2023年高考数学一轮复习（全国版理）圆锥曲线中求值与证明问题

§9.10圆锥曲线中求值与证明问题

题型一求值问题

例1(12分)(2021.新高考全国I)在平面直角坐标系上。)，中，己知点为(一折，0),22(行,

0),点M满足|MB|一|MF2l=2.记M的轨迹为C.

(1)求C的方程；［切入点：双曲线定义］

(2)设点r在直线上，过7的两条直线分别交C于A,3两点和P,Q两点，K\TA\\TB\

=\TP\\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.［关键点：利用等式列式］

【教师备选】

已知椭圆C：的长轴长是短轴长的2倍，尸是椭圆C的一个焦点，点M(0,2)

且晰=标

(1)求椭圆C的方程；

⑵若过点M的直线/与椭圆C交于A,8两点,线段4B的中点为N,且满足=求

/的方程.

a=2b,

解(。由题意，可得飞2+4=10,

力2+/=后，

解得。=2吸，力=，5,

故椭圆C的方程为5+9=1.

(2)根据题意可得，点A必在点B的上方，

才有

当/的斜率不存在时，|AM=2—，5,

|BN］=巾，|AM|W|8N|,不合题意，故/的斜率必定存在.

设/的方程为y=6+2,

)=丘+2,

得(1+43)/+16息+8=0,

/=(16%尸一32(1+4公尸128炉一32>0,

即

设A(即，Jl)»8(X2,>'2)»

r”I16k8

则汨+&=-7：前，汨也=12不田

设N(xo,yo)>

则xo=1-=一"记

由HM=|BN1可得，|A8|=|MN],

所以3+F|xi—X2\=小1+幺|_的一0|,

则y(Xl+x2)2-4xiX2=M,

nrg/4J8K

'、1+43-1+4R'

整理得

故k=4,/的方程为)，=*x+2.

思维升华求值问题即是根据条件列出对应的方程，通迂解方程求解.

跟踪训练1(2021•天津)已知椭圆/+*=1(〃>〃>0)的右焦点为F,上顶点为B,离心率为

且|8月=小.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线/与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,过N与BF垂直的直线交x

轴于点P.若MP〃BF,求直线/的方程.

解(1)易知点知(c,0),8(0,b),

故14pl==a=小,

因为椭圆的离心率为6=5=竽，

所以c=2,b=y/a2—c2=l,

因此，椭圆的方程为卷+)，=1.

(2)设点M(xo,加)为椭圆5•+)?=1上一点，

先证明直线MN的方程为手+)可=1,

--^y（）y=i，

联立消去)，并整理得.V2—2mx+焉=0,/=4"-4x3=0,

5厂+_L产2

因此，椭圆令+产=1在点欣孙扰)处的切线方程为管+如=1.

JJ

在直线MN的方程中，令工=0,可得y=《，由题意可知yo>。，即点{0,*),

直线BF的斜率为kBF=--=一；，所以直线取的方程为)=2丫+},

在直线PN的方程中，令『=0,可得工=一土，

即点H?女'”

因为M尸〃BF,则公评=火跖，

加w2y8_1

''1,_L_2xoyo+1-2'

刈2y0

整理可得(xo+5yo)2=(),

2

所以AO=—5用，所以g+)a=6y*=1,

因为.vo>O,故并=乎，刈=一邛^，

所以直线/的方程为一哈+骼=1,

即x—y+加=0.

题型二证明问题

例2(2021•新高考全国考)已知椭圆C的方程为5+分=13协>0),右焦点为尸(色,0),且

离心率为坐.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设A/,N是椭圆。上的两点，直线AW与曲线/+炉一层(K>0)相切.证明；N,F三

点共线的充要条件是1VM=巾.

(1)解由题意得，

椭圆半焦距c=r且e=5邛,

所以。=小，

又护="2-/=1,所以椭圆方程为1"+)?=I.

所以直线MN过点尸(色，0),M,N,/三点共线，充分性成立，所以M,M尸三点共线的

充要条件是|MN|=小.

【高考改编】

在平面直角坐标系g中，已知椭圆c：，+方=1(。>/»0)的右焦点为产(i,o),离心率为

⑴求椭圆c的标准方程；

(2)若过点尸的直线/交C于4,8两点，线段A8的中点为M,分别过A,B作C的切线小

勿且/i与6交于点尸，证明：O,P,用三点共线.

