2025年山西省晋中市高考数学适应性试卷（5月份）【附答案】

第1页（共1页）2025年山西省晋中市高考数学适应性试卷（5月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，1，2，3，，，则A．，1， B．， C．，2， D．2．已知复数满足为虚数单位），则的虚部为A． B． C． D．3．已知圆的一般方程为，则圆的圆心坐标为A． B． C． D．4．已知是公差为1的等差数列，是其前项和，若，则A．1 B．2 C． D．5．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，则经过3次移动后，该质点位于1处的概率为A． B． C． D．6．下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是A． B． C． D．7．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则A． B． C． D．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与的一条渐近线平行的直线交于点，若为坐标原点），则的离心率为A．3 B． C．2 D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形，其中，为正八边形的中心，则A． B． C． D．（多选）10．（6分）已知数列的通项公式为，前项和为，则A．既有最小项，也有最大项 B．使的的值共有5个 C．满足的的值共有5个 D．使取得最小值的的值为4（多选）11．（6分）如图（1），在长方形中，，，，分别为，的中点，连接，，分别交于点，，将△沿直线折起到△的位置，如图（2），则下列说法正确的是A．在翻折的过程中，恒有平面 B．若为直线上一点，则点到直线的最短距离为 C．当二面角的大小为时， D．当平面平面时，三棱锥外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若函数（1），则曲线在点，（1）处的切线方程为．13．的展开式中，常数项为．14．已知函数满足，且在上有且仅有一个极值点，则．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）记△的内角，，的对边分别为，，，已知．（Ⅰ）证明：，，成等差数列；（Ⅱ）求的最大值．16．（15分）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）证明：平面；（Ⅲ）若，，且二面角的余弦值为，求的长．17．（15分）已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围．18．（17分）某学校有，，三个学生餐厅，高一新生王同学在开学第一天随机选择一个餐厅就餐，若前一天在餐厅就餐，则当天还在餐厅就餐的概率为，若前一天在餐厅就餐，则当天在餐厅就餐的概率为，若前一天在餐厅就餐，则当天在餐厅就餐的概率为．（Ⅰ）求王同学第二天在餐厅就餐的概率；（Ⅱ）求王同学第天在餐厅就餐的概率；（Ⅲ）以王同学在，，餐厅就餐的概率估计高一新生在，，餐厅就餐的概率，若餐厅当天就餐人数比前一天就餐人数增加的比例不超过5‰，则称就餐人数趋于稳定，试判断餐厅从第几天开始就餐人数趋于稳定．19．（17分）已知椭圆的离心率为为上一点．（Ⅰ）求的方程．（Ⅱ）过的右焦点的直线与交于，两点，记△为坐标原点）的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线，的斜率分别为，．求的取值范围；求证：为定值．

2025年山西省晋中市高考数学适应性试卷（5月份）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BDCABDCB二．多选题（共3小题）题号91011答案ACDADABD一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，1，2，3，，，则A．，1， B．， C．，2， D．解：因为集合，，1，2，3，，所以，．故选：．2．已知复数满足为虚数单位），则的虚部为A． B． C． D．解：由，得，则的虚部为．故选：．3．已知圆的一般方程为，则圆的圆心坐标为A． B． C． D．解：将圆化成标准方程，可得，所以圆的圆心为，半径．故选：．4．已知是公差为1的等差数列，是其前项和，若，则A．1 B．2 C． D．解：因为是公差为1的等差数列，，所以，所以，即，所以．故选：．5．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，则经过3次移动后，该质点位于1处的概率为A． B． C． D．解：质点从原点出发，移动到1处时，向左移动了一次，向右移动了两次，记向左移动的次数为，则，即经过3次移动后，该质点位于1处的概率为．故选：．6．下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是A． B． C． D．解：对，，由图形的对称性，易得平均数等于中位数，所以，选项错误；对，因为频率分布直方图向左拖尾，所以平均数小于中位数，所以错误；对于选项，因为频率分布直方图向右拖尾，所以平均数大于中位数，所以正确．故选：．7．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则A． B． C． D．解：根据题意，定义在上的奇函数满足，则有，变形可得，则有，故是周期为4的周期函数，当时，，则．故选：．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与的一条渐近线平行的直线交于点，若为坐标原点），则的离心率为A．