2026年中考数学压轴题专项练习-倍长中线（答案）（学生版+名师详解版）

1．（2025•沙坪坝区校级模拟）如图，中，在上，在上，，在上，．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，在上，，求证：；（3）如图3，若，，，当周长最小时，请直接写出的面积．【解答】（1）证明：，，，，，，，；（2）证明：延长至使，由（1）得，，，延长至使，连接，则，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：延长至使，，，，，，，，，过作的对称点，连接、、、，，当、、三点共线时周长最小，当周长最小时如图所示：，，，是正三角形，，，，，，，，，，，，，．2．（2025春•荣昌区期末）菱形中，，连接，点是边上一点，连接交于点．（1）如图1，若，当时，求的长；（2）以为边向右侧作等边，连接，．①如图2，点是中点，连接．求证：；②如图3，当时，直接写出的值．【解答】（1）解：四边形是菱形，，，，平分，，，，，，，，，，，；（2）证明：如图，延长至，使，即，连接，点为的中点，，在和中，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）解：如图，连接交于点，过点作于点，设，则，，四边形为菱形，，，，，，，为等边三角形，，在中，，，，，，即，，在中，，，为等边三角形，，，，，在和中，，，，，，，．3．（2025•抚州三模）课本再现：（1）我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质．如图（1），在中，点，分别是，的中点，连接．则与的关系是，．定理证明（2）请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程．定理应用（3）如图（2），在四边形中，点，，分别为，，的中点，，的延长线交于点．若，则的度数是．（4）如图（3），在矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，点是线段的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最小值．【解答】解：（1）如图，延长至点，使，连接，，，，，，，，，，，四边形为平行四边形，，，，．故答案为：且；（2）证明：如图，延长至点，使，连接，，，，，，，，，，，四边形为平行四边形，，，，．（3）点，分别为，的中点，，，点，分别为、的中点，，，．故答案为：．（4）如图，延长至点，使，连接，连接，，，，，由勾股定理得，，，，，点在以点为圆心，3为半径的圆上（不与点重合），当点在线段上时，最小，最小值为；当点在线段的延长线上时，最大，最大值为．故：长的最大值为4，最小值为1．4．（2025春•巴南区期中）在矩形中，是边上一点．（1）若，平分，且，求的面积；（2）若是中点且，于点，求证：；（3）若，于点，连接并反向延长至点使得．点在直线上方，连接、，，，请探究并请直接写出与的数量关系．【解答】解：（1）在矩形中，，．过作于，如图1．，，，．．，，．即．，，，．．．．（2）过作于，过作延长线于，如图2．，，，．又，．，．，，，四边形是矩形．，．，，，．．．在中，．．（3）作关于的对称，连接，，如图3．（对称），，．．，．，．．又，，．，．，，，．，．．．，，．．为等边三角形，，．5．（2025春•碑林区校级期中）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．【探究发现】：（1）图1中与的数量关系是，位置关系是；【初步应用】：（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则．【探究提升】：（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．【解答】解：（1）是的中线，，在和中，，，，，，故答案为：，；（2）如图2，延长到，使，连接，由（1）可知，，，在中，，，即，，即边上的中线的取值范围为；（3），，理由如下：如图3，延长到，使得，连接，由（1）可知，，，，，由（2）可知，，，、，，，，在和中，，，，，，，，，，．6．（2025秋•南沙区校级期末）如图，在中，点是的中点，分别以，为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，，，，连接．（1）请写出与的数量关系，并说明理由．（2）延长交于点，求的度数．【解答】解：（1），理由如下：如图，延长至使，连接，点是的中点，，在和中，，，，，，，，，，在中，，，，，，．（2）延长交于点，，，，，，．7．（2025•蜀山区校级一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接．（1）若，，求的长；（2）求证：；（3）求证：．【解答】（1）解：在中，，，，由勾股定理得：，，，，即，解得：；（2）证明：点是的中点，，，，，，；（3）证明：延长至点，使，连结，在和中，，，，，，，，，，，，．8．（2025秋•东城区期末）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．（1）用等式表示与的数量关系，并证明；（2）当时，①直接写出的度数为；②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．【解答】解：（1），证明：是等边三角形，，，将线段绕点顺时针旋转得到，，，，，，；（2）①当时，则，，，，故答案为：；②，理由如下：延长到，使，连接，，为的中点，，四边形为平行四边形，且，，，又，，，又，，△，，又为正三角形，，．9．（2025春•南岗区校级月考）在中，，点为的中点，点、分别在边、上，且满足．（1）如图1，当时，若，，则；（2）如图2，当时，求证：；（3）如图3，当时将沿翻折，边与交于点，若，，求的长．【解答】（1）解：如图1，连接，，，，，，，点为的中点，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，故答案为：；（2）证明：如图2，连接、，，，点是边的中点，，，，，，，，又，，在和中，，，，，，，即，在中，根据勾股定理得：，，，是等腰直角三角形，，；（3）解：如图3，延长至，使，连接、，过作交的延长线于点，，，是等边三角形，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，即的长为28．10．（2025•淮安二模）【问题情境】学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路．思路1：将绕着点旋转，使得和重合，得到思路2：延长到，使得，连接，根据可证得根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为．【类比探究】如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由．【迁移应用】【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长．【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含和的式子表示），如果不存在，请说明理由．【解答】解：【问题情境】延长到，使得，连接，如图①，在和中，，，．，，．故答案为：；【类比探究】与的数量关系为：．理由：延长至点，使，连接，如图，则．是的边上的中线，，在和中，，，，，，．，．，．在和中，，，．．【应用1】过点作于点，于点，如图，则，．