3.4+函数的应用(一)课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4函数的应用(一)明确目标发展素养1.掌握一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型及特点2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题1.通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养2.借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养知识点函数的应用(一)教材梳理填空1．三类常见函数模型：2.数学建模、解模的过程：(二)基本知能小试1．判断正误：(1)用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有点．

(

)(2)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(

)(3)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(单位：℃)随着时间t(单位：min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．由图可知前5min温度升高越来越快．

(

)答案：(1)×

(2)√

(3)×2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为

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)A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)答案：C题型一一次函数模型

【学透用活】[典例1]某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元．方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．(1)若工厂每月生产3000件产品，你作为厂长，在既不污染环境又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案？请通过计算加以说明．(2)若工厂每月生产6000件时，你作为厂长又该如何决策呢？[解]

设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2，则y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000，y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000.因为y1<y2，故应选择方案2处理污水．(2)当x＝6000时，y1＝114000元，y2＝108000元．因为y1>y2，故应选择方案1处理污水．建立一次函数模型，常设为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．【对点练清】车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共3500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元．(1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；(2)若估计前来停放的3500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．解：(1)由题意得y＝0.3x＋0.5(3500－x)＝－0.2x＋1750(x∈N*且0≤x≤3500)．(2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则3500×(1－40%)≤x≤3500×(1－25%)，即2100≤x≤2625.画出函数y＝－0.2x＋1750(2100≤x≤2625)的图象(图略)，可得函数y＝－0.2x＋1750(2100≤x≤2625)的值域是[1225,1330]，即收入在1225元至1330元之间．题型二二次函数模型

【学透用活】[典例2]牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．解决二次函数模型应用题的四个步骤题型三幂函数模型

【学透用活】能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)表达的函数模型叫做幂函数模型，其增长情况随xα中α的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．[典例3]众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润．生产成本与饼干质量成正比且系数为m，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n，利润率为20%，试写出该种饼干900克装的合理售价．解决幂函数模型的四个步骤(1)认真阅读，理解题意．(2)用数学符号表示相关量，列出函数解析式．(3)根据幂函数的性质推导运算，求得结果．(4)转化成具体问题，给出解答．

【对点练清】在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s，求该气体通过半径为rcm的管道时，其流量R的函数解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量．(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等．分段函数是刻画现实问题的重要模型．(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.

【对点练清】某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工多于30人时，则给予优惠，每多一人，培训费减少10元．已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元．(1)写出y与x(x＞0，x∈N*)之间的函数解析式．(2)当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？请求出最大利润．解：(1)当0＜t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100是增函数，当20＜t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(10)＝f(20)＝240，所以讲课开始10min，学生的注意力最集中，能持续10min.(2)因为f(5)＝195，f(25)＝205，所以讲课开始后25min比讲课开始后5min学生的注意力更集中．(