2026届高三数学微专题6概率统计的综合应用-专项训练【含答案】

2026届高三微专题6概率统计的综合应用概率与统计问题主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型.概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强.考点考点一概率统计的综合【典例精讲】例1.(2025·广东省佛山市模拟)(多选)有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且P(X=kA.极差不变的概率是3132 B.第25百分位数不变的概率是316

C.平均值变大的概率是12 D.方差变大的概率是732

例2.(2025·山东省·模拟题)某市推行垃圾分类后，环保部门对居民分类准确率进行抽样调查.已知该市有甲、乙两个人口数量相等的社区，甲社区开展过多次分类培训，乙社区未开展.现从甲社区随机抽取100人，乙社区随机抽取150人，统计正确分类人数如下：甲社区：80人正确分类;乙社区：90人正确分类.假设各社区中每位居民的分类行为相互独立，用频率估计概率．(1)若从甲社区中任选3人，求恰好2人正确分类的概率；(2)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两个社区居民对垃圾分类的准确率是否有差异(3)环保部门从两社区抽取居民的样本中，对不能正确分类的样本，按照分层抽样抽取8人，再从这8人中选择3人进行深度访谈.设X为3人中来自甲社区的人数，求X的分布列及数学期望．α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：χ2=n(ad-bc)【方法储备】概率和统计综合问题主要包括：=1\*GB3①概率与统计中2×2列联表的综合问题；=2\*GB3②概率与统计中线性回归方程的综合问题；=3\*GB3③概率与统计指标的综合问题；=4\*GB3④概率与简单随机抽样的综合问题；=5\*GB3⑤概率与统计图的综合问题等几种类型.【拓展提升】练1-1((2025·浙江省温州市·模拟)某学校校医研究温差xoC与本校当天新增感冒人数y(人)的关系，该医生记录了5天的数据，且样本中心点为8,25.由于保管不善，记录的5天数据中有两个数据看不清楚，现用m,nx568912y17m25n35A.在m,n确定的条件下，去掉样本点8,25，则样本的相关系数r增大

B.在m,n确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程y=2.6x+a，则a=4

C.在m,n确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程y=2.6练1-2(2025·安徽省六安市月考)某校想了解高二数学成绩在学业水平考试中的情况，从中随机抽出50人的数学成绩作为样本并进行统计，频率分布表如表所示．组号分组频数频率第1组[50,60]20.04第2组(60,70]a0.18第3组(70,80]20b第4组(80,90]160.32第5组(90,100]30.06合计501.00(1)据此估计这次参加数学考试的高二学生的数学平均成绩；

(2)从这五组中抽取14人进行座谈，若抽取的这14人中，恰好有2人成绩为50分，7人成绩为70分，2人成绩为75分，3人成绩为80分，求这14人数学成绩的方差；

(3)从50人的样本中，随机抽取测试成绩在[50,60]，(90,100]内的两名学生，设其测试成绩分别为M，N．

(i)求事件“|M-N|>30”的概率；

考点二考点二概率统计与函数的综合【典例精讲】

例3.(2025·重庆市市辖区模拟)我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：学校供暖器的噪声不能超过50分贝、热效率不能低于70%.某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，这批供暖器的噪声(单位：分贝)和热效率的频率分布直方图如下图所示：

假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率．(1)求a，b的值;

(2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽2件，求恰有1件噪声不超过25分贝且热效率不低于90%的概率;(3)当x∈[90,100]，设供暖器的噪声不超过x-502(分贝)的概率为p1，供暖器的热效率不低于例4.(2025·安徽省合肥市模拟)心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态.某中学的学习研究小组为设计创新性学习活动，随机抽取了100名学生进行调研，男生与女生的人数之比为3:2，其中女生有35名自述活动过程中体验到心流，男生有15名没有体验到心流．(1)完成2×2列联表，依据表中数据，以及小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为学生在创新性学习活动中是否体验(2)在体验到心流的学生中，有A,B两名同学表示特别喜爱这种创新性学习活动，希望参加到进一步的学习中.在接下来的进一步学习中，研究小组将每次从体验到心流的学生中不放回的随机抽取k(k=4,5,6,7,8)名同学参加，记抽取两次后抽中A或B的概率为p(k参考公式：χ2=n(ad-bc心流无心流总计女生35男生15合计100参考数据：α0.100.050.0100.005x2.7063.8416.6357.879【方法储备】概率统计与函数的交汇问题,本质仍是以概率统计为主导，利用函数辅助求解，综合性较强.利用概率统计知识，求解概率、均值、方差等的最值，通常以概率为变量转化为函数问题，建立函数模型，利用单调性求最值.【拓展提升】练2-1.(2025·湖北省黄石市·模拟)随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户每日健步的步数.某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽取了2000人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数(单位：千步，假设每天健步的步数均在3千步至21千步之间).将样本数据分成[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19)，[19,21]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布．

