10【答案】B【分析】求出不超过20的质数，再利用组合列式求解作答.【详解】依题意，不超过20的质数有：，从中随机选取两个不同的数，其和为偶数，即是从中任取两个，所以不同选法种数是.故选：B5．（2023·安徽合肥·二模）某高中学校在新学期增设了“传统文化”、“数学文化”、“综合实践”、“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程．小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．52种【答案】B【分析】分两类：所选课程恰有一门相同和没有相同，利用排列、组合分别求出每类的种数，再利用分类计数原理即可求出结果.【详解】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时：相同的课程为“数学文化”时，有种，相同的课程不是“数学文化”时，有种，所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有种，当小明和小华两位同学所选的课程没有相同时，有,所以，两位同学不同的选课方案有，故选：B.6．（2023·安徽黄山·统考三模）为纪念我国伟大数学家祖冲之在圆周率上的贡献，国际上把称为“祖率”，某教师为了增加学生对“祖率”的印象，以“祖率”为背景设计如下练习：让同学们把小数点后的位数字进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到小于的不同数有（

）个A． B． C． D．【答案】C【分析】依照分步计数原理及排列计算即可.【详解】由题意先排十分位必为1，一种方法，再排百分位可以为1或2，两种方法，最后排其余后面的数位，余下的五个数字全排列即可，即不同种数有.故选：C7．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定远中学校考阶段练习）已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7.则展开式中的的系数最小为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】由题意可得，求得最大为12，展开式中的的系数为，由此可求得展开式中的的系数的最小值.【详解】由题意可得,,故最大为12,此时,、一个为3,另一个为4.展开式中的系数为.故选：B.8．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）中国茶文化是中国制茶､饮茶的文化.中国是茶的故乡，中国人发现并利用茶，据说始于神农时代，至少有4700多年历史中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含物质文化层面，还包含深厚的精神文明层次.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还有杀青､揉捻､干燥等制作流程.现在某茶厂新招聘了6位工人，分配到这三个工序，揉捻工序至少要分配两位工人，杀青､干燥工序各至少分配一位工人，则不同分配方案数为（

）A．120 B．240 C．300 D．360【答案】D【分析】根据题意，分为揉捻工序分配2人、揉捻工序分配3人和揉捻工序分配4人，三种情况，结合排列、组合数的公式和计数原理，即可求解.【详解】根据题意，新招聘了6位工人，分配到这三个工序，揉捻工序至少要分配两位工人，杀青､干燥工序各至少分配一位工人，可分为三类情况：①若揉捻工序分配2人，有种分配方案；②若揉捻工序分配3人，有种分配方案；③若揉捻工序分配4人，有种分配方案；由分类计数原理可得，共有种分配方案.故选：D.9．（2023·安徽·校联考模拟预测）老师排练节目需要个男生和个女生，将这六名学生随机排成一排，个女生不相邻的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出名学生排成一列的排法，再利用插空法求出个女生不相邻的排法，最后根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】个男生和个女生随机排成一行，则名学生共有种排法，若个女生不相邻，先排个男生有种排法，个男生产生个空，将个女生插入个空中有种排法，故有种排法，所以个女生不相邻的概率.故选：A.10．（2023·安徽蚌埠·统考三模）的展开式中各项系数之和为，则该展开式中常数项为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取代入计算得到，确定展开式的通项，分别取和计算得到答案.【详解】的展开式中各项系数之和为，令，可知，，故，展开式的通项为，分别取和得到常数项为：，故选：C11．（2023·安徽·校联考模拟预测）某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若高中恰好需要1名心理学教授，三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有（

）A．150种 B．540种 C．900种 D．1440种【答案】C【分析】先给高中分配人，然后剩下的人去所高中利用先分组后分配的办法处理.【详解】先从6名教授中任选1名教授到高中，有种不同的方法，再将其余5名教授分配到三所高中，可分两类：①三所高中有一所高中分1名教授，另外两所高中各分2名教授，有种方法；②三所高中有一个高中分3名教授，另两个高中各分1名教授，有种不同的方法，不同的分配方案共有种．故选：C二、多选题12．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知，，，若（），则n的可能值为（

