【16：9】第5章 第2讲 定积分基本公式-5+4

高等数学（上册）（慕课版）第2讲定积分基本公式第5章定积分及应用01变上限积分函数02微积分基本公式本讲内容定义3设函数在区间上连续，对任意，有在因此函数在上可积，积分上连续，存在，这里，变量.既表示定积分上限又表示积分为将积分变量由于定积分与积分变量的记法无关，可以把积分变量改用其他符号，与积分上限区分开，即定

01

变上限积分函数4则该积分可改写为因此积分显然，该定积分的值由积分上限上的函数，上的取值决定，在区间定义了一个称为积分上限函数，记作.在区间.

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变上限积分函数定理5.2证5设函数在区间上连续，则积分上限在区间上可导，且..，且，则.由积分中值定理知，存在介于与之间，使得由于时，再由导数的定义及函数的连续性，得即设是区间上的任意一点，设在自变量处的改变量所对应的函数值的改变量为，.，

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变上限积分函数6求函数的导数

（1）；

（2）．

（1）．

（2）．

解1例

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变上限积分函数7

求极限

．当时，

分子、分母同时趋于零，

是一个“”型不定式，

由洛必达法则，

得

.

解2例

01

变上限积分函数8

求积分上限函数的导数．

．

解3例

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变上限积分函数9

解4例求极限．．

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变上限积分函数01变上限积分函数02微积分基本公式本讲内容定理5.2证11设函数在区间上连续，且是在该区间上的一个原函数，则已知是连续函数的一个原函数，又由定理5.2，可知，于是，由原函数性质也是使得得，令再令，，得，所以．的一个原函数，知，存在常数

02微积分基本公式上式称为微积分基本公式，也称为牛顿—莱布尼兹1212通常将简记为．公式.定积分之间的关系，它揭示了定积分与被积函数的原函数或不定有效的方法：将求定积分转化为求原函数.因此，只要找到被积函数的一个原函数就可解决定积分的计算问题.同时给出了求定积分简单而有

02微积分基本公式1213求定积分（1）；（2）．（1）．（2）．

解5例

02微积分基本公式14

解求定积分．

因为

，

所以

．6例

解

解

02微积分基本公式15

一辆汽车正以的速度匀速直线行驶，突然发现一障碍物，于是以的加速度减速.,求汽车完全停止前所行驶的路程．

设汽车的速度为，

则加速度，

两边积分，

有，

得.将

代入上式，

得，

所以．

解7例

02微积分基本公式16

当汽车速度为零时汽车停下,解,得汽车的刹车时间为，

s

再由速度与路程之间的关系，得，

即汽车的完全停下所行驶的路程为．

02微积分基本公式17

解8例由定积分积分区间的可加性，得设求的值，使.即，因此，解得或.

02微积分基本公式18用定积分的定义求下列极限．

.

.

解9例

02微积分基本公式19求下列极限．

.

解10例

02微积分基本公式120求下列极限．

解11例

02微积分基本公式221求下列极限．

解12例

02微积分基本公式322求下列极限．

解13例

02微积分基本公式423求下列极限．

解14例

02微积分基本公式5.24求下列极限．

解15例

02微积分基本公式6.25求下列极限．

解16例

02微积分基本公式7.26

解17例

02微积分基本公式8

计算正弦函数y=sinx

在[0,

]

上与x

轴所围成的平面图形的面积.xyy=sinx

O27

解17例

02微积分基本公式9

汽车以每小时36

km速度行驶，到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a=‒

5m/s2

刹车，问从开始刹车到