群论基础试题及答案

#群论基础试题及答案###单项选择题（每题2分，共50题）1.群的定义中必须包含的性质是（）A.封闭性、结合律、交换律、单位元B.封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆元C.封闭性、分配律、单位元、逆元D.结合律、交换律、单位元、零元存在（答案：B）2.整数加群\((\mathbb{Z},+)\)的单位元是（）A.1

B.0

C.-1D.任意整数（答案：B）3.设\(G\)是群，\(a,b\inG\)，则\((ab)^{-1}\)等于（）A.\(a^{-1}b^{-1}\)

B.\(b^{-1}a^{-1}\)

C.\(ab\)D.\(a^{-1}b\)（答案：B）4.群\(G\)中元素\(a\)的阶为\(n\)，则\(a^n\)等于（）A.\(a\)B.\(e\)（单位元）C.\(a^{-1}\)D.\(n\)倍\(a\)（答案：B）5.若群\(G\)的阶为\(15\)，则\(G\)中元素的阶可能是（）A.3

B.4

C.6

D.7（答案：A）6.以下哪个集合关于普通乘法构成群（）A.全体正整数B.全体非零整数C.全体非零有理数D.全体实数（答案：C）7.群\(G\)中，若\(a^3=e\)，则\(a\)的阶是（）A.1

B.2

C.3

D.6（答案：C）8.设\(H\)是群\(G\)的子群，\(a\inG\)，则\(aH\)称为（）A.右陪集B.左陪集C.共轭类D.正规子群（答案：B）9.群\(G\)的中心\(Z(G)\)是（）A.\(G\)的所有元素B.与\(G\)中所有元素可交换的元素集合C.\(G\)的子群的集合D.\(G\)的生成元集合（答案：B）10.若群\(G\)是循环群，生成元为\(a\)，则\(G\)的元素可表示为（）A.\(a^n\)（\(n\in\mathbb{Z}\)）B.\(na\)（\(n\in\mathbb{Z}\)）C.\(a+n\)（\(n\in\mathbb{Z}\)）D.\(n\)（\(n\in\mathbb{Z}\)）（答案：A）11.群论中的单位元是指（）A.群中最大的元素B.群中最小的元素C.群中与任何元素运算后都不变的元素D.群中不存在的元素（答案：C）12.群论中的逆元素是指（）A.与任何元素运算后都不变的元素B.与单位元运算后都不变的元素C.与自身运算后得到单位元的元素D.与任何元素运算后都得到单位元的元素（答案：C）13.群论中的交换群是指（）A.群中所有元素都是单位元B.群中所有元素都没有逆元素C.群中任意两个元素的运算满足交换律D.群中任意两个元素的运算不满足交换律（答案：C）14.群论中的正规子群是指（）A.群中任意元素的子集B.群中所有元素的子集C.群中满足特定条件的子集（对于任意\(g\inG\)，\(gH=Hg\)）D.群中所有元素的集合（答案：C）15.群论中的商群是指（）A.群中所有元素的集合B.群中所有元素的子集C.群中所有元素的运算结果的集合D.群与其正规子群的运算结果的集合（陪集构成的群）（答案：D）16.群论中的同构是指（）A.两个群的元素完全相同B.两个群的运算完全相同C.两个群之间存在双射映射，且保持群运算D.两个群之间存在单射映射，且保持群运算（答案：C）17.群论中的同态是指（）A.两个群的元素完全相同B.两个群的运算完全相同C.两个群之间存在映射，且保持群运算D.两个群之间存在映射，但不保持群运算（答案：C）18.有限群\(G\)的阶为\(20\)，子群\(H\)的阶为\(5\)，则\(H\)在\(G\)中的指数\([G:H]\)为（）A.4

B.5

C.20

D.1（答案：A）19.群\(G\)中元素\(a\)的阶为\(4\)，则\(a^2\)的阶为（）A.1

B.2

C.4

D.8（答案：B）20.设\(G\)是群，\(a\inG\)，若\(a\)的阶为\(6\)，则方程\(x^2=a\)在\(G\)中的解的个数可能为（）A.0

B.1

C.2

D.6（答案：A）21.以下哪个群是循环群（）A.4阶克莱因四元群B.3阶循环群\(\langlea\rangle\)（\(a^3=e\)）C.6阶对称群\(S_3\)D.8阶四元数群（答案：B）22.群\(G\)的子群\(H\)满足\(|H|=|G|/2\)，则（）A.\(H\)一定是\(G\)的正规子群B.\(H\)一定不是\(G\)的正规子群C.\(H\)可能是也可能不是\(G\)的正规子群D.\(G\)中不存在这样的子群（答案：A）23.设\(G\)是群，\(a,b\inG\)，若\(ab=ba\)，则称\(a\)和\(b\)（）A.互为逆元B.可交换C.共轭D.无关（答案：B）24.群\(G\)中，若\(a\)和\(b\)共轭，则存在\(g\inG\)，使得（）A.\(a=b\)B.\(a=gbg^{-1}\)

