11.3.1两数和乘以这两数的差课件华东师大版数学八年级上册

第1页：封面主标题：用加粗宋体呈现“11.3.1两数和乘以这两数的差”，字体颜色为深蓝色，下方用小字标注“——特殊多项式乘法的探究与应用”。副标题：华东师大版

八年级上册

数学署名：授课教师：XXX授课日期：XXX背景：浅灰色渐变背景，左侧绘制几何图形（边长为a的大正方形，在一角挖去边长为b的小正方形，剩余部分可分割为两个长方形，用于推导平方差公式），标注“(a+b)(a-b)=a²-b²”，右侧点缀运算示例（如(3+2)(3-2)、(x+y)(x-y)），下方添加“生活中的应用：土地面积计算（大正方形土地边长a，被小正方形池塘占据一角边长b，求剩余土地面积）、价格波动利润计算（原价a，价格波动b，销量不变，求利润变化）”小图标，营造数学探究氛围。第2页：学习目标知识与技能：理解两数和乘以这两数的差的公式结构（(a+b)(a-b)=a²-b²），掌握公式推导过程；能熟练运用公式进行简单整式乘法运算，准确识别公式中的a和b；能运用公式解决实际问题，如面积计算、数量关系分析等，体会公式在简化运算中的优势。过程与方法：通过“几何图形面积推导→代数运算推导→公式归纳总结”的过程，培养逻辑推理与数学抽象能力；借助对比练习（普通多项式乘法与平方差公式应用对比），提升对公式特征的敏感度与运算方法的选择能力。情感态度与价值观：感受从特殊到一般的数学探究乐趣，激发对数学规律的探索热情；在运用公式解决问题中，体会数学的简洁美与实用性，增强学习数学的自信心。第3页：情境导入——从“土地规划”到“数学思考”标题：“思考：如何快速计算不规则土地的有效面积？”情境呈现：展示几何模型：一块边长为a的正方形土地，在一角被一个边长为b的正方形池塘占据（a>b）。提问1：“用两种方法表示剩余土地的面积：①整体相减；②分割计算。”引导学生得出：①整体相减，剩余面积=大正方形面积-小正方形面积=a²-b²；②分割计算，将剩余部分分割为两个长方形，长分别为a和b，宽都为(a-b)，则剩余面积=(a+b)(a-b)。提问2：“从这两种面积表示方法中，你能发现什么数学关系？”（引导学生猜想(a+b)(a-b)=a²-b²）过渡引导：“通过土地面积的计算，我们得到了一个有趣的等式猜想。接下来，我们从代数运算的角度来验证它是否成立，探索两数和乘以这两数的差的运算规律。”设计：大正方形和小正方形用不同颜色区分，清晰标注边长a和b，分割后的长方形标注长和宽，直观展示面积关系，为公式推导做铺垫。第4页：新知探究1——公式推导（几何与代数双角度验证）标题：“公式推导：深入理解平方差公式的本质”推导过程：代数推导（基于多项式乘法法则）：运用多项式与多项式相乘法则，计算(a+b)(a-b)：先用(a+b)的每一项乘(a-b)的每一项，即(a+b)(a-b)=a×a+a×(-b)+b×a+b×(-b)；再进行单项式乘法运算，得到a²-ab+ab-b²；最后合并同类项，-ab与ab相互抵消，结果为a²-b²。所以，(a+b)(a-b)=a²-b²。几何验证（回顾面积模型）：再次展示土地面积模型，强调通过整体相减和分割求和两种方式得到的面积表达式相等，即(a+b)(a-b)=a²-b²，从几何直观角度验证公式的正确性。公式定义与特征总结：定义：“两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。用公式表示为(a+b)(a-b)=a²-b²，这个公式称为平方差公式。”特征分析：公式左边是两个二项式相乘，其中一项完全相同（都是a），另一项互为相反数（b与-b）；公式右边是相同项的平方减去相反项的平方。关键强调：“运用平方差公式的关键在于准确识别公式中的a和b，相同项为a，互为相反数的项为b。计算时，直接套用公式，先确定平方项，再求差，注意运算顺序和符号。”小练习：“判断下列式子能否用平方差公式计算，若能，指出a和b：①(2x+3y)(2x-3y)；②(x-5)(x+5)；③(3-a)(3+a)”（答案：①能，a=2x，b=3y；②能，a=x，b=5；③能，a=3，b=a），强化对公式特征的理解。第5页：新知探究2——公式应用与变形标题：“灵活运用：平方差公式的多样应用场景”直接应用公式（基础运算）：例题1：计算(5+3)(5-3)解题步骤：分析：这里a=5，b=3，直接套用平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²。计算：(5+3)(5-3)=5²-3²=25-9=16。例题2：计算(2m+n)(2m-n)解题步骤：分析：此式中a=2m，b=n。计算：(2m+n)(2m-n)=(2m)²-n²=4m²-n²。公式变形应用（拓展运算）：类型1：位置变化例题3：计算(-3+x)(x+3)解题步骤：分析：将式子变形为(x-3)(x+3)，此时a=x，b=3。计算：(x-3)(x+3)=x²-3²=x²-9。类型2：符号变化例题4：计算(-a-b)(-a+b)解题步骤：分析：变形为[(-a)-b][(-a)+b]，这里a=-a，b=b。计算：[(-a)-b][(-a)+b]=(-a)²-b²=a²-b²。类型3：系数变化例题5：计算(3x+2y)(3x-2y)解题步骤：分析：a=3x，b=2y。计算：(3x+2y)(3x-2y)=(3x)²-(2y)²=9x²-4y²。总结技巧：“对于各种变形形式，关键是通过适当调整，将式子转化为平方差公式的标准形式(a+b)(a-b)，准确确定a和b，再进行计算。注意系数、符号和位置的变化，灵活运用公式。”第6页：例题讲解——综合运用与实际问题解决标题：“例题解析：从理论到实践的跨越”例题1（综合运算：平方差公式与整式加减结合）：题目：计算(3x+2)(3x-2)-(x-1)(x+1)解题步骤：分别运用平方差公式计算两个乘积：(3x+2)(3x-2)=(3x)²-2²=9x²-4；(x-1)(x+1)=x²-1²=x²-1。进行整式减法运算：(9x²-4)-(x²-1)=9x²-4-x²+1。合并同类项：(9x²-x²)+(-4+1)=8x²-3。答：结果为8x²-3。强调：“在综合运算中，要按照先乘除后加减的顺序，准确运用平方差公式，再进行整式的加减运算，注意去括号时的符号变化。”例题2（实际应用：价格与销量变化下的利润计算）：题目：某商品原价为每件x元，销量为m件。商家为促销，将价格降低a元，同时销量增加b件。求利润变化情况（利润=单价

