思维拓展03 函数和不等式中的恒成立和有解问题（精讲+精练）-高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考）原卷版

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）思维拓展03函数和不等式中的恒成立和有解问题（精讲+精练）①一元二次不等式中的恒成立和有解问题②基本不等式中的恒成立问题③函数不等式中的恒成立和有解问题一、必备知识整合一、必备知识整合一、恒成立和有解问题思路一览设函数的值域为或，或或中之一种，则①若恒成立（即无解），则；②若恒成立（即无解），则；③若有解（即存在使得成立），则；④若有解（即存在使得成立），则；⑤若有解（即无解），则；⑥若无解（即有解），则．【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）二、分离参数的方法①常规法分离参数：如；②倒数法分离参数：如；【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】③讨论法分离参数：如:④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如；⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．【注意】（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）．但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】三、其他恒成立类型一①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．②在上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)四、其他恒成立类型二①，使得方程成立．②，使得方程成．五、其他恒成立类型三①，；②，；③，；④，．二、考点分类精讲二、考点分类精讲【典例1】（23-24高三上·山东滨州·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.【详解】不等式对任意恒成立，则，成立，而，当且仅当，即时取等号，因此，所以实数的取值范围是.故选：B【典例2】（2024高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得不等式在R上有解，结合计算即可求解.【详解】由题意可知，不等式在R上有解，∴，解得，∴实数m的取值范围是.故选：A.【典例3】（23-24高三上·江苏·阶段练习）若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】应用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式恒成立及一元二次不等式的解法求参数m的范围.【详解】由题设，当且仅当时取等号，又恒成立，即.故选：A【典例4】（2024高三·全国·专题练习）已知正数满足，若恒成立，则实数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将原不等式转化为，再求的最大值即可得到的最小值.【详解】因为，所以，因为，所以，故，又，当且仅当时，等号成立，故，实数的最小值为.故选：D.【题型训练-刷模拟】1.一元二次不等式中的恒成立和有解问题一、单选题1．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题：为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件：“”是条件的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（23-24高三上·重庆长寿·期末）已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（

）A． B．0 C．1 D．26．（23-24高三上·山东日照·开学考试）命题“，”为真命题的充要条件是（

）A． B． C． D．7．（2023·福建宁德·模拟预测）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．8．（22-23高二下·四川乐山·期末）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2.基本不等式中的恒成立问题一、单选题1．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（22-23高三·全国·课后作业）已知x＞0，y＞0，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的取值集合为（）A． B．C． D．4．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．5．（2024·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（

）A． B．4 C． D．6．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．13.函数不等式中的恒成立和有解问题一、单选题1．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（22-23高二下·山西运城·期末）若，使得成立，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．5．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知，，，使成立.则a的取值范围（

）A． B．C． D．6．（23-24高三上·云南大理·期中）若对，使得（且）恒成立，