（人教A版）必修一数学高一上册第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末总结+单元检测（解析版）

第二章一元二次函数、方程和不等式章末总结第一部分：本第一部分：本章知识框架第二部分：第二部分：典型例题剖析重点题型一：不等关系和不等式性质的认知1．若，c为实数，则下列不等关系不一定成立的是（

）．A．B．C．D．【答案】AA选项中，若，则不成立；B选项中，，所以，成立；由不等式的可乘方性知选项C正确；由不等式的可加性知选项D正确．故选：A2．若，则的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】A，又，则，则，又，则，则综上，故选：A3．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】D若，则由可得，，，因为，，所以.故选：D4．如果那么下列说法正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D因为，不等式两边同时减去得，D正确，若，则AB错误，若，C错误．故选：D．5．如果，则有（用“>”或“<”填空）：（1）______；

（2）______．（3）______；

（4）______1．【答案】

>

>

>

<（1）由可得；（2），，，即；（3），，；（4），，即.故答案为：>；>；>；<.6．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)如果，那么；(2)若，，则；(3)若，则；(4)若，，则．【答案】(1)成立，理由见解析；(2)成立，理由见解析；(3)不成立，理由见解析；(4)不成立，理由见解析；(1)，，，故成立.(2)，,,即.(3)取时，满足，但是不成立.(4)取，满足，，但是不成立.重点题型二：一元二次（分式）不等式1．求下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)；【答案】(1)；(2)；(3).(1)解：解得：不等式解集为：.(2)解：，整理得：即解得：不等式解集为：.(3)解：，整理得：，故不等式再实数范围内无解不等式解集为：.2．求下列不等式的解集．(1)；(2)【答案】(1)(2)(1)即，故，解得，故的解集为(2)即，即，即，解得或，故解集为3．解不等式：(1)；(2).【答案】(1)；(2).(1)不等式，可化为，解得或，不等式的解集为；(2)不等式，可化为，等价于，解得，不等式的解集为.4．求解下列不等式(1)求不等式的解集．(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)(1)不等式可变形为，解得或，所以不等式的解集为；(2)不等式可变形为，即且，解得，所以不等式的解集为．5．解下列不等式（1）；

（2）；

（3）．【答案】（1）；（2）或；（3）或.解：（1）不等式等价于，所以，所以的解集为；（2）不等式等价于，即，解得或.所以的解集为或.（3）不等式，解不等式组得或.所以的解集为或.6．求下列不等式的解集．（1）；（2）【答案】（1）；（2）解：（1）原不等式可化为：；即，解得或；故原不等式的解集为．（2）原不等式可化简为：，即则，解得故原不等式的解集为．重点题型三：基本不等式及其应用角度1：利用基本不等式求函数和代数式的最值1．已知.(1)求ab的最大值；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)(1)因为，，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以ab的最大值为.(2)因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.2．证明：（1）；（2）.（1），当且仅当时，即时，等号成立.（2），当且仅当时取等号，此时，显然的值不存在，所以等号不成立，所以.3．求函数的最小值.【答案】5因为，所以，所以，当且仅当即时取等号，此时取得最小值5.4．（1）已知，求的最小值；（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．【答案】（1）7；（2）.（1）∵，即，，当且仅当，即时取等号，∴的最小值为7．，，．当且仅当，即，时取等号．∴的最小值为.5．已知，求函数的最小值，并说明当为何值时取得最小值.【答案】最小值为4，当时取得最小值因为，所以.当且仅当时取等号..因为，所以.所以为何值时取得最小值4.6．已知，求函数的最小值．【答案】6解：∵，∴，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为6.7．已知，求的最小值．甲、乙两位同学的解答过程分别如下：甲同学的解答：因为，所以．上式中等号成立当且仅当，即，解得（舍）．当时，．所以当时，的最小值为2．乙同学的解答：因为，所以．上式中等号成立当且仅当，即，解得（舍）．所以当时，的最小值为．以上两位同学写出的结论一个正确，另一个错误．请先指出哪位同学的结论错误，然后再指出该同学解答过程中的错误之处，并说明错误的原因．【答案】见解析甲同学的解答是错误的，不对，不满足基本不等式：“一正二定三相等”中，“定”的要求，即积不是定值，不可以这样求解.8．已知，求的最小值.【答案】，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，当时，函数取最小值.9．已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值．【答案】当时，y取得最大值4当时，，因此．由均值不等式可得，从而，即．当且仅当，即时，等号成立．从而时，y取得最大值4．角度2:应用“1”的代换转化为基本不等式求最值1．已知正实数a，b满足，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】C∵，∴，当且仅当,即，时，取等号.故选：C.2．已知，则的最小值为（