×

销量）。解题步骤：计算降价前利润：利润1=xm元。计算降价后单价为(x-a)元，销量为(m+b)件，降价后利润：利润2=(x-a)(m+b)=xm+xb-am-ab元。计算利润变化量：利润变化=利润2-利润1=(xm+xb-am-ab)-xm=xb-am-ab元。答：利润变化了(xb-am-ab)元。点拨：“解决实际问题时，先根据题目中的数量关系列出代数式，再运用所学公式和运算规则进行化简计算，结果要结合实际问题进行解释。”第7页：易错点辨析——规避平方差公式使用误区标题：“避错指南：平方差公式常见错误剖析”易错点分类解析（错误示例+正确解析+纠正策略）：公式识别错误（不能准确判断是否符合公式形式）：错误示例：计算(2x+3)(3x-2)，误当作平方差公式计算，得出(2x)²-3²。正确解析：此式不符合平方差公式特征，应按多项式乘法法则计算，(2x+3)(3x-2)=2x×3x+2x×(-2)+3×3x+3×(-2)=6x²-4x+9x-6=6x²+5x-6。纠正策略：“强化对平方差公式结构特征的记忆，必须是两数和与这两数差相乘，且相同项和相反项要清晰对应。计算前仔细观察式子，不符合公式形式的按多项式乘法法则运算。”a和b确定错误（混淆相同项与相反项）：错误示例：计算(x-3)(x+5)，当作平方差公式，认为a=x，b=3，得出x²-3²。正确解析：该式不符合平方差公式。若计算(x-3)(x+3)，则a=x，b=3，结果为x²-9；而(x-3)(x+5)按多项式乘法法则计算为x²+5x-3x-15=x²+2x-15。纠正策略：“做题时圈出相同项和相反项，明确a和b的对应关系，避免盲目套用公式。对于形式相似但不符合公式的式子，严格按多项式乘法法则展开。”运算过程错误（如平方运算错误、符号错误）：错误示例：计算(2x+1)(2x-1)，得出4x²+1（误将-1²

