第二节　导数与函数的单调性-2026版高考数学一轮总复习

第二节导数与函数的单调性高中总复习·数学课标要求

1.

结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.

能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多

项式函数的单调区间.3.

会利用函数的单调性判断大小，求参数范围等简单应用.目录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART01知识·逐点夯实必备知识|课前自修

函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f（x）在区间（a，b）上可导f'（x）＞0f（x）在区间（a，b）上

⁠⁠f'（x）＜0f（x）在区间（a，b）上

⁠

⁠f'（x）＝0f（x）在区间（a，b）上是

⁠

⁠提醒讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，

要坚持“定义域优先”原则.单调递增

单调递减

常数函数

用充分、必要条件诠释导数与函数单调性的关系（1）f'（x）＞0（＜0）在区间（a，b）内恒成立是f（x）在区间（a，

b）内单调递增（减）的充分不必要条件；（2）f'（x）≥0（≤0）在区间（a，b）内恒成立是f（x）在区间（a，

b）内单调递增（减）的必要不充分条件；（3）f'（x）≥0（≤0）在区间（a，b）内恒成立且在区间（a，b）的

任意子区间内都不恒等于零是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）

的充要条件.

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.

（

×

）（2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没

有单调性.

（

√

）（3）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一

定是增函数.

（

×

）×√×2.

（人A选二P86例1（2）改编）函数f（x）＝1＋x－sin

x在（0，2π）

上的单调性是（

）A.

单调递增B.

单调递减C.

在（0，π）上单调递增，在（π，2π）上单调递减D.

在（0，π）上单调递减，在（π，2π）上单调递增解析：

因为f'（x）＝1－cos

x≥0，所以f（x）＝1＋x－sin

x在（0，

2π）上单调递增，故选A.

√3.

（人A选二P87练习3题改编）函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f'（x）的图象可能是（

）√解析：

由f（x）的图象可知，f（x）在（－∞，0）上单调递增，在

（0，＋∞）上单调递减，所以在（0，＋∞）上f'（x）≤0，在（－∞，

0）上f'（x）≥0，观察四个图象可知选D.

4.

（人A选二P87例3改编）设f（x）＝2x2－x3，则f（x）的单调递减区

间是（

）C.

（－∞，0）√

x（－∞，0）0f'（x）－0＋0－f（x）单调递减单调递增单调递减

5.

若函数f（x）＝kx－ln

x在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范

围是（

）A.

（－∞，－2]B.

（－∞，－1]C.

[2，＋∞）D.

[1，＋∞）

√PART02考点·分类突破精选考点|课堂演练

函数的单调性（定向精析突破）考向1

不含参函数的单调性

（2）已知函数f（x）＝ln

x＋e1－x－1，证明f（x）在（0，＋∞）上单调

递增.

解题技法单调区间的求法（1）求函数的单调区间时应注意先求定义域；（2）使f'（x）＞0的区间为f（x）的单调递增区间，使f'（x）＜0的区间

为f（x）的单调递减区间；（3）若函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用并集，要用

“逗号”或“和”隔开.考向2

含参函数的单调性

（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，

讨论f（x）的单调性.

解题技法讨论函数f（x）单调性的步骤（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区

间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性.提醒研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响

进行分类讨论.

A.

函数f（x）是奇函数，且在（－∞，－1）上单调递减B.

函数f（x）是奇函数，且在（－∞，－1）上单调递增C.

函数f（x）是偶函数，且在（－∞，－1）上单调递减D.

函数f（x）是偶函数，且在（－∞，－1）上单调递增√

2.

（2024·全国甲卷文20题改编）已知函数f（x）＝a（x－1）－ln

x＋

1，求f（x）的单调区间.

函数单调性的简单应用（定向精析突破）考向1

比较大小

A

（2）若函数y＝f（x）满足xf'（x）＞－f（x）在R上恒成立，且a＞

b，则（

B

）A.

af（b）＞bf（a）B.

af（a）＞bf（b）C.

af（a）＜bf（b）D.

af（b）＜bf（a）B解析：

由xf'（x）＞－f（x），设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝

xf'（x）＋f（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，又a＞b，所以g

（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故选B.