）A．13B．19C．21D．27【答案】D由题意得，当且仅当即时等号成立．故选：D3．若正实数满足，则的最小值为___________.【答案】，当且仅当时，即时，的最小值为.故答案为：.4．已知，，且，则的最小值为__________.【答案】因为，所以当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故答案为：5．已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．【答案】17因为，当且仅当，即时等号成立，所以．故答案为：176．若，，且，则的最小值为__________．【答案】3∵，，且，∴＝，当且仅当时等号成立.故答案为：3.7．（1）已知，求的最小值；（2）已知，且，证明：．【答案】（1）8；（2）证明见解析．解：（1）因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立．所以最小值8．（2）因为，得．则．所以成立，当且仅当，时等号成立，所以.角度3：含有多个变量的条件最值问题1．若，，且，则的最小值为（

）A．9B．16C．49D．81【答案】D由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．故选：D2．若正实数满足，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】D由可得，因为，，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，解得：，所以，当且仅当即时等号成立，的最小值为.故选：D.3．若，且，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】D因为，所以，所以，当且仅当，等号成立，所以的最小值为.故选：D.4．已知a，b为正实数，且，则的最小值为_______．【答案】解：因为、且，所以当仅当时取等号，即解得或（舍去），当且仅当、时取等号；故答案为：5．已知则的最小值是_______．【答案】6由题意，，所以当且仅当时取“=”.故答案为：6.6．已知，，且，则的最小值是___________.【答案】由，可得，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是，故答案为：.重点题型四：与基本不等式有关的恒成立问题1．已知不等式对任意正实数，恒成立，则正实数的最小值为______.【答案】4，，当且仅当时等号成立.由恒成立的条件知，即，解得或（舍去）..则正实数的最小值为4.2．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________.【答案】.，，且，在等式两边同时除以得，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，由于不等式恒成立，则，即，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为.3．已知，且，若恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】∵，且，∴1016，当且仅当y＝3x＝时取等号．∵不等式恒成立⇔（）min≥a．∴，即实数的最大值为16，故答案为16．4．若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是__________．【答案】∵，∴．由题意得，当且仅当，即时等号成立．∴，∴实数的取值范围是．5．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】当时，不等式恒成立，等价于：当时，恒成立又∴故答案为6．设正实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是________.【答案】−2<m<4正实数x，y满足x+2y=xy，∴，，当且仅当x=2y，即x=4，y=2时等号成立．不等式m2−2m<x+2y恒成立，即m2−2m<8恒成立，解得−2<m<4；∴实数m的取值范围是−2<m<47．若不等式在时恒成立，则实数m的最大值为________．【答案】，，当且仅当，即时取“=”，所以．重点题型五：不等式与实际问题的关联1．如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.【答案】每个区域的长和宽分别是m和m时，彩带总长最小，最小值为m解：设每个区域的长为，宽为，由题意得，，，则彩带总长==，当且仅当，即且等号成立，所以每个区域的长和宽分别是和时，彩带总长最小，最小值为.2．某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x（单位：万件）与年促销费用（单位：万元）满足（k为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.(1)将2021年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m的函数；(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？(3)若该厂家2021年的促销费用不高于2万元，则当促销费用为多少万元时，该厂家的利润最大？【答案】(1)；(2)；(3)2.(1)由题意可知：当时，（万件），，解得：，，又每件产品的销售价格为，年利润；(2)因为，当时，（当且仅当，即时取等号），此时年利润（万元）；该厂家年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大，最大为万元.(3)因为，当时函数为增函数，故当时，（万元），故当促销费用为2万元时，该厂家的利润最大.3．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，点C在MN上，米，米．(1)要使扩建成的花坛面积大于27米，则AN的长度应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积．【答案】(1)或(2)当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24米(1)解：设，则．∽，，即，解得．花坛AMPN的面积．由，得，则，解得或，故AN的长度范围是或．(2)由，当且仅当，即时，等号成立．当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24米．4．物联网（InternetofThings，缩写：IOT）是基于互联网､传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络.