(1)求图中a的值；

(2)设该企业正常上班的员工健步步数(单位：千步)近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本的平均数(各区间数据用中点值近似计算)，取σ=3.64，若该企业恰有10万人正常上班的员工，试估计这些员工中日健步步数Z位于区间[4.88,15.8]范围内的人数；

(3)现从该企业员工中随机抽取20人，其中有k名员工的日健步步数在13千步至15千步内的概率为P(X=k)，其中k=0，1，2，…，20，当P(X=k)练2-2(2025·广东省湛江市·模拟)某工生产某电子产品配件，关键接线环节需要焊接，焊接是否成功将直接导致产品“合格”与“不合格”，工厂经过大量后期出广检测发现“不合格”产品和“合格”产品的某性能指标有明显差异，统计得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值k，将该指标大于k的产品判定为“不合格”，小于或等于k的产品判定为“合格”.此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为f(k)；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”(1)当漏检率fk=2.8%时，求临界值k和错检率(2)设函数hk=fk+g考点三考点三概率统计与导数的综合【典例精讲】

例5.(2025·云南省昆明市联考)某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和70%分位数;(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为18，设他获得二等奖的概率为P，求附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则P例6.(2025·山西省临汾市模拟)甲流和普通感冒都属于上呼吸道感染，而甲流是流行性感冒中致病力最强的一种流感，在医学检测中发现未接种过流感疫苗者感染该病毒的比例较大.某医院选取200个有感冒症状的就诊患者作为样本，统计了感染甲流病毒的情况，得到下面的列联表：接种流感疫苗与否/人数感染甲流病毒未感染甲流病毒未接种流感疫苗3070接种流感疫苗1090(1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，判断感染甲流病毒与接种流感疫苗是否有关?

(2)以样本中感染甲流病毒的频率估计概率，现从该医院所有感冒症状就诊者中随机抽取3人进行感染甲流病毒人数统计，求至多有1人感染甲流病毒的概率;

(3)该医院某病房住有3位甲流密切接触的病人，医院要对该病房的人员逐一进行甲流病毒检测，若检测结果出现阳性，则该病房人员全部隔离.假设该病房每位病人检测结果呈阳性的概率均为p(0<p<1)且相互独立，记该病房至少检测了2位病人才确定需要隔离的概率为f(p)，求当pP0.100.050.010.001k2.7063.8416.63510.828【方法储备】概率统计与导数的综合问题上，解题的难点是建立函数模型，如独立性检验统计量、期望方差公式、正态分布函数和用分布列建立其他的函数的模型，利用导数研究单调性.【拓展提升】练3-1(2025·福建省漳州市·模拟)某工业流水线生产一种零件，该流水线的次品率为p0<p<1，且各个零件的生产互不影响．(1)若流水线生产零件共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为p1①求p；②现对该流水线生产的零件进行质量检测，检测分为两个环节：先进行自动智能检测，若为次品，零件就会被自动淘汰；若智能检测结果为合格，则进行人工抽检．已知自动智能检测显示该批零件的合格率为99%，求人工抽检时，抽检的一个零件是合格品的概率(合格品不会被误检成次品)．(2)视p为概率，记从该流水线生产的零件中随机抽取n个产品，其中恰好含有mn>m个次品的概率为fp，求函数f练3-2(2025·浙江省杭州市期末)从2019年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情．目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．平均温度x21232527293235平均产卵数y/711212466115325表中zi=lnyixyzi=1i=127.42981.2863.61240.182147.714(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=cedx(其中e=2.718⋯，为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28°C以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28°①记该地今后n(n⩾3,n∈N*)②根据①中的结论，当f(p)取最大值时，记该地今后6年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差．