(c=1,

Ic1(4=2,

⑴解由产受，解得丁小，

Va2=b2-}-c2,

工椭圆C的标准方程为当亨=1.

(2)证明由题意知直线/的斜率不为0.设直线/的方程为x=m)，+l.

A(xi,)，i),仅工2,以)，M(x),>-o),P(x3,然)，

x=wv+1,

由《。。

3r+4广=]2,

整理得3{nry-+2my+1)+4V2=12,

即(3病+4))2+6my—9=0.

.yi+y2-3w

••刈一2-藐干，

4

X0=W+4*

._3

••kz)M——

直线人的方程为苧+苧=1,①

直线/2的方程为等+号=1，②

②一①一9)=水月-X2)

V3xi—X23

十一=F〃'

・*一3

••=-7m=kop,

人3，

••koM=kop>即。,P,M三点共线.

【教师备选】

（2022.湖南师大附中模拟）已知椭圆C：，+苴=13>">0）的离心率为坐椭圆的短轴顶点到

焦皮的距离为出.

⑴求该椭圆。的方程；

（2）若直线/与椭圆C交于A,B两点，^]OA+OB\=\OA-OB\,求证：直线/与某个定圆E

相切，并求出定圆E的方程.

解（1）・・•椭圆的短轴顶点到焦点的距离为加，

:.7bBe2=a=",

•・•椭圆的离心率e=?=¥，

222

:・c=木,•\b=a—c=3f

・•・椭圆C的标准方程为余q=1.

⑵・.・丽+丽=而一函

：.OA^OB,则属.励=0,

①当直线/的斜率不存在时，设/：x=/,

代入椭圆方程得，v=

不妨令A/,

由后•仍=0得，

尸一3+]=0,解得，=玷，

此时/：与圆1+），=2相切;

②当直线/的斜率存在时，

设/：），=代+/〃，A（xi,yi）,B（X2,力）,

X2+2V2=6,

联立：得，

y=kx-rm

（1+2后）小+4加?X+2〃F—6=0,

则/=16后/*-4（1+29）（2加一6）>（）,

化简得病<6&2+3,①

_4hn_

由根与系数的关系得，即+*=

1+2M'

2/7?2—6

X1X2=7+2F,

则)D2=(依।+m)(kx2+m)

〃尸—6炉

=lrxiX2+krn(x]+xi)+nr=〔+“2，

由万l&=0,

即xiX24-yo?2=0可得，

2m2-6m2-6Z?

1+2?+7+2?=0,

整理得,渥=2必+2,满足①式,

，即原点到直线/的距离为也,

，直线/与圆/+)，2=2相切.

综上所述，直线/与圆E：1+)2=2相切.

思维升华圆锥曲线证明间题的类型及求解策略

(1)圆锥曲线中的证明问题.主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，

如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线至行或垂直等：二是证明直线与圆锥

曲线中的一些数量关系(相等或不等).

(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过

相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.

跟踪训练2(2022.漳州模拟)已知兔数z=x+_yi(x,)，£R；在复平面内对应的点为M(x,j),且

z满足|z+2|-|z-2|=2,点M的轨迹为曲线C.

(1)求。的方程；

⑵设4—1,0),B(l,0),若过?(2,0)的直线与。交于P,。两点，且直线AP与8。交于点R

证明：

(i)点R在定直线上；

(ii)若直线AQ与8P交于点S,贝UR/^LSF.

⑴解由题意可知，

^/(X+2)2+/-^(X-2)2+/=2,

所以点M到点Q(—2,0)与到点尸2(2,0)的距离之差为2,且2<历尸21=4,

所以动点M的轨迹是以尸，乃为焦点的双曲线的右支，

设其方程为才一次=1。2仇〃>0,b>0),

其中2。=2,2。=4,

所以A=1,c=2,

所以tr=(r—cr=3,

所以曲线C的方程为f一苧=1。21).

(2)证明(i)设直线。。的方程为x=/>，+2,P(xi,yi),2g九)，其中k>1,及>1.

x=(y+2,

联立|f消去x,

户『I,

可得(3~—1)产+12/)，+。一0,

由题意知3/2—1#0且/=144/2—36(3/一1)

=36(尸+1)>0,

9

所以》+>2=养与，3W=3/2_r

直线4P：),='](1+I),

直线RQ：y=7^h(x—1)，①

由于点P(xi,yi)在曲线C上,可知贡=3(——1),

所以口+1一户'

所以直线AP:)，=殁[21+1).②

联立①②，消去)，可得

3(X1-1)U\\a

y*十匕2-1(1)，

由题意知％Wl,

31+1))，i*

所以X-\一(XLlZ—l)'

所以3(.r+l)_”V2

X—1S，|+1)()2+1)

=_______^2_______

/2yiy?+/Cv'i+y2)+1'

奸PP(A+1)9

所以x-\一次2—I2P+3产一厂9,

所以x=；,

所以点R在定直线x=T上.

