2025年高考数学真题分类汇编专题04 等式不等式（全国）（解析版）

2025年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题04等式与不等式一、单选题1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.【详解】即为即，故，故解集为，故选：C.2．（2025·北京·高考真题）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由基本不等式结合特例即可判断.【详解】对于A,当时，，故A错误；对于BD，取，此时，，故BD错误；对于C，由基本不等式可得，故C正确.故选：C.二、填空题3．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为．【答案】【分析】转化为一元二次不等式，解出即可.【详解】原不等式转化为，解得，则其解集为.故答案为：.4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为．【答案】4【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.【详解】易知，当且仅当，即时取得最小值.故答案为：45．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为【答案】【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.【详解】设，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的，，不妨代入，得，得，当时，原不等式可化为，即，观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，此时，，说明时，均可取到，满足题意，故的最小值为.故答案为：一、单选题1．（2025·四川德阳·二模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分别解分式不等式和一元二次不等式求出集合，再求两集合的交集即可.【详解】由，得，解得，所以，由，得，解得，所以，所以.故选：D2．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项.【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错；对于B选项，不妨设，，，则，B错；对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对；对于D选项，不妨设，，，则，D错.故选：C.3．（2025·山东菏泽·二模）已知，，且，则的最大值为（

）A． B．1 C．4 D．16【答案】B【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解.【详解】，当且仅当，即时取等号，故选：B4．（2025·广东汕头·三模）已知，，，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号.故选：C5．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（

）A． B．9 C． D．13【答案】C【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】由，则，即，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.故选：C.6．（2025·湖南·三模）已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得出，且，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】由题意可知，，且有，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：A.7．（2025·四川攀枝花·三模）已知，下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据函数的单调性判断D.【详解】对于A：当，，满足，但是，故A错误；对于B：当，，满足，但是，故B错误；对于C：若，，满足，但是，故C错误；对于D：因为与在上单调递增，所以在上单调递增，若，则，所以，故D正确.故选：D8．（2025·重庆·三模）已知，则的最大值为（

）A．6 B．-6 C．8 D．-8【答案】B【分析】本题主要考查代数最值的求解方法，涉及代数式的变形、均值不等式应用.【详解】由，两边除以，得：，目标为求的最大值，的最大值，即求的最小值，将结合变形为：展开计算：，由均值不等式，令，则：，因此：(当且仅当即时取等号).目标式最大值：.故选：B.二、多选题9．（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分三种情况讨论即可判断.【详解】对于A，，因为，所以，即，所以，故A正确；对于B，取，此时，故B错误；对于C，取，则，故C错误，对于D，若，则显然成立，若，则成立，若，则成立，综上所述，只要，就一定有，故D正确.故选：AD.10．（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由题意可得，利用不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可.【详解】由题意可得，A项:由单调递增，知，故选项A正确；B项:时选项B不正确；C项:由，则，当且仅当时等号成立，∵，∴等号不成立，故选项C正确；D项:构造函数，，∴单调递增，又，得，故选项D不正确．故选:AC．11．（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．的最小值为1C．若，则的最小值为8D．若恒成立，则的最小值为【答案】AC【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可.【详解】对于A，，当且仅当时取等号，即，得到，解得．故A正确；对于B，，当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误；对于C，因为，所以，由基本不等式得，当且仅当时取等，此时解得，则的最小值为8，故C正确，对于D，因为恒成立，且，，所以恒成立，而，令，则可化为，令，则，化简得，而该一元二次方程一定有实数根，得到，解得，当时，，故，故即，得到，则的最小值为，故D错误.故选：AC三、填空题12．（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是.【答案】【分析】根据分式不等式解法求解即可.【详解】因为，解得且，即，所以不等式的解集是.故答案为：13．（2025·北京·三模）不等式的解集为.【答案】【分析】先化不等式为，根据分式的符号得到不等式等价于，解不等式组即可求解.【详解】由得，即，整理得：，即，即，解得或，故不等式的解集为.故答案为：14．（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为.【答案】【分析】由得，根据基本不等式得，即可求得的最小值.【详解】因为，，，所以，因为，所以，当且仅当即（负值舍去），等号成立，此时，整理得，解得，（不符合题意舍去），即当，时，有最小值为.故答案为：15．（2025·江西·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为.【答案】【分析】利用分类讨论思想，分和两种情况，第一种情况直接解不等式，结合反比例函数,可得答案；第二种情况利用数形结合思想，结合题意建立不等式组，可得答案.【详解】当时，由，可得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，此时不存在；当时，由对任意的恒成立，作出的大致图象，如图所示：由题意可知，又是整数，所以或或.故答案为：.专题04等式与不等式一、单选题1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.【详解】即为即，故，故解集为，故选：C.2．（2025·北京·高考真题）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由基本不等式结合特例即可判断.【详解】对于A,当时，，故A错误；对于BD，取，此时，，故BD错误；对于C，由基本不等式可得，故C正确.故选：C.二、填空题3．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为．【答案】【分析】转化为一元二次不等式，解出即可.【详解】原不等式转化为，解得，则其解集为.故答案为：.4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为．【答案】4【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.【详解】易知，当且仅当，即时取得最小值.故答案为：45．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为【答案】【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.【详解】设，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的，，不妨代入，得，得，当时，原不等式可化为，即，观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，此时，，说明时，均可取到，满足题意，故的最小值为.故答案为：一、单选题1．（2025·四川德阳·二模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分别解分式不等式和一元二次不等式求出集合，再求两集合的交集即可.【详解】由，得，解得，所以，由，得，解得，所以，所以.故选：D2．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项.【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错；对于B选项，不妨设，，，则，B错；对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对；对于D选项，不妨设，，，则，D错.故选：C.3．（2025·山东菏泽·二模）已知，，且，则的最大值为（