3 B． C．2 D．解：设的半焦距为，过点且与的一条渐近线平行的直线交于点，由，可知△为直角三角形，因为所在直线与平行，为锐角，所以，即，又，联立解得，又，则，所以，，又由双曲线的定义可得，则，所以，，则的离心率．故选：．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形，其中，为正八边形的中心，则A． B． C． D．解：正八边形，其中，为正八边形的中心，对于选项，根据相反向量和平面向量减法法则可得，故选项正确；对于选项，如图，连接交于点，可知为的中点，根据中点向量可得，故选项错误；对于选项，在△中，易知，且，所以，，由二倍角公式可得，故选项正确；对于选项，连接，则，所以，故选项正确．故选：．（多选）10．（6分）已知数列的通项公式为，前项和为，则A．既有最小项，也有最大项 B．使的的值共有5个 C．满足的的值共有5个 D．使取得最小值的的值为4解：根据题目：已知数列的通项公式为，前项和为，令，易知在，上单调递减，所以当时，，时，，又由，知，，对于，由上述分析知数列有最小项，且有最大项，故正确；对于，由，知，又，所以或或或，所以使的的值共有4个，故错误；对于，要使，又，所以，，中有1个负数或3个负数，所以或或，故满足的的值共有3个，故错误；对于，因为时，，时，，所以当时，取得最小值，故正确．故选：．（多选）11．（6分）如图（1），在长方形中，，，，分别为，的中点，连接，，分别交于点，，将△沿直线折起到△的位置，如图（2），则下列说法正确的是A．在翻折的过程中，恒有平面 B．若为直线上一点，则点到直线的最短距离为 C．当二面角的大小为时， D．当平面平面时，三棱锥外接球的表面积为解：在长方形中，，，，分别为，的中点，计算可得，，易知△△，又，所以，则，，所以，所以，同理可得．对于选项，由上述过程可知在翻折的过程中，，而，因为，，平面，所以平面，故选项正确；对于选项，与同理可得平面，因为平面，所以，由平面，平面，可得，所以为，的公垂线段，所以点到直线的最短距离为，而，故选项正确；对于，因为二面角的大小为，则，又因为，所以，所以，故选项错误；对于选项，因为△和△都是直角三角形，且为公共边，所以的中点为其所在三角形的外心，同时也是三棱锥外接球的球心，所以外接球半径，所以三棱锥外接球的表面积，故选项正确．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若函数（1），则曲线在点，（1）处的切线方程为．解：因为（1），所以（1），所以（1）（1），所以（1），所以，所以（1），所以所求切线方程为，即．故答案为：．13．的展开式中，常数项为10．解：因为，又的展开式的通项为，则的展开式中常数项为．故答案为：10．14．已知函数满足，且在上有且仅有一个极值点，则．解：由题意函数满足，且在上有且仅有一个极值点，设函数的最小正周期为，结合三角函数的图象与性质可知，所以，即，解得．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）记△的内角，，的对边分别为，，，已知．（Ⅰ）证明：，，成等差数列；（Ⅱ）求的最大值．解：（Ⅰ）证明：由题意可得，整理得，①因为，所以，②将②代入①，得，所以，故，，成等差数列，得证；（Ⅱ）由题意，当且仅当时，等号成立，由，可得，所以的最大值为．16．（15分）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）证明：平面；（Ⅲ）若，，且二面角的余弦值为，求的长．解：（Ⅰ）证明：如图，取的中点，连接，，则，，又，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（Ⅱ）因为，，所以，又因为，，且、平面，所以平面；（3）由，，可知，所以．故，，两两垂直，所以可以为坐标原点，建立如上图所示的空间直角坐标系，设，则，0，，，0，，，1，，，0，，，所以，，，设平面的法向量为，则，则，即，令，得，，所以，设平面的法向量为，则，则，即，令，得，，所以，设二面角的大小为（由题可知为锐角），则，解得，所以的长为1．17．（15分）已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围．解：（1）的定义域为，又导函数，令，得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增，因此函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）根据对任意恒成立，得对任意恒成立，所以对任意恒成立．令函数，那么有，显然函数为增函数，可得，那么，因此．根据第一问可知（1），因此，所以，．18．（17分）某学校有，，三个学生餐厅，高一新生王同学在开学第一天随机选择一个餐厅就餐，若前一天在餐厅就餐，则当天还在餐厅就餐的概率为，若前一天在餐厅就餐，则当天在餐厅就餐的概率为，若前一天在餐厅就餐，则当天在餐厅就餐的概率为．（Ⅰ）求王同学第二天在餐厅就餐的概率；（Ⅱ）求王同学第天在餐厅就餐的概率；（Ⅲ）以王同学在，，餐厅就餐的概率估计高一新生在，，餐厅就餐的概率，若餐厅当天就餐人数比前一天就餐人数增加的比例不超过5‰，则称就餐人数趋于稳定，试判断餐厅从第几天开始就餐人数趋于稳定．解：（Ⅰ）记第天去，，餐厅就餐的概率分别为，，，，由全概率公式可得：，所以王同学第二天在餐厅就的概率为．（Ⅱ）由题可知，当时，，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以王同学第天在餐厅就餐的概率为．（Ⅲ）由（Ⅱ）的计算可知，，，，，，，，，所以餐厅从第5天开始就餐人