，，，，，．，．．在和中，，，，．；【应用2】存在最小值，其最小值为，理由：取的中点，连接，延长至点，使，连接，，如图，，．，，，，即．在和中，，，，点，，四点共圆，，，为的中点，．，，四边形为平行四边形，，，．，．，．在和中，，，，．若的度数发生改变，当点，，三点在一条直线上时，的值最小为：．11．（2025•扬州模拟）我们定义：如图1，在中，把点绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．我们称△是的“旋补交差三角形”，连接、，我们将、所在直线的相交而成的角称之为“旋补交差角”，点到中点间的距离成为“旋转中距”．如图1，即为“旋补交差角”，即为“旋补中距”．（1）若已知图1中的长度等于4，当，则“旋补交差角”，“旋补中距”长度；（2）若图1中的度数发生改变，则“旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断“旋补中距”是否也发生改变；（3）已知图2中△是“旋补交差三角形”，的长度等于4，长度等于6，问是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，把点绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，，，，，，，，点，点，点共线，点，点，点共线，、的交点与点重合，“旋补交差角”，，，，△，，点是的中点，，，故答案为：，2；（2）“旋补交差角”度数不变，“旋补中距”长度不变，理由如下：把点绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，，，，，在和△中，，△，，点，点，点，点四点共圆，，如图2，延长至，使，连接，，，，四边形是平行四边形，，，，，又，，△，，；（3）存在最小值，最小值为1，理由如下：如图3，取中点，连接，，，△是“旋补交差三角形”，，，点是中点，，，在中，，当点在线段上时，有最小值为．12．（2025春•龙口市月考）如图，将置于直角坐标系中，，，点、分别在轴、轴上，且，．（1）如图1，求点的坐标；（2）如图2，、分别交轴、轴于、，请直接写出的值．（3）如图3，为上一点，，且，为的中点，连接，，判断线段与的关系，并写出证明过程．【解答】解：（1）如图1，过点作轴于点，，，，在和中，，，，，，点；（2）设直线的解析式为，将，代入，得，解得：，直线的解析式为，当时，．，设直线的解析式为，将，代入，得，解得：，直线的解析式为，当时，．，则；（3），，理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，则，．在和中，，，，．，，，在和中，，，，，，，．．13．（2025秋•微山县期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图1，是的中线，若，，求的取值范围．【探究方法】小强所在学习小组探究发现：延长至点，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到同一个中，进而求出的取值范围．方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做倍长中线法．【应用方法】（1）请你利用上面解答问题的方法思路，写出求的取值范围的过程；【拓展应用】（2）已知：如图2，是的中线，，点在的延长线上，．写出与之间的数量关系并证明．【解答】解：（1）如图1中，延长至点，使，连接．在和中，，，，，，，；（2）结论：．理由：延长到，使得，连接，取的中点，连接．．，，在和中，，，，，，，，，，，．14．（2025春•历下区期中）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图，①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明．【解答】解：（1）如图2，延长到，使得，连接，是的中线，，在和中，，，，在中，，，，，故答案为：；（2），且，理由是：由（1）知，，，，；（3），理由：如图2，延长到，使得，连接，由（1）知，，，，，由（2）知：，，，，，在和中，，，，，，，，即：．15．（2025•徐州模拟）（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）解：如图①，将绕着点逆时针旋转得到，则，，，在中，，即，故答案为：；（2）证明：如图②，延长至，使，连接、，在和中，，，，，，在中，，；（3）解：，理由如下：如图③，延长至点，使，连接，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，．16．（2025•建昌县模拟）如图，在和中，，，，绕点旋转．（1）如图1，若连接，，则与的关系为，；（2）如图2，若连接，，取中点，连接，探究与的关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当旋转到如图3的位置时，点落在延长线上，若，，请直接写出线段的长．【解答】解：（1），，理由如下：如图1，设与交于点，，，即，，，，，，，，，，故答案为：，；（2），，理由如下：如图2，延长交于点，延长到点，使，连接，是中点，，又，，，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，即；（3）如图3，过点作于，由（2）可知，，，，，，，，，．17．（2025•德州）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明的判定定理是：；（2）的取值范围是；方法运用：（3）如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：．（4）如图3，在矩形中，，在上取一点，以为斜边作，且，点是的中点，连接，，求证：．【解答】解：（1）是中线，，又，，，故答案为：；（2），，在中，，，，故答案为：；（3）如图2，延长至，使，连接，是的中线，，又，，，，，，，，，；（4）方法一、如图3，延长至，使，连接，，，点是的中点，，又，，，，，，，，，，，，，，，，，，，又，，，，且，，，，又，，．方法二、过点作于，过点于，，，，，，，，，平分，，，，，关于对称，，，，，，，，又，，．18．（2024秋•鞍山期末）在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①，这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线的取值范围是．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围．②如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）延长到点，使，连接，如图①所示：点是边上的中点，，在和中，，，，在中，，，即，，故答案为：；（2）①延长到点，使，连接、，如图②所示：点是边上的中点，，在和中，中，，，，，，，在中，，，即，；②；理由如下：延长与的延长线交于点，如图③所示：点是中点，，，，，，在和中，，，，，，，，即：，，．19．（2025春•皇姑区校级期中）已知等边和等腰，，．（1）如图1，点在上，点在上，是的中点，连接，，则线段与之间的数量关系为；（2）如图2，点在内部，点在外部，是的中点，连接、，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点在内部，点和点重合，点在下方，且，则的最大值为．【解答】解