2026年中考数学压轴题专项练习-几何模型之瓜豆原理（点在圆上）学生版+详解版

几何模型之瓜豆原理（点在圆上）

1.（2025•平邑县校级模拟）如图，在RtAABC中，446=90°,AC=5,4c=12,。是以点八为圆心，3为半

径的圆上一点，连接3D,M是3£＞的中点，则线段CM长度的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

2.（2025•苍溪县一模）如图，线段A5为0O的直径，点C在/W的延长线上，AB=4,BC=2,点、P是。。上

一动点，连接CP,以。为斜边在PC的上方作RlAPCD,且使//我=60°,连接OD,则OD长的最大值

为

3.（2025春•兴化市月考）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，点尸是以O为圆心、1个单位长为半径的圆

D

上的一个动点，连接AP,以"为边在AP右侧作等边三角形4尸从当点尸在上运动一周时，点8运动的路

径长是.

4.（2025秋•沐阳县校级期末）如图，线段=点C为平面上一动点，且/AC〃=90。，将线黄4c的中点"绕

点A顺时切旋转90°得到线段AQ,连接向2，则线段BQ的最大值为

A

（2025秋•秦淮区校级期中）如图，在RtAABC中，44cB=90",AC=16,BC=I2,点P在以AB为直径的

半圆上运动，由点B运动到点A,连接CQ,点例是CP的中点，则点M经过的路径长为.

6.（2025•新抚区模拟）如图，在AABC中，NACB=90。，AC=2,BC=4,AE=3t连接BE,以%:为斜边

在BE的右侧作等腰直角ABOE,尸是AE边上的一点，连接PC和8,当NPCD=45。，则尸石长

为.

D

7.（2025秋•嘉兴期末）如图，0。的直径AB=2,C为OO上动点，连结CB,将CB绕点C逆时针旋转90。得到

CD,连结QD,则。。的最大值为.

8.(2024秋•鼓楼区期中)如图，的半径为2,O到定点A的距离为5,点8在上，点P是线段AB的中

点，若3在OO上运动一周.

(1)点尸的运动路径是一个圆；

(2)AABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围.

9.已知：如图，是0。的直径，C是0。上一点，OD_LAC于点。，过点C作。O的切线，交OD的延长线

于点E,连接AE.

(1)求证：AE与OO相切；

(2)连接30,若ED:DO=3:1,0A=9,求AE的长；

(3)若A8=10,AC=8,点尸是GO任意一点，点M是弦A尸的中点，当点尸在上运动一周，则点M运动

的路径长为.

12.(2025♦崖州区一模)若47=4,以点C为圆心，2为半径作圆，点尸为该圆上的动点，连接AP.

(1)如图1,取点8,使AA3C为等腰直角三角形，ZZMC=90°,将点P绕点A顺时针旋转90。得到AP1.

①点P的枕迹是(填“线段”或者“圆”);

②C尸的最小值是:

(2)如图2,以AP为边作等边AAP。(点A、P、Q按照顺时针方向排列)，在点尸运动过程中，求CQ的最大

值.

(3)如图3,将点A绕点〃逆时针旋转90。，得到点V,连接则CM的最小僚为.

13.(2025•沙坪坝区校级模拟)在A4BC中，AC=BC,AC=6,NAC8=a，点。是8C边上任意一点，点石是

直线4)上一劫点.连接将用？绕点A顺时针旋转.旋转角为a,得到线段A产，连接印.

(1)如图1,a=90°,4AD=15。，点尸在射线A。上，求8/6勺长；

(2)如图2,BF//AD,CG_LA£于点G,2ZABF-3ZEBF=4ZBAE,猜想线段GE,BE,AC之间存在的数

量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3,口=6()。，点尸在射线4)上，点P是跖上一点且满足A尸=34。，连接AP,直接写出当AP最小

时，点P到43的距离.