(ii)由题意，与(i)同理可证点S也在定直线x=

设雄，，，S&s),

由于R在直线AP：丁=壬口+1)上,

人］I1

S在直线4Q：)，=47。+1)上，

X?।I

3

所

以--

2

3n

5-二+1，

前I、/9V|V-

所以右一46+1)8+1)

_9\\yi

4(“1+3X(X2+3)

_£______VIV2_______

『五)，2+3心+闻+9

=9_______9_______

一19尸一36尸+9(3户一1)

9

=一不

又因为乐=

一f9

所以/R-FS=w+rs=。，所以R£LSF.

课时精练

q基础保分练

1.已知抛物线C产=2〃/(〃>0)的准线与X轴的交点为4一1.0).

(1)求C的方程；

(2)若过点M(20)的直线/与抛物线。交于P,Q两点.求证：值加+品3为定值•

⑴解由题意，可得一今=—1,即〃=2,

・•・抛物线C的方程为)2=4.工

(2)证明设直线/的方程为x=/可，+2,

尸(为，yi),OS，”),

x=/〃)，+2,

联立24

iy=4x,

消去x得y2—4〃?.v—8=0,

则/=16（"尸+2）>0,

•*-y\+”=4〃?，yI”=-8,

又俨2M,

|QM=W+相河

・-U-L^-!—+—!—

••|PM2+IQM?=（1+届）行十（1+62）货

_京+京

（1+〃?2））彳）4

16/rr+16

=64（1+〃?2）

1+而1

=4（1+/=*

'IPMp+lQMp为定值•

2.设椭圆，+£=13>/»0）的左焦点为F,上顶点为8.已知椭圆的短轴长为4,离心率为当.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点户在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y

轴的负半轴上.若|02=1。8（。为原点），且OP_LMM求直线的斜率.

解（1）设椭圆的半焦距为c,

依题意.25=4.：=乎.

又/=〃+/,可得。=小，b=2,c=\.

所以椭圆的方程为1+9=1.

（2）由题意，设Pg冲）（刈#0）,M（M0）.

设直线尸B的斜率为Z（kWO）,

又B（0,2）,则直线户8的方程为），=h+2,

卜二履十2,

与椭圆方程联立

匕+L

整理得(4+5F)f+20区=0,

20攵

可得x=—

P4+5炉'

8-10/7

代入y=kx+2得yp=4+5&2'

A—sF

所以直线OP的斜率充.

xp—10K

2

在)，=h+2中，令y=0,得入“=一后

由题意得MO,-1),

所以直线MN的斜率为一刍

乙

,,4—5/^(k\

由"_LMM/H得^5?(一引―一八

化简得标=卷，从而％=』争.

所以直线PB的斜率为号或一？争.

空技能提升练

3.(2022・莆田质检)曲线C上任意一点尸到点尸(2,0)的距离与它到直线x=4的距离之比等于

坐，过点M(4,0)且与工轴不重合的直线/与。交于不同的两点A,B.

(1)求C的方程；

(2)求证：△AB厂内切圆的圆心在定直线上.

(1)解设尸(x,J),由题意，

比人［2［七炉=当y+2

\x-4\2，)

=2(x-4)2,

化简得［+9=1，

即C的方程为5+1=1.

O4

(2)证明设直线/：x=〃?.y+4,A(x\t_yi),

8(X2，丫2)，

将I代入。得(〃户+2)产+8叫，+8=0,

=64m2—32(/2_|_2)>0=〃尸>2,

8/〃

・・.<)"+>2=-亦，

8

l3，r>，2=^+2-

设直线A/与4尸的斜率分别为3，&2,

则h+右各+会

\1_卜V2

〃叩+2冲2+2

2Hm.V2+23+”）

（冲1+2）（吵+2）

8（8〃？、

2〃?.庐港+2（一不：

:,ki=-k?,则NBFM=TC-NA/M,

・•・直线x=2平分乙4/从而三角形内心在NA尸3的角平分线上,

・•・XhBF内切圆的圆心在定直线x=2上.

理拓展冲刺练