其应用领域主要包括运输和物流､工业制造､健康医疗､智能环境（家庭､办公､工厂）等，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元），仓库到车站的距离x（单位：千米，），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站9千米处建仓库，则和分别为2万元和7.2万元.(1)求出与的解析式；(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？【答案】(1)，(2)把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元(1)设，，其中，当时，，.解得，，所以，.(2)设两项费用之和为z（单位：万元）则,当且仅当，即时，“”成立，所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元.5．如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽，苗圃与通道之间由栅栏隔开．(1)若苗圃面积，求栅栏总长的最小值；(2)若苗圃带通道占地总面积为，求苗圃面积的最大值．【答案】(1)200米(2)4608平方米(1)设苗圃的两边长分别为a，b（如图），则，，当且仅当即时取“=”，故栅栏总长的最小值为200米．(2)，而，故，令，则，因式分解为，解得，所以，，当且仅当，即时取“=”，故苗圃面积的最大值为4608平方米．6．2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．消耗A材料总重量为y千克，那么要使生产1000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少．【答案】工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6000千克由题意，得，即，生产千克该产品需要的时间是，所以生产千克该产品消耗的A材料为，当且仅当，即时，等号成立，故工厂应选取千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为千克．7．出版社出版某一读物，1页上所印文字占去，上、下边要留1.5cm空白，左、右两侧要留1cm空白，出版商为降低成本，应选用怎样尺寸的纸张？【答案】纸张满足长为12，宽为18.设文字的区域长为，则宽为则纸张的长为，宽为则纸张的面积为当且仅当,即，时等号成立，此时的纸张的长为12，宽为18.所以应选择的纸张满足长为12，宽为18.第三部分：第三部分：数学思想与方法函数与方程的思想1．已知关于x的不等式的解集为或（）.求a，b的值；【答案】(1)解：因为不等式的解集为或（），所以1和a是方程的两个实数根且，所以，解得；2．已知关于的不等式.(1)若不等式的解集为，求实数、的值；(2)若，求此不等式的解集.【答案】(1)，；(2)答案见解析(1)解：由题意可知，关于的方程的两根分别为、，所以，，由韦达定理可得，解得.(2)解：因为，原不等式即为.当时，原不等式即为，解得；当时，方程的两个根分别为、.①当时，解不等式可得或；②当时，若时，即，即时，解不等式可得；若时，即当时，原不等式即为，即，原不等式的解集为；若时，即，即当时，解不等式可得.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或.3．已知函数，其中.若不等式的解集是，求m的值；【答案】(1)－1；的解集是，得到的解集是，所以，，所以，4．已知函数.(1)若关于的不等式的解集为，求的值；(2)若，解关于的不等式.【答案】(1)(2)时，解集为；时，解集为；时，解集为或(1)的解集为，和是方程的两个根，∴，解得：.(2)不等式，可化为：.当时，原不等式即为，．当时，原不等式化为，或.当时，原不等式为，可化为因，．综上，时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为或5．已知关于的不等式(1)若不等式的解集为，则实数的值；【答案】(1)；(2)答案见解析.(1)不等式，依题意，是方程的二根，且，因此，，解得，所以实数的值是.分类讨论思想1．已知函数,解关于的不等式【答案】(1)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；∴当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；2．解下列关于x的不等式(1)；(2)；(3)；【答案】(1)(2)答案见解析(3)答案见解析(1)解：因为，即，所以，解得∴原不等式的解集为.(2)解：因为，若，即，解得或，当时，原不等式即为，所以原不等式的解集为；当时，原不等式即为，所以原不等式的解集为；当，即，解得时，所以原不等式的解集为；当，即，解得或时，方程有两不相等实数根、，由，解得或，所以原不等式的解集为；(3)解：因为，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．3．解关于的不等式(1)(2)时，【答案】(1)(2)答案见解析(1)移项得：，合并得，等价于，即，解得：.所以不等式的解集为:.(2)移项得：，则化为对应的方程的两根为，当时，，解得.当时，，原不等式无解.当时，，解得.综上所述：当时，原不等式的解集为.当时，原不等式的解集为空集.当时，原不等式的解集为.4．已知函数.,解关于x的不等式【答案】(1)答案见解析；当时，，不等式的解集为；当时，由可得；方程的根为，2，当时，，不等式的解集为}；当时,当时，即，不等式的解集为；当时，即，不等式的解集为或}；当时，即，不等式的解集为或.化归与转化的思想1．已知函数．(1)若关于的不等式的的解集是，求，的值；(2)设关于不等式的在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)(1)根据二次不等式的解集与系数的关系可得和是方程的两根，故，解得，由韦达定理有，解得.故，(2)在上恒成立，即恒成立.当时满足题意，当时，恒成立，因为，当且仅当时取等号.故，即的取值范围为.2．已知函数；(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值；(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，；(2).(1)由题意知：1和是的两根，故，，即，.(2)存在，使得成立，即存在，使得成立，即存在，使得成立，当时，，当且仅当时取等号，故，可得．即实数的取值范围为.3．已知函数．(1)若不等式的解集是实数集，求的取值范围；(2)若不等式的解集是实数集，求的取值范围；【答案】(1)(2)(1)解：因为不等式的解集是实数集，所以，对恒成立，当a=0时，，不成立，当时，，解得．综上：的取值范围是．(2)因为不等式的解集是实数集，所以不等式对恒成立当a=0时，，不成立，当时，，解得．综上：的取值范围是．第二章一元二次函数、方程和不等式章节验收测评卷一、单选题1．若，，则（