一.选择题（共1小题）

1.（2025•平邑县校级模拟）如图，在RtAABC中，NACS=90",AC=5,国7=12,。是以点A为圆心，3为半

径的圆上一点，连接AD,M是4。的中点，则线段CM长度的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：取的中点O,连接。M,AD,

是班）的中点,

：.OM//AD,OM=-AD,

2

AD=3，

3

2

.•.M点在以O为圆心，3为半径的圆上，

2

•.•NACB=90。，AC=5,BC=12,

.•.A8=13,

.•・CM的最小值为U-m=5,

22

二.填空题（共6小题）

2.（2。25•苍溪县一模）如图，线段为OO的直径，点C在心的延长线上，/伤=4,BC=2,点P是。O上

一动点，连接CP,以。尸为斜边在PC的上方作RtAPCD,且使/ZXy=60°,连接OD,则OD长的最大值为

26+1

【解答】解：如图，作△COE,使得NCEO=90°,ZECO=60°,则CO=2CE,OE=25/5,/OCP=/ECD,

vZCDP=90°,ZDCP=60P,

:.CP=2CD,

COCP与

•.-----=------=2，

CECD

/.ACOP^ACED,

OPCP今

..-----=------=2，

EDCD

即皮＞=2OP=1（定长），

2

•.•点E是定点，QE是定长，

.•.点。在半径为1的上，

・・・OD,,OE+DE=26+1,

.•.O。的最大值为26+1,

故答案为26+1.

3.（2025春•兴化市月考）如图.已知点A是第一象限内的一个定点，点〃是以。为圆心、1个单位长为半径的圆

上的一个动点，连接”，以"为边在”右侧作等边三角形4尸8.当点尸在。。上运动一周时，点8运动的路

【解答】解：如图，连接47、OP,将AO绕点A逆时针旋转60。，得线段47,连接OB、O0),

•・・AO=47,NO4O'=60。，

.•.△04。为等边三角形，

•.•的化为等边三角形，

:.ZPAB=60°,PA=BA,

：.ZPAB-ZOAB=Z.O\(J-ZOAB,

:.ZPAO=ZBACr,

在A4P。与中，

AO=AO'

-NPA。=NBA。，

PA=BA

.•.AAP0=AA8(7(SAS),

：.OP=OB=\,

ocr即为动点小运动的路径，

/.当点?在0O上运动一周时，点笈运动的路径长是2乃.

故答案为：2房.

4.(2025秋•沐阳县校级期末)如图，线段A£?=2,点。为平面上一动点，且/4C3=90。，将线身AC的中点F绕

点A顺时针旋转90。得到线段AQ,连接伙2,则线段4Q的最大值为_匕晅_.

A

【解答】解：如图，取/W的中点。，连接CZ),过点A作A£J_"，使==连接QE、BE.

VZACS=90°,。为AB的中点，

CD=-AB=\,

2

ZQAC=90°,NZ£4B=90°,

/.ZQAE=ZCAD,

AQ1AE1

-----=—,------=—

AC2AD2

AADC^MEQ，

QE=AQ=\_

~CD~^\C~2

QE=；CO=g

•.•448=900,

3荷击阴

当点2、E、B三点共线时,BQ最大为白母=哼.

1+717

故答案为:

F

5.（2025秋•秦淮区校级期中）如图，在RtAABC中，Z4CB=90c,AC=16,8c=12,点尸在以AB为直径的

半圆上运动，由点8运动到点A,连接CP,点M是。的中点，则点“经过的路径长为_5乃_.

【解答】解：♦・•/4cB=90。，AC=16,BC=12,

AB=ylAC2+BC2=V162+122=20,

连接4P,BP,

•.•A3是直径，

.•.ZAP8=90。，

即

取3C,AC的中点石和广，连接A/E,MF,EF,

在中,

・.,M,E为PC、4c的中点,

ME=、BP,

2

在AAPC中,

•.•点M、F为PC、HC的中点,

:.MFHAP,MF=-AP,

2

ME1MF，

即/EMF=90。，

.•.点M在以叮为直径的半圆上,

:.EF=-AB=\Q,

2

.•.点M的运动路径长为1x2乃x5=5万，

2

故答案为：5不.