附：对于一组数据x1,z1，x2,z2，⋯考点四考点四概率统计与数列的综合【典例精讲】例7.(2025·吉林省长春市·模拟题)某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节．(1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X(单位：千元)，其奖金的平均值为X=30，标准差为s=5.经分析，X近似服从正态分布N(μ,σ2)，用奖金的平均值X作为(2)游戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则，得1分.连续投掷累计得分达到9或10时，游戏结束． ①设员工在游戏过程中累计得n分的概率为Pn，求 ②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金(精确到1元)(参考数据：P(μ-P(μ-3σ≤x例8.(2025·湖南省株洲市模拟)足球是一项大众喜爱的运动2026年世界杯将由美国、加拿大和墨西哥联合举办.

(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2×喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？

(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1=1．

(i)求P3(直接写出结果即可)；

α0.1000.0500.0250.0100.001x2.7063.8415.0246.63510.828【方法储备】概率统计问题与数列的交汇问题,要准确把题中所涉及的事件进行分解,明确所求问题所属的事件类型是关键.解答此类问题，一是要根据题意建立数列模型；二是熟练的利用已知的求概率的方法进行概率计算.概率与数列的交汇问题的常见类型有：=1\*GB3①求通项公式：关键是找出概率Pn或数学期望EXn的递推关系式,根据数列部分由递推公式求通项公式的方法，求出概率或期望的通项公式；=2\*GB3②利用等差、等比数列的性质,研究单调性、最值或求极限；=3\*GB3③求和：利用数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和等方法.【拓展提升】练4-1(2025·福建省厦门市·期中考试)“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复.Ⅰ若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率;Ⅱ记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为X，求X的分布列与数学期望;Ⅲ求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数.练4-2(2025·河北省石家庄市·月考试卷)若数列满足，则称数列为k项数列，由所有k项数列组成集合若是12项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；从集合中任意取出两个数列，记①求随机变量X的分布列，并证明：；②若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字1”，“第二次产生数字1”，且若，比较与的大小.

【答案解析】例1.数X的分布列为

当X≤4时，极差不变，所以极差不变的概率是P(X⩽4)=1-P(X=5)=1-132=3132，故A正确；

5×25%=1.25，所以原数据的第25百分位数为1，

6×25%=1.5，所以当X≠0时，第25百分位数不变，

所以第25百分位数不变的概率为P(X≠0)=3132，故B错误；

原数据的平均值为2，当X>2时，平均值变大，所以平均值变大的概率为P(X>2)=12，故C正确;

原数据的方差为例2.(1)甲社区正确分类概率的估计值为0.8，

按照二项分布的概率公式，恰好2人正确分类的概率p=C32(0.8)2(0.2社区正确分类不正确分类合计甲8020100乙9060150合计17080250

根据列联表中的数据，经计算得到χ2=250×(80×60-20×90)2100×150×170×80=1500136≈11>10.828=x0.001，

根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，

即认为两个社区居民对垃圾分类的准确率有差异；

(3)按照分层抽样，应该在甲社区抽取2人，在乙社区抽取6人，

又8人中抽取3人，X可以取0，1X012P5153X的数学期望为E(X练1-1.对于A，因为样本中心点为8,25，

所以由相关系数公式可知，去掉样本点(8,25)后，x与y的样本相关系数不变，故A错误；

对于B，因为样本中心点为8,25，

所以25=2.6×8+a，解得a=4.2，故B错误；

对于C，由B可得，y=2.6x+4.2，

当x=1时，y=2.6×12+4.2=35.4，

故残差为35-35.4=-0.4，故C错误；

对于D，由题意可得18≤m≤24 , 26≤n≤34练1-2.(1)先求得a为9，b为0.40.估计高二学生的数学平均成绩为：55×0.04+65×0.18+75×0.4+85×0.32+95×0.06=76.8．