）A．B．C．D．【答案】D对于选项A：当时，不等式，故A不正确；对于选项B：当时，，故B不正确；对于选项C：当时，，故C不正确；对于选项D：因为，所以，故D正确．故选：D．2．设，，则有（

）A．P>QB．P≥QC．P<QD．P≤Q【答案】B，故，故选：B.3．不等式的解集为（

）A．或B．C．D．或【答案】D不等式可化为，因为方程的两个根为-6和1，所以不等式的解集为或，因此原不等式的解集为或故选：D．4．不等式的解集为，则a，c的值为（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C不等式的解集为所以是方程的两个实数根，所以，则故选：C5．如果,那么的最小值为（

）A．2B．3C．4D．5【答案】C解:因为,所以,当且仅当,即时等号成立.故的最小值为.故选:C6．的最大值为（

）A．9B．C．3D．【答案】B＝＝＝，由于，所以当时，有最大值，故选：B.7．已知实数满足，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】B由题设，，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：B8．若，则函数有（

）A．最小值B．最大值C．最小值D．最大值【答案】C解：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以函数有最小值，无最大值，故选：C.二､多选题9．以下结论正确的是（

）A．B．的最小值为2C．若a2+2b2＝1，则D．若a+b＝1，则【答案】AC【详解】对于A，，当且仅当x2＝1时等号成立，故A正确，对于B，，当且仅当时等号成立，但，故B错误，对于C，，当且仅当a2＝﹣1，b2＝时等号成立，故C正确，对于D，当a＞0，b＞0，a+b＝1时，，但a+b＝1，不一定a＞0，b＞0，故D错误.故选：AC.10．已知关于的不等式,关于此不等式的解集有下列结论,其中正确的是A．不等式的解集可以是B．不等式的解集可以是C．不等式的解集可以是D．不等式的解集可以是E．不等式的解集可以是，或【答案】BD在A中,依题意得,且,解得,此时不等式为,解得,故A错误；在B中,取,,得,解集为,故B正确；在C中,当时,,知其解集不为,C错误；在D中,依题意得,且解得符合题意,故D正确；在E中,依题意得,且解得不符合题意,故E错误.因此选BD.故选：11．对于正数，，且，若恒成立，则可以为（

）A．3B．C．2D．1【答案】BCD因为对于正数，，满足，所以恒成立化为，恒成立，又因为，，当时等号成立，所以，选项BCD都符合题意，故选：BCD.三､填空题：12．已知正实数、满足，则的最小值是___________.【答案】##因为正实数、满足，则，由可得，所以，.当且仅当时，等号成立.因此，的最小值是.故答案为：.13．记关于x的不等式的解集为A，集合，若，则实数a的取值范围为___________.【答案】解：原不等式可变形为，当，即时，，满足题意；当，即时，，所以，解得，所以；当，即时，，所以，解得.综上可得，即；故答案为：14．设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是___________，全部不等式的整数解的和为___________.【答案】

-2或-1##-1或-2

-10若，则原不等式为，即，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故.设，其图象为抛物线，对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解，所以，即，所以，又，所以或，若，则不等式为，解得，因为为整数，所以；若，则不等式为，解得，因为为整数，所以.所以全部不等式的整数解的和为.故答案为：-2或-1；-10.四、解答题15．求a，b的值，使关于x的不等式的解集分别是：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)，(3)，(1)由题意可知，，且－1，2是方程的根，所以解得(2)由题意可知，2是方程的根，所以．