6.（2025•新抚区模拟）如图，在。6c中，ZAC5=90°.AC=2,BC=4,AE=3,连接6E,以此为斜边

在座的右侧作等腰直角此。E,『是AE1边上的一点，连接PC和CD,当NPC£>=45。,则庄•长为2.?

【解答】解：以AB为斜边在的右侧作等腰直角/，连接R7,FD.

vZABF=ZEBD=45°,

:.ZABE=ZFBD,

:./\ABESNBD,

.•.空=&,

FD

「八3夜

二.FD=-----

2

在四边形AC8/中，NACB=NA阳=90。，

「.A、（7、B、尸四点共圆，

ZACF=ZABF=45°,4cAB=4CFB,

•.•ZPCD=45°

ZACP=N*CD,

又•/MBESMBD,

:.ZBAE=ZBFD,

:"CAP=NCFD,

.•.△C4f△CFO,

ACAP

-----=-----t

FCFD

在四边形AC8/中，由对角互补模型得人C+CB=&。/，

:.CF=3y/2

2AP

一电二访

F

：.AP=\,

:.PE=2,

故答案为：2

7.（2025秋♦嘉兴期末）如图，0。的直径A4=2,C为0。上动点，连结C/L将CA绕点C逆时针旋转90°得

到6,连结OD,则。D的最大值为_夜+1

【解答】解：如图，以04为边在44的下方作等腰直角三角形O3E,连接CE,BD,

将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD,

：.BC=CD,NDCB=90°,

乙DBC=45°,BD=42BC,

•••△O8E是等腰直角三角形，

:.OE=BE,/OBE=45。,OB=6BE=\,

:.BE=OE=—,

2

・.・ZDBC=NOBE,

"OBD=NCBE,

又，.旦叽后

CBBE

CECB

:.OD=>/2CE,

.•.当CE有最大值时，OD有最大值，

当点C，点O,点£三点共线时，CE有最大值为1+立，

2

二.OD的最大值为&+1,

故答案为：

三.解答题（共6小题）

8.（2D24秋•鼓楼区期中）如图，59的半径为2,O到定点A的距离为5,点A在0。匕点P是线段4?的中

点，若8在0O上运动一周.

（1）点。的运动路径是一个圆；

（2）A44C始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围.

B

（1）思路引导

要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到

定点M的距离等于定长，•，由图中的定点、定

氏

可以发现M，r.

【解答】（1）解：连接04、OB，取OA的中点H,连接彼，如图1所示：

则“「是AABO的中位线，

2

点到”点的距离固定为1,

「.8在0O上运动一周，点P运动的路径是以点〃为圆心，半径为I的一个圆;

（2）解：连接AO并延长AO交于点M、N,如图2所示：

•.•A43C是等边三角形，点P是线段的中点，

；.PC工AB,PA=PB=-AB=-BC,

22

PC=y/3PA=—AB,

2

当点5运动到点M位置时，点尸运动到点P'位置，尸C最短，

AM=OA-OM=5-2=3,

13

AP,=-AM=-,

22

:.PC咨

2

当点3运动到点N位置时，点。运动到点P"位置，尸。最长，

•;AN=OA+ON=5+2=1,

17

...AH=—AN=—，

22

・•.PC卫

2

「.PC长的取值范围是辿效户C拽.

22

B

图1

9.己知；如图，AB是的直径，。是上一点，8_LAC于点。，过点。作0。的切线，交8的延长线

于点石，连接AE.

(1)求证：AE与OO相切；

(2)连接3D,若&9:/X)=3:l,0A=9,求AE的长；

(3)若入4=10,AC=8,点尸是0。任意一点，点M是弦A尸的中点，当点尸在。。上运动一周，则点M运动

的路径长为_5乃_.