C.\(a=gb\)D.\(a=bg\)（答案：B）25.整数模\(n\)群\((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)\)的阶为（）A.\(n\)B.\(n-1\)C.无限D.取决于\(n\)的取值（答案：A）26.群\(G\)中，若\(|G|=p\)（\(p\)为素数），则\(G\)（）A.一定是循环群B.一定不是循环群C.可能是也可能不是循环群D.不存在这样的群（答案：A）27.设\(G\)是群，\(H\)是\(G\)的子群，若\(|G|=12\)，\(|H|=3\)，则\(H\)在\(G\)中的陪集个数为（）A.3

B.4C.12D.1（答案：B）28.群\(G\)中元素\(a\)的阶为\(5\)，则\(a^{10}\)等于（）A.\(a\)B.\(e\)C.\(a^{-1}\)

D.\(a^2\)（答案：B）29.以下哪个运算不满足群的封闭性（）A.整数加法B.非零有理数乘法C.矩阵乘法（限定可逆矩阵）D.整数减法（答案：D）30.群\(G\)中，若\(a\)的阶为\(m\)，\(b\)的阶为\(n\)，且\(ab=ba\)，则\(ab\)的阶（）A.一定为\(mn\)B.一定为\(\text{lcm}(m,n)\)（最小公倍数）C.整除\(\text{lcm}(m,n)\)D.无法确定（答案：C）31.设\(G\)是群，\(a\inG\)，若\(a\)的阶为无限，则（）A.存在正整数\(n\)使得\(a^n=e\)B.不存在正整数\(n\)使得\(a^n=e\)C.\(a\)的逆元阶也为无限D.以上都不对（答案：B）32.群\(G\)的子群\(H\)是正规子群的充要条件是（）A.对于任意\(g\inG\)，\(gH=Hg\)B.\(H\)是\(G\)的最大子群C.\(H\)包含\(G\)的所有元素D.\(H\)只包含单位元（答案：A）33.群\(G\)中，若\(|G|=8\)，则\(G\)的子群阶数可能为（）A.1,2,4,8

B.2,4,6

C.1,3,8

D.2,3,4（答案：A）34.设\(G\)是群，\(a,b\inG\)，若\((ab)^n=a^nb^n\)对任意整数\(n\)成立，则（）A.\(G\)是交换群B.\(a\)和\(b\)的阶相同C.\(a=b\)D.以上都不对（答案：A）35.群\(G\)中元素\(a\)的阶为\(6\)，则\(a^3\)的阶为（）A.1

B.2

C.3

D.6（答案：B）36.以下哪个集合关于给定运算不构成群（）A.实数集关于加法B.非零实数集关于乘法C.整数集关于乘法D.平面旋转群关于旋转合成（答案：C）37.群\(G\)中，若\(a\)的阶为\(4\)，\(b\)的阶为\(2\)，且\(ab=ba\)，则\((ab)^2\)等于（）A.\(a\)

B.\(b\)

C.\(e\)D.\(a^2\)（答案：C）38.设\(G\)是群，\(H\)是\(G\)的子群，若\(|G|=16\)，\(|H|=4\)，则\(H\)在\(G\)中的左陪集个数为（）A.4B.8C.16

D.1（答案：A）39.群\(G\)中元素\(a\)的阶为\(m\)，则\(a^{m-1}\)的阶为（）A.1B.\(m\)C.\(m-1\)D.无法确定（答案：B）40.以下关于群同态的说法正确的是（）A.群同态一定保持元素的阶B.群同态的像一定是子群C.群同态的核一定是正规子群D.以上都正确（答案：D）41.群\(G\)中，若\(|G|=p^2\)（\(p\)为素数），则\(G\)（）A.一定是循环群B.一定不是循环群C.可能是也可能不是循环群D.不存在这样的群（答案：C）42.设\(G\)是群，\(a\inG\)，若\(a\)的阶为\(5\)，则方程\(x^5=e\)在\(G\)中的解的个数为（）A.1

B.5C.至少5个D.无法确定（答案：B）43.群\(G\)的子群\(H\)是极大子群的充要条件是（）A.\(H\)是\(G\)的最大真子群B.\(H\)包含\(G\)的所有元素C.\(H\)只包含单位元D.\(H\)的阶为\(|G|/2\)（答案：A）44.群\(G\)中，若\(a\)的阶为\(3\)，\(b\)的阶为\(3\)，且\(ab\neqba\)，则\(G\)（）A.一定是交换群B.一定不是交换群C.可能是也可能不是交换群D.不存在这样的群（答案：B）45.设