4.5.2 用二分法求方程的近似解（教学设计）高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

4.5.2用二分法求方程的近似解（教学设计）高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）主备人备课成员教学内容分析1.本节课的主要教学内容：本节课主要讲解利用二分法求解方程的近似解。具体内容包括二分法的原理、步骤以及在实际问题中的应用。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课与学生在初中阶段所学的方程求解、函数性质等知识密切相关。通过回顾这些知识，学生能够更好地理解二分法的原理和步骤，并将其应用于实际问题中。教材章节：高一数学必修第一册第三章方程与不等式。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过二分法的学习，学生能够提升对数学问题的抽象思维能力，学会运用逻辑推理分析问题，培养建立数学模型解决实际问题的能力，并提高在数学运算中的精确度和效率。这些核心素养的提升将有助于学生形成科学的世界观和方法论，为未来的学习打下坚实的基础。学习者分析1.学生已经掌握的相关知识：学生在进入高一之前，已经学习了基本的代数知识和函数概念，掌握了方程求解的基本方法，如代入法、因式分解法等。此外，学生对数轴和函数图像有一定的了解，这些知识为学习二分法奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高一学生通常对数学抱有较高的学习兴趣，尤其是在探索新方法和解决问题时。他们的逻辑思维能力逐渐增强，能够理解抽象的数学概念。学习风格上，有的学生偏好通过直观的图形理解问题，有的则更倾向于通过逻辑推理和公式推导来解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习二分法时可能遇到的困难包括对数形结合的理解不够深入，难以将抽象的数学概念与具体的实际问题联系起来。此外，学生在进行二分法运算时可能会遇到计算精度和迭代次数控制的问题。部分学生可能对数学的抽象性感到困惑，难以把握二分法的核心思想。因此，教学中需要注重直观教学，同时提供足够的练习和反馈，帮助学生克服这些困难。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有高一数学必修第一册教材，以便学生能够跟随课本内容学习二分法。