【解答】(1)证明：如图1中，连接8.

AV-------\-------

\-ODlAC,

/.AD=fXJ,

:.EA=EC,

在^OEC和AOEA中，

OE=OE

OC=QA,

EA=EC

：.^OEC=\OEA,

；"OAE=/OCE,

•「EC是G>O切线，

.\EC1OC,

ZOCE=90°,

:.ZOAE=ZOCE=90°,

：.OA1AE,

」.AE是0。的切线.

(2)如图1中，设00=4,则。£=J,

\-ZAOD=ZAOE,ZODA=ZOAE,

..AOAI^AOEA,

OAOD

OEOA

4«2=81,

•a>0，

2

:.OE=\S,

在RtAAOE中，AE=\/OE2-OA2=^182-92=973.

(3)如图2中，连接OM,取Q4的中点O,连接OM.

图2

•：AM=MF,

：.OMLAF,

・.・47=S7,OA=OB=5,

。加=」OA=定长=3,

22

.•・当点/在OO上运动一周，则点”运动的路径是以O,为圆心[为半径的圆，

.•.点/W运动的路彳至长为2k*-5方.

2

故答案为5不.

10.(2025•海淀区校级三模)在平面直角坐标系中，给定图形W和点Q,若图形卬上存在两个点例，N满

足PM=y/3PN且/MPN=90。,则称点P是图形W的关联点.

已知点4一26，0),4(0,2).

(1)在点由-6，-1),*6,3),右(-2旧，-2)中，—《一巴―是线段/W的关联点；

(2)07是以点7(八0)为圆心，r为半径的圆.

①当7=0时，若线段上任一点均为O。的关联点，求「的取值范围；

②记线段AB与线段AO组成折线G,若存在人.4,使折线G的关联点都是07的关联点，直接写出，•的最小值.

【解答】解：(1)ZMPN=90。,

/.AMP.V为直角三角形，

・•・满足+

根据勾股定理可得：AB-=(2百)2+2?=12+4=16,

[4=J(G)2+『=2,9==26,

22222

[A2+P}B=l(x/3)+1]+1(>/3)+3]=4+12=16；

54=、/(⑺)2+32=26，58=J(6)2+]2=2,

P^+P.B2=[(>/3)2+32l+f(\^)2+l2]=12+4=16；

"=2,/>B=7(2^)2+42=277,

巴A?+*=2?+[(2x/3)2+4)=4+12+16=32,

222

•.•[A=6《A,P]A+P1B=AB,

(-73,-1)是线段AB的关联点；

•;P?A二+P】B,且5万+332=432,

二P",3）是线段AB的关联点；

•:Pg/iP'B,且^4+西工/W。

：.ZBAO=30P,CAJ.OA,

.•.""=90。+30。=120。，

,对于煽段AB上的任意两点M、N,

当P、M=4iP、N时，NP、NM>90。，如图，则NM尸N必是锐角，不可能是直角,

/.^(-273,-2)不是俄段"的关联点;

故答案为：［,P2.

(2)①由(1)可得：•.，NM7W=90c,

.•.&W/W为直角三角形，

/.MN2=PM24-PN1=4PN?,

即MN=2PN,

即三角形用VW为含30度角的直角三角形，如图:

P2

则点P是以MN为斜边且含30度角的直角三角形的直角顶点.