）A． B．1 C．4 D．16【答案】B【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解.【详解】，当且仅当，即时取等号，故选：B4．（2025·广东汕头·三模）已知，，，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号.故选：C5．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（

）A． B．9 C． D．13【答案】C【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】由，则，即，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.故选：C.6．（2025·湖南·三模）已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得出，且，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】由题意可知，，且有，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：A.7．（2025·四川攀枝花·三模）已知，下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据函数的单调性判断D.【详解】对于A：当，，满足，但是，故A错误；对于B：当，，满足，但是，故B错误；对于C：若，，满足，但是，故C错误；对于D：因为与在上单调递增，所以在上单调递增，若，则，所以，故D正确.故选：D8．（2025·重庆·三模）已知，则的最大值为（

）A．6 B．-6 C．8 D．-8【答案】B【分析】本题主要考查代数最值的求解方法，涉及代数式的变形、均值不等式应用.【详解】由，两边除以，得：，目标为求的最大值，的最大值，即求的最小值，将结合变形为：展开计算：，由均值不等式，令，则：，因此：(当且仅当即时取等号).目标式最大值：.故选：B.二、多选题9．（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分三种情况讨论即可判断.【详解】对于A，，因为，所以，即，所以，故A正确；对于B，取，此时，故B错误；对于C，取，则，故C错误，对于D，若，则显然成立，若，则成立，若，则成立，综上所述，只要，就一定有，故D正确.故选：AD.10．（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由题意可得，利用不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可.【详解】由题意可得，A项:由单调递增，知，故选项A正确；B项:时选项B不正确；C项:由，则，当且仅当时等号成立，∵，∴等号不成立，故选项C正确；D项:构造函数，，∴单调递增，又，得，故选项D不正确．故选:AC．11．（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．的最小值为1C．若，则的最小值为8D．若恒成立，则的最小值为【答案】AC【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可.【详解】对于A，，当且仅当时取等号，即，得到，解得．故A正确；对于B，，当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误；对于C，因为，所以，由基本不等式得，当且仅当时取等，此时解得，则的最小值为8，故C正确，对于D，因为恒成立，且，，所以恒成立，而，令，则可化为，