2.辅助材料：准备与二分法相关的图片、图表和视频，如函数图像的动态变化、二分法步骤的动画演示等，以帮助学生直观理解。

3.实验器材：本节课不涉及实验，因此无需实验器材。

4.教室布置：安排教室中的座位，以便学生分组讨论，同时确保有足够的空间展示多媒体资源，创造一个有利于学生互动和学习的环境。教学过程一、导入（约5分钟）

1.激发兴趣：通过提问“如何快速找到一串数字中的特定值？”来引发学生的思考，激发他们对二分法求解方程近似解的兴趣。

2.回顾旧知：简要回顾方程求解的基本方法，如代入法、因式分解法等，以及数轴和函数图像的概念。

二、新课呈现（约30分钟）

1.讲解新知：详细讲解二分法的原理、步骤和适用范围，强调二分法在求解方程近似解中的优势。

2.举例说明：通过具体的例子，如求解方程x^2-4=0的近似解，展示二分法的应用过程，让学生直观理解二分法的步骤。

3.互动探究：引导学生分组讨论，针对不同类型的方程，如一元二次方程、指数方程等，探讨二分法的适用性和求解步骤。

三、巩固练习（约20分钟）

1.学生活动：让学生独立完成以下练习题，加深对二分法的理解和应用：

-求解方程x^2-2x-3=0的近似解；

-求解方程e^x-1=0的近似解。

2.教师指导：在学生练习过程中，教师巡视教室，针对学生的疑问给予个别指导，确保学生能够掌握二分法的应用。

四、课堂小结（约5分钟）

1.教师总结：回顾本节课所学内容，强调二分法的原理、步骤和应用场景。

2.学生反馈：请学生分享自己在学习二分法过程中的心得体会，以及遇到的困难和解决方法。

五、课后作业（约10分钟）

1.布置以下作业，让学生巩固所学知识：

-求解方程x^3-6x^2+11x-6=0的近似解；

-分析二分法在求解方程近似解中的优缺点，并举例说明。

2.要求学生在课后查阅相关资料，了解二分法在其他领域的应用。

六、教学反思

1.教师在教学过程中，注重引导学生主动探究，培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。

2.通过举例说明和互动探究，帮助学生理解二分法的原理和步骤，提高学生对数学问题的解决能力。

3.在课后作业中，注重培养学生的自主学习能力和团队合作精神，提高学生的综合素质。学生学习效果学生学习效果

1.理解二分法的基本原理：学生在学习本节课后，能够理解二分法的基本原理，包括如何通过不断缩小搜索区间来逼近方程的近似解。

2.掌握二分法的步骤：学生能够熟练掌握二分法的具体步骤，包括确定初始区间、计算中点、判断是否满足终止条件以及如何更新区间。

3.应用二分法求解方程：学生能够运用二分法解决实际的一元方程问题，如一元二次方程、指数方程和多项式方程等。

4.提升数学建模能力：通过本节课的学习，学生能够将实际问题转化为数学模型，并运用二分法进行求解，从而提升他们的数学建模能力。

5.增强逻辑思维能力：二分法的学习过程中，学生需要运用逻辑推理来判断区间的选择和终止条件的判断，这有助于增强学生的逻辑思维能力。

6.提高数学运算能力：在计算过程中，学生需要精确地执行数学运算，包括求中点、比较大小等，这有助于提高他们的数学运算能力。

7.培养解决问题的策略：学生通过学习二分法，能够了解一种有效的解决问题策略，即通过不断缩小搜索范围来逼近目标值。

8.增强对数形结合的理解：在应用二分法时，学生需要将数学问题与函数图像相结合，这有助于他们更深入地理解数形结合的概念。

9.提升自主学习能力：通过课后作业和练习，学生能够自主学习和巩固所学知识，提高他们的自主学习能力。

10.增强团队合作意识：在分组讨论和互动探究环节，学生需要与同伴合作，共同解决问题，这有助于培养他们的团队合作意识。

11.增强对数学学科的兴趣：通过学习二分法这一有趣且实用的数学方法，学生可能对数学学科产生更浓厚的兴趣，从而激发他们进一步学习的动力。

12.增强对数学应用的认识：学生通过学习二分法，能够认识到数学在解决实际问题中的应用价值，从而增强他们对数学应用的认识。典型例题讲解例题1：求解方程x^2-4=0在区间[1,5]内的近似解，要求精度达到0.001。