算成+1）。正确解析：(2x+1)(2x-1)=(2x)²-1²=4x²-1。纠正策略：“加强平方运算练习，牢记负数的平方是正数，运算过程中注意每一项的符号，可在草稿纸上分步写出平方运算步骤，仔细核对。”第8页：课堂练习——分层巩固提升标题：“分层练习：夯实基础，拓展思维”基础题（直接应用平方差公式）：计算：①(4+2)(4-2)；②(3a+b)(3a-b)；③(5x-4y)(5x+4y)（答案：①4²-2²=12；②(3a)²-b²=9a²-b²；③(5x)²-(4y)²=25x²-16y²）。提升题（公式变形应用+简单综合运算）：计算：①(-2+x)(x+2)；②(4-3m)(-4-3m)；③(x+2)(x-2)-(x+1)²（答案：①x²-4；②(-3m)²-4²=9m²-16；③x²-4-(x²+2x+1)=x²-4-x²-2x-1=-2x-5）。拓展题（实际问题建模与公式应用）：题目：一个长方形操场，原来长为a米，宽为b米。现在将长增加c米，宽减少c米（a>b>c>0），求操场面积的变化情况。解题步骤：原来操场面积=ab平方米。变化后长为(a+c)米，宽为(b-c)米，变化后面积=(a+c)(b-c)=ab-ac+bc-c²

平方米。面积变化量=(ab-ac+bc-c²)-ab=-ac+bc-c²

平方米。答案：操场面积变化了(-ac+bc-c²)平方米。设计：题目旁标注“解题关键”（如“准确确定a和b”“注意式子变形”“先建模再计算”），答案用折叠框隐藏，学生完成后核对，教师针对共性问题讲解。第9页：课堂总结（构建知识体系）标题：“知识梳理：多项式乘法知识体系中的平方差公式”思维导图总结（中心主题“多项式乘法”）：一般多项式乘法：多项式

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多项式→单项式

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多项式→单项式

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单项式（回顾上节课知识）；特殊多项式乘法：平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²（强调公式特征、推导过程、应用方法与注意事项）；应用场景：面积计算、数量关系分析、简化整式运算等；与一般多项式乘法关系：平方差公式是多项式乘法在特殊结构下的简化形式。核心思想：从特殊到一般的探究思想，通过几何与代数结合推导公式，体现数学知识的内在联系。学习要点：准确识别公式适用条件，熟练运用公式进行计算，注意运算中的易错点。学生回顾：“请用自己的话总结平方差公式的特点、推导方法和应用时的注意事项，与同桌交流分享。”邀请1-2名学生发言，教师补充完善，强化知识理解与记忆。【2025-2026学年】华东师大版

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11.3.1两数和乘以这两数的差第11章

整式的乘除aiTujmiaNg1、理解两数和乘以这两数差的几何意义.2、理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构，并能正确运算.

温故知新多项式与多项式是如何相乘的？

（x

＋3)(x＋5）=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn新课学习知识点1

平方差公式及其几何意义例1-1

(1)用多项式的乘法法则计算：

这两数的平方差(3)用下图解释平方差公式.

例1-2

［华师8上P36例1节选］计算：

练1-1

填空：

知识点2

利用平方差公式进行简便运算例2

计算:

深挖拓展

课堂小测1.下列可以运用平方差公式运算的是(

)C

A.①②