解题技法由函数的单调性比较大小的方法（1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调

性，然后根据单调性比较大小；（2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅

助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小.考向2

解不等式

√

解题技法利用函数的单调性解不等式的关键（1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，

合理地构造新函数；（2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，

借用导数，判断函数的单调性；（3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通

过解不等式（组），得到未知数的取值范围.考向3

已知函数单调性求参数

（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln

x在区间（1，2）

上单调递增，则实数a的最小值为（

）A.e2B.eC.e－1D.e－2√

用结论

若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递增区间，则当x∈（a，

b）时，f'（x）＞0有解；若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递减

区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＜0有解.

A.

[－1，＋∞）B.

（－1，＋∞）√

解题技法根据函数单调性求参数取值范围的一般思路（1）利用集合间的包含关系处理，函数y＝f（x）在（a，b）上单调，

则区间（a，b）是相应单调区间的子集；（2）函数f（x）在（a，b）上单调递增的充要条件是对任意的x∈

（a，b）都有f'（x）≥0，且在（a，b）的任一子区间上，f'（x）不恒

为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解；（3）函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

A.

－4B.

－1C.1D.4解析：

易知f'（x）＝x2－3x＋a，由题意知f'（x）≤0的解集为[－

1，4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，故a＝－1×4＝－4.√

[0，1）

PART03课时·跟踪检测关键能力|课后练习1.

函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（

）√解析：

利用导数与函数的单调性进行验证.f'（x）＞0的解集对应y＝f

（x）的单调递增区间，f'（x）＜0的解集对应y＝f（x）的单调递减区

间，验证只有D符合.123456789101112131415161718192020222324252.

下列函数中，在（0，＋∞）内单调递增的是（

）A.

f（x）＝sin

2xB.

f（x）＝xexC.

f（x）＝x3－xD.

f（x）＝－x＋ln

x

√3.

函数f（x）＝x－2ln（2x）的单调递减区间为（

）A.

（－∞，1）B.

（0，1）C.

（0，2）D.

（2，＋∞）

√4.

已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，

则下列结论正确的是（

）A.

f（b）＞f（c）＞f（a）B.

f（b）＞f（c）＝f（e）C.

f（c）＞f（b）＞f（a）D.

f（e）＞f（d）＞f（c）解析：

由f'（x）图象可知f（x）图象大致如图，

由图可知f（a）＞f（b），f（b）＜f（c）＜f

（d）＜f（e），故仅有D选项是正确的.故选D.

√5.

〔多选〕（2024·晋城一模）若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，

则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则

该函数在D上纯粹递减，则（

）A.

函数f（x）＝x2－2x在[1，＋∞）上纯粹递增B.

函数f（x）＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增C.

函数f（x）＝sin

x－2x在[0，1]上纯粹递减D.

函数f（x）＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减√√解析：

A项，f'（x）＝2x－2，f'（1）＝0，所以A错误.B项，f'

（x）＝3x2－2，当x∈[1，2]时，f'（x）＞0恒成立，所以B正确.C项，f'

（x）＝cos

x－2＜0在[0，1]上恒成立，所以C正确.D项，f'（x）＝ex－

3＜0在[0，2]上不恒成立，所以D错误.故选B、C.

A.

双曲正弦函数是增函数B.

双曲余弦函数是增函数C.

双曲正切函数是增函数√√√

（－∞，0）∪（4，＋∞）

9.

求函数f（x）＝ex＋ln（1－x）＋1的单调递减区间.

x（－∞，0）0（0，1）g'（x）－0＋g（x）单调递减0单调递增

D.

[0，2]√

A.

在区间（0，1）上单调递增B.

在区间（1，4）上单调递减√√

{x｜x＜－1或x＞1}

xf'（x）＋0－－0＋f（x）单调递增单调递减单调递减单调递增

（2）若函数f（x）在（1，2）上