解答过程：

设f(x)=x^2-4，初始区间为[a,b]=[1,5]，精度要求ε=0.001。

首先计算中点c=(a+b)/2=(1+5)/2=3。

计算f(c)=f(3)=3^2-4=5。

因为f(1)=-3<0，f(3)=5>0，所以根在区间[1,3]内。

更新区间为[a,c]=[1,3]。

再次计算中点c=(a+c)/2=(1+3)/2=2。

计算f(c)=f(2)=2^2-4=0。

由于f(c)=0，c即为方程的近似解。

所以，方程x^2-4=0在区间[1,5]内的近似解为x≈2。

例题2：求解方程e^x-2=0在区间[0,2]内的近似解，要求精度达到0.0001。

解答过程：

设f(x)=e^x-2，初始区间为[a,b]=[0,2]，精度要求ε=0.0001。

首先计算中点c=(a+b)/2=(0+2)/2=1。

计算f(c)=f(1)=e^1-2≈0.7183。

因为f(0)=-2<0，f(1)>0，所以根在区间[0,1]内。

更新区间为[a,c]=[0,1]。

重复上述步骤，经过几次迭代后，可以得到近似解。

最终，方程e^x-2=0在区间[0,2]内的近似解为x≈0.693。

例题3：求解方程ln(x)-x=0在区间[1,3]内的近似解，要求精度达到0.00001。

解答过程：

设f(x)=ln(x)-x，初始区间为[a,b]=[1,3]，精度要求ε=0.00001。

首先计算中点c=(a+b)/2=(1+3)/2=2。

计算f(c)=f(2)=ln(2)-2≈-0.3069。

因为f(1)=ln(1)-1=-1<0，f(2)<0，所以根在区间[2,3]内。

更新区间为[a,c]=[2,3]。

重复上述步骤，经过几次迭代后，可以得到近似解。

最终，方程ln(x)-x=0在区间[1,3]内的近似解为x≈2.718。

例题4：求解方程cos(x)-0.5=0在区间[0,π]内的近似解，要求精度达到0.000001。

解答过程：

设f(x)=cos(x)-0.5，初始区间为[a,b]=[0,π]，精度要求ε=0.000001。

首先计算中点c=(a+b)/2=(0+π)/2=π/2。

计算f(c)=f(π/2)=cos(π/2)-0.5=-0.5。

因为f(0)=cos(0)-0.5=0.5>0，f(π/2)<0，所以根在区间[0,π/2]内。

更新区间为[a,c]=[0,π/2]。

重复上述步骤，经过几次迭代后，可以得到近似解。

最终，方程cos(x)-0.5=0在区间[0,π]内的近似解为x≈1.047。

例题5：求解方程x^3-6x^2+11x-6=0在区间[1,3]内的近似解，要求精度达到0.0001。

解答过程：

设f(x)=x^3-6x^2+11x-6，初始区间为[a,b]=[1,3]，精度要求ε=0.0001。

首先计算中点c=(a+b)/2=(1+3)/2=2。

计算f(c)=f(2)=2^3-6*2^2+11*2-6=2。

因为f(1)=1^3-6*1^2+11*1-6=0，f(2)=2，所以根在区间[1,2]内。

更新区间为[a,c]=[1,2]。

重复上述步骤，经过几次迭代后，可以得到近似解。

最终，方程x^3-6x^2+11x-6=0在区间[1,3]内的近似解为x≈1.5。内容逻辑关系①本文重点知识点：

-二分法的定义

-二分法的步骤

-初始区间的选择

-中点的计算

-终止条件的判断

②关键词句：

-“二分法是一种在实数域上寻找函数零点的方法。”

-“初始区间[a,b]必须满足f(a)和f(b)异号。”

-“计算中点c=(a+b)/2。”

-“如果f(c)=0，则c即为方程的近似解。”

-“迭代过程继续，直到满足精度要求或达到最大迭代次数。”

③逻辑关系阐述：

①二分法的定义是基础，它说明了二分法的基本概念和目的。

②关键词句“初始区间[a,b]必须满足f(a)和f(b)异号”强调了选择初始区间的关键条件，这是二分法能够进行的前提。

③“计算中点c=(a+b)/2”是二分法步骤中的核心，它确保了每次迭代都能将搜索区间一分为二。

④“如果f(c)=0，则c即为方程的近似解”是终止条件之一，当找到函数的零点时，迭代停止。

⑤迭代过程和终止条件的判断是二分法的核心逻辑，它们确保了算法的正确性和效率。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.本节课我们学习了二分法的基本原理和步骤，这是一种在实数域上寻找函数零点的方法。

2.重点强调了二分法的两个关键条件：初始区间[a,b]必须满足f(a)和f(b)异号，以及中点的计算公式c=(a+b)/2。

3.我们通过具体的例子展示了二分法的迭代过程，包括如何更新区间和判断终止条件。

4.强调了二分法在求解方程近似解中的应用，以及它在实际问题中的优势。

当堂检测：

1.请学生回顾二分法的定义和基本步骤，并用自己的话进行简要描述。

2.给定方程x^2-5x+6=0，请学生选择合适的初始区间，并说明理由。

3.设定初始区间为[1,6]，请学生使用二分法求解该方程的近似解，并说明迭代过程。

4.请学生分析以下方程在给定区间内是否可以使用二分法求解：e^x-x=0，区间为[0,2]。

5.给定函数f(x)=x^3-4x^2+5x-6，请学生找到函数的零点所在的区间，并说明理由。

检测答案示例：

1.二分法是一种在实数域上寻找函数零点的方法，通过不断缩小搜索区间来逼近零点。

2.初始区间为[1,6]，因为f(1)=2>0，f(6)=6>0，f(5)=-4<0，所以根在区间[1,5]内。

3.迭代过程如下：

-第一次迭代：[1,5]，中点c=3，f(c)=-4<0，更新区间为[3,5]。

-第二次迭代：[3,5]，中点c=4，f(c)=2>0，更新区间为[3,4]。

-第三次迭代：[3,4]，中点c=3.5，f(c)=-0.75<0，更新区间为[3.5,4]。

-第四次迭代：[3.5,4]，中点c=3.75，f(c)=0.375>0，更新区间为[3.5,3.75]。

-第五次迭代：[3.5,3.75]，中点c=3.625，f(c)=-0.1875<0，更新区间为[3.625,3.75]。

-第六次迭代：[3.625,3.75]，中点c=3.6875，f(c)=0.03125>0，更新区间为[3.625,3.6875]。

-第七次迭代：[3.625,3.6875]，中点c=3.65625，f(c)=-0.015625<0，更新区间为[3.65625,3.6875]。

-第八次迭代：[3.65625,3.6875]，中点c=3.671875，f(c)=0.00390625>0，更新区间为[3.65625,3.671875]。

-第九次迭代：[3.65625,3.671875]，中点c=3.6640625，f(c)=-0.0009765625<0，更新区间为[3.6640625,3.671875]。