(2)这14人数学成绩的平均分为：x-=50×2+70×7+75×2+80×314=70，

∴这14人数学成绩的方差为：s2=114[2(50-70)2+7(70-70)2+2(75-70)2+3(80-70)2]=5757．

(3)(i)由频数分布表知，成绩在[50,60]内的人数有2人，设其成绩分别为x，abcx(((y(((共6种情况，∴基本事件总数为10种，事件“|M-N|>30”所包含的基本事件有6种，

∴P(|M-N|>30)=6例3.(1)由5×(0.01+0.03+a+0.06+a+0.02)=1，解得a=0.04，

由5×(0.008+0.02+b+0.04+0.06+0.04)=1，解得b=0.032;

(2)1件噪声不超过25分贝且热效率不低于90%的概率为：0.01×5×0.06+0.04×5=0.025，

随机抽2件，恰有1件噪声不超过25分贝且热效率不低于90%的概率为：C21·0.025·0.975=0.04875;

(3)当x∈90,100，则x-502∈20,25，所以p1例4.(1)因为调查的女生人数为：22+3×100=40，所以，调查的男生人数为100-40=60心流无心流总计女生3554男生45156合计8020100零假设为H0:在创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关.根据列联表中的数据，

可得：χ2=100×(35×15-45×5)280×20×40×60=7532<3<3.841=x0.05，

根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，

因此可以认为H0成立，即创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关;

(2)当k=8时，p(k)练2-1.(1)由0.02×2+0.03×2+0.05×2+0.05×2+0.15×2+a×2+0.05×2+0.04×2+0.01×2=1，

解得a=0.1，

(2)μ=4×0.04+6×0.06+8×0.1+10×0.1+12×0.3+14×0.2+16×0.1+18×0.08+20×0.02=12.16∴P(4.88≤Z≤15.8)=P(μ-2σ≤Z≤μ+σ)=P(μ-2σ⩽Z⩽μ+2σ)2+P(μ-σ⩽Z⩽μ+σ)2

练2-2.(1)依题可知，第一个图形中第一个小矩形面积为0.04>2.8%，所以80<k所以(k-80)于是错检率g((2)当k∈80,90时，f(所以h(当k∈90,100时，f(所以h(故h(例5.(1)样本平均数的估计值为x-，

则x-=10×(40×0.01+50×0.02+60×0.03+70×0.024+80×0.012+90×0.004)．

解得x-=62.所以样本平均数的估计值为62;

前三组的频率和为0.1+0.2+0.3=0.6，前四组的频率和为0.1+0.2+0.3+0.24=0.84，

第四组的频率为0.24，所以70%分位数为65+0.7-0.60.24×10=65+5012=4156．

(2)因为学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ=62，σ≈14．

所以μ+2σ≈62+2×14=90.所以P(x≥90)=P例6.(1)假设为H0:感染甲流病毒与接种流感疫苗无关，

由列联表可知χ2的观测值χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(90×30-10×70)2100×100×160×40=12.5>10.828=x0.001，

根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为感染甲流病毒与接种流感疫苗有关．

(2)由题意得，该医院所有感冒症状中感染甲流病毒的概率为30+10200=15，

设随机抽取的3人中至多有1人感染甲流病毒为事件A，

则p(0,p(f+0-f递增极大值递减综上，当p=3-3练3-1.(1)①所以p=1-(1②记该款芯片自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，且P(则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为

PB(2)因为各个芯片的生产互不影响，

所以f(所以f'(p令f'(p)=0，得p=mn所以当0<p<mn当mn<p所以，当p=mn则fp最大值为f(m练3-2.(1)由散点图可以判断，y=cedx更适宜作为平均产卵数对y=cedx两边取自然对数得lny=lnc+dx，

令因为b=i=17所以z关于x的回归方程为z=0.272所以y关于x的回归方程为y=(2)①由f(p)=Cnn⩾3且n∈N*，当0<p<所以函数f(p)在区间0,所以函数f(p)在p②由①可知，当p=2n又n=6，则p=13，由题意可知X∼(6,13例7(1)由题意X~N(30,25),

P(35≤X<40)=P(u+σ≤X<u+2σ)