高中数学人教版A版选修1-1学案3.2.1几个常用函数的导数-3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）

3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.知识点一几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a>0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)题型一利用导数定义求函数的导数例1利用导数的定义求函数f(x)＝2016x2的导数.解f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2016x＋Δx2－2016x2,x＋Δx－x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2016[x2＋2x·Δx＋Δx2]－2016x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(4032x·Δx＋2016Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4032x＋2016Δx)＝4032x.反思与感悟解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差，二比，三取极限”的步骤.(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用.跟踪训练1利用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数.解y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x·Δx＋a·Δx＋Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.题型二利用导数公式求函数的导数例2求下列函数的导数：(1)y＝sineq\f(π,3)；(2)y＝5x；(3)y＝eq\f(1,x3)；(4)y＝eq\r(4,x3)；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；(5)y′＝(log3x)′＝eq\f(1,xln3).反思与感悟求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较烦杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y＝x13；(2)y＝eq\r(4,x)；(3)y＝sinx；(4)y＝eq\f(1,\r(5,x2)).解(1)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12；(3)y′＝(sinx)′＝cosx；题型三利用导数公式求曲线的切线方程例3求过曲线y＝sinx上点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))且与过这点的切线垂直的直线方程.解∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲线在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))处的切线斜率是：y′|＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－eq\f(2,\r(3))，故所求的直线方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,\r(3))(x－eq\f(π,6))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)＝0.反思与感悟导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键.跟踪训练3(1)求曲线y＝cosx在点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3),2)))处的切线方程；(2)求曲线y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))在点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(1,2)))处的切线方程.解(1)∵y＝cosx，∴y′＝－sinx，y′|＝－sineq\f(π,6)＝－eq\f(1,2).∴曲线在点A处的切线方程为y－eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,12).(2)∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.∴曲线在点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(1,2)))处的切线的斜率为k＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2).∴切线方程为y－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，即3eq\r(3)x－6y＋eq\r(3)π＋3＝0.数形结合思想的应用例4设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.分析如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小.解设与直线y＝x平行的直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0).代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0,1).所以点P到直线y＝x的最小距离为eq\f(|0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).解后反思首先通过图形发现，与直线y＝x平行且与曲线y＝ex相切的直线与曲线的切点P到直线y＝x的距离最小，然后利用导数求出点P的坐标，最后求得最小距离，充分体现了数形结合的思想方法.1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于()A.0B.2xC.6D.9答案C解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.2.函数f(x)＝eq\r(x)，则f′(3)等于()A.eq\f(\r(3),6)B.0C.eq\f(1,2\r(x))D.eq\f(\r(3),2)答案A解析∵f′(x)＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴f′(3)＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).3.设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A.[0，eq\f(π,4)]∪[eq\f(3π,4)，π) B.[0，π)C.[eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)] D.[0，eq\f(π,4)]∪[eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)]答案A解析∵(sinx)′＝cosx，∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈[0，eq\f(π,4)]∪[eq\f(3π,4)，π).4.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.答案eq\f(1,2)e2解析∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.∴S△＝eq\f(1,2)×1×|－e2|＝eq\f(1,2)e2.5.已知f(x)＝eq\f(5,2)x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.答案－eq\f(1,3)或2解析因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－eq\f(1,3)，x2＝2.1.利用常