-第十次迭代：[3.6640625,3.671875]，中点c=3.669921875，f(c)=0.000244140625>0，更新区间为[3.6640625,3.669921875]。

-第十一次迭代：[3.6640625,3.669921875]，中点c=3.66796875，f(c)=-0.000123046875<0，更新区间为[3.66796875,3.669921875]。

-第十二次迭代：[3.66796875,3.669921875]，中点c=3.6689453125，f(c)=0.0000009765625>0，更新区间为[3.66796875,3.6689453125]。

-第十三次迭代：[3.66796875,3.6689453125]，中点c=3.66802734375，f(c)=-0.00000048828125<0，更新区间为[3.66802734375,3.6689453125]。

-第十四次迭代：[3.66802734375,3.6689453125]，中点c=3.668447265625，f(c)=0.000000244140625>0，更新区间为[3.66802734375,3.668447265625]。

-第十五次迭代：[3.66802734375,3.668447265625]，中点c=3.668197265625，f(c)=-0.0000001220703125<0，更新区间为[3.668197265625,3.668447265625]。

-第十六次迭代：[3.668197265625,3.668447265625]，中点c=3.66831640625，f(c)=0.00000006103515625>0，更新区间为[3.668197265625,3.66831640625]。

-第十七次迭代：[3.668197265625,3.66831640625]，中点c=3.668251953125，f(c)=-0.000000030517578125<0，更新区间为[3.668251953125,3.66831640625]。

-第十八次迭代：[3.668251953125,3.66831640625]，中点c=3.66828515625，f(c)=0.00000001525578125>0，更新区间为[3.668251953125,3.66828515625]。

-第十九次迭代：[3.668251953125,3.66828515625]，中点c=3.66826953125，f(c)=-0.000000007627890625<0，更新区间为[3.66826953125,3.66828515625]。

-第二十次迭代：[3.66826953125,3.66828515625]，中点c=3.6682734375，f(c)=0.0000000038137203125>0，更新区间为[3.66826953125,3.6682734375]。

-第二十一次迭代：[3.66826953125,3.6682734375]，中点c=3.66827046875，f(c)=-0.00000000190686015625<0，更新区间为[3.66827046875,3.6682734375]。

-第二十二次迭代：[3.66827046875,3.6682734375]，中点c=3.668271484375，f(c)=0.000000000953430078125>0，更新区间为[3.66827046875,3.668271484375]。

-第二十三次迭代：[3.66827046875,3.668271484375]，中点c=3.6682707421875，f(c)=-0.0000000004767150390625<0，更新区间为[3.6682707421875,3.668271484375]。

-第二十四次迭代：[3.6682707421875,3.668271484375]，中点c=3.66827109375，f(c)=0.00000000023835751953125>0，更新区间为[3.6682707421875,3.66827109375]。

-第二十五次迭代：[3.6682707421875,3.66827109375]，中点c=3.66827095703125，f(c)=-0.000000000119178759765625<0，更新区间为[3.66827095703125,3.66827109375]。

-第二十六次迭代：[3.66827095703125,3.66827109375]，中点c=3.668271025390625，f(c)=0.000000000059589379879375>0，更新区间为[3.66827095703125,3.668271025390625]。

-第二十七次迭代：[3.66827095703125,3.668271025390625]，中点c=3.6682709814453125，f(c)=-0.0000000000297946899396875<0，更新区间为[3.6682709814453125,3.668271025390625]。

-第二十八次迭代：[3.6682709814453125,3.668271025390625]，中点c=3.6682710126953125，f(c)=0.00000000001489734491984375>0，更新区间为[3.6682709814453125,3.6682710126953125]。

-第二十九次迭代：[3.6682709814453125,3.6682710126953125]，中点c=3.6682709951171875，f(c)=-0.000000000007448671459921875<0，更新区间为[3.6682709951171875,3.6682710126953125]。

-第三十次迭代：[3.6682709951171875,3.6682710126953125]，中点c=3.668271002490234375，f(c)=0.0000000000037243357299609375>0，更新区间为[3.6682709951171875,3.668271002490234375]。

-第三十一次迭代：[3.6682709951171875,3.6