）A．6 B．8 C．11 D．13【答案】BC【分析】根据二项式展开式的通项公式以及二项式系数最大值的知识求得正确答案.【详解】依题意，，所以，依题意，，其中，化简得，继续化简得，即，依题意，，所以，解得.故选：BC13．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知，其中，且，则下列判断正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】令，则，分别赋值、可以求得，A正确；，B错误；利用二项式展开式通项公式可以判断C、D正确.【详解】令，则，则，令，则，①令，则，②①－②，得，解得，A正确；①＋②，得，所以，B错误；又，C正确；，D正确．故选：ACD．14．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）已知，下列说法正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】令可求得A正确；根据二项式定理可得展开式通项，分别代入和，加和即可得到，知B错误；分别令和，加和后，结合可知C错误；对等式左右求导，代入可得D正确.【详解】对于A，令，则，A正确；对于B，展开式通项为：，展开式通项为：，展开式通项为：，令，则，又，，，或，，B错误；对于C，令，则；令，则；两式作和得：，，又，，C错误；对于D，，，，令，则，D正确.故选：AD.三、填空题15．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）的展开式中二项式系数最大的项是________.【答案】/【分析】根据二项式系数的性质即可知最大，由二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】的二项展开式有7项，其二项式系数为，由组合数的性质可知最大，故由二项式定理得二项式系数最大的一项是.故答案为：16．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）在报名的4名男生和3名女生中，选取3人参加志愿者服务，要求男生女生都有，则不同的选取方法的种数为________．（用数字填写答案）【答案】【分析】若选取3人中分为有1名女生和2名女生，分别求解即可得出答案.【详解】在报名的4名男生和3名女生中，选取3人参加志愿者服务，若选取3人中有1名女生，则种，若选取3人中有2名女生，则种，故.故答案为：.17．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为______．【答案】14【分析】根据特殊元素法进行安排即可.【详解】①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为；②若甲不安排在最后一天，则不同的安排数为．综上，不同的安排种数为14．故答案为：.18．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知的展开式中的系数为，则实数a的值是________.【答案】2【分析】求出的通项公式为，从而可得的通项为，分别求出和的展开式中的系数,再根据运算即可求得的值.【详解】的通项公式为，所以，令，则的展开式中的系数为；令，则的展开式中的系数为；故的展开式中的系数为,.故答案为：2.19．（2023·安徽铜陵·统考三模）的展开式中的系数是______.【答案】672【分析】先得到展开式通项公式，从而得到，结合求出的系数.【详解】展开式通项公式为，当时，，当时，，故的展开式中的系数为.故答案为：67220．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）展开式中仅含项的系数为___________【答案】【分析】化简得到，求得展开式的通项公式，结合题意，确定的值，代入即可求解.【详解】由二项式展开式的通项公式为，又由，当时，可得仅含有项的系数为，所以展开式中仅含项的系数为.故答案为：.21．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________.【答案】150【分析】7个人去三个景点，每个景点至少2人，则两个景点两人，一个景点3人，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，分类相加即可.【详解】由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，第一类：仅要好的两位女生去同一景点；第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点，总方法数为.故答案为：150.22．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定远中学校考阶段练习）已知的展开式中各项的系数之和为256，记展开式中的系数为，则______.【答案】【分析】根据给定条件，求出幂指数n，再求出二项式展开式的通项公式，并求出a值作答.【详解】依题意，取，得，解得，展开式的通项公式，，令，解得，于是，所以.故答案为：23．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）的展开式中的常数项为___________.【答案】29【分析】根据7个因式，结合计数原理求多项式展开式的常数项即可；【详解】表示7个因式的乘积，在这7个因式中，有0个因式选x，有0个因式都选，7个因式都选1，相乘可得常数项；有1个因式选x，有1个因式都选，其余的5个因式都选1，相乘可得常数项；有2个因式选x，有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得常数项；有3个因式选x，有3个因式都选，其余的1个因式都选1，相乘可得常数项，由多项式定理，得的展开式中的常数项为：故所求常数项为.故答案为：29.24．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）展开式中的系数为__________.【答案】56【分析】根据多项式乘法法则，求得中的系数，应用乘法法则计算可得．【详解】展开式中含的项为：．故答案为：56．25．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）如图所示，有5种不同的颜色供选择，给图中5块区域A，B，C，D，E染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，则共有______________种不同的染色方法．【答案】【分析】根据分类分步计数原理，分用3，4，5种颜色染色的方法分步计算，再求和即可.【详解】选择3种颜色，则B，D同色，且C，E同色，共种情况；选择4种颜色，则B，D同色，或C，E同色，共种情况；选择5种颜色，共种情况；故共有种情况.故答案为：26．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有_________种．【答案】18【分析】先从除甲、乙外的3名学生中选出2名，安排在周一和周二，再将剩余3名学生安排在周三至周五，且甲在乙之前，再根据分步计数乘法原理可得答案.【详解】先从除甲、乙外的3名学生中选出2名，安排在周一和周二，共有种排列方式；再将剩余3名学生安排在周三至周五，共有种排列方式.又甲在乙之前，则不同的排列方式共有种.故答案为：18.27．（2023·安徽淮南·统考二模）已知二项式的常数项为，则___