在圆O上取点M,N,则对于任意位置的U和N,符合的关联点芍2个，如图:

以点P为例，当点用在半径为「的上运动时，点N为圆上一定点，且MN=2PN,N?MW=6O。,

则点M的运动轨迹为圆，故点尸的轨迹也为圆，令点尸的轨迹为圆R,如图：

当M,O，N三点共线，P,R,N三点共线时，乙PNM=9。，

OR=—r,RN=-r,

22

则点。到点尸的最大距离为立里八最小距离为立二

22

当点N也在OO上运动时，OR也随之运动，

则OR扫过的区域为与^和存/•为半径围成的圆，

即QO的所有关联点在以O为圆心，告丑厂和与•为半径的两个圆构成的圆环中,

.•.当线段河与半径为巫里r交于点A时•，/最小，如图：

2

则与

解得r=6-2百,

当线段45与半径为叵4r的圆相切时，r最大,过点O作O”_LA8,如图:

22

解得O”=6，

则由LS

2

解得/"3+6，

.•・6-2版卜3+石

②当关联点在线段即上时，满足条件的关联点所在范围如图为影部分：

y

当关联点在线段AO上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：

y

4

3

-1

当关联点在不同线段上时，满足条件的关联点在点O和点3上的范围如图阴影部分：

综上，所有区域叠加一起为:

由①可知，满足丁的所有关联点所在范围为圆环，

故若使得圆环能够完整“包住”关联点，圆环中外圆的必须经过点Gi

•.­ZGfi4=30°,ZG=90°,NO的=60。，NO=90。，

二四边形AQ/3G为矩形，

:.G（-2>/3,2）,

则7U=J（4+2x/5）2+22,

BP^^r=7（4+2x/3）2+22,

解得厂=40（负值舍去）；

综上，/•的最小值为4忘.

11.（2025•南宇二模）如图I,在平面直角坐标系中，直线），=-51+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线

）,=X2+力X+C经过A、C两点，与X轴的另一交点为8.

（1）求抛物线解析式；

（2）若点用为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，AAZ泗的面积等于A49c面枳的3,求此时

5

点M的坐标；

（3）如图2,以4为圆心，2为半径的04与x轴交于E、尸两点（尸在E右侧），若P点是08上一动点，连接

PA,以R4为腰作等腰RtAPAD,使/尸4）=90。（。、4、。三点为逆时针顺序），连接。.求77）长度的取值

范围.

图1图2

【解答】解：（1）令x=0,则y=5,

.\C(0,5),

令y=0,则x=l,

二.A(1,O)，

将点4(1,0),C(0,5)代入>=/+区+c,

\+b+c=()

得

c=5

b=-6

c=5

y=*-6x+5；

(2)设—6/〃+5),

令y=0,则/一6戈+5=0,

解得x=5或x=l,

8(5.0)，

..AB=4,

Su网=]x4x5=10,

3

vAABM的面积等于AA8C面积的-,

5

2

/.SDAMB=6=—X4X(m-6m+5)»

解得"7=2或m=4,

.•.”(2,-3)或」3(4,一3)；

(3)将点8绕A点顺时针旋转90。到3'，连接48',PB,B'D,

-ZBAD+ZBAD=9(r,ZPAB+ZBAD=90a,

；.Z3fAD=ZPAB,

\AB=AB,,PA=AD,

AAOB'兰MPB'(SAS),

:.BP=PD,

♦：PB=2,

夕。=2,

.•.。在以U为圆心，2为半径的圆上运动，

•••8(5,0),A(l,0),

•：BF=2,

尸(7,0),

/.B'F=2713,

.♦.O〃的最大值为2m+2,OF的最小值为2万-2,

2V13-2WF2713+2.

12.（2025•崖州区一模）若AC=4,以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接

（1）如图1，取点8,使AA8C为等腰直角三角形，ZBAC=90°,将点尸绕点A顺时针旋转90。得到.

①点P'的轨迹是一圆（填“线段”或者“圆”）；

②。产的最小值是：

(2)如图2,以”为边作等边A4P。(点A、P、。按照顺时针方向排列)，在点P运动过程中，求CQ的最大

值.

(3)如图3,将点A绕点P逆时针旋转90。，得到点也，连接PM,则CM的最小值为.

【解答】解：(1)①连接CP、BP，如图1所示：

•.•AABC是等腰直角三角形，Zfi4C=90%

:.AC=AB,由旋转的性质得：AP=AP,NRW=90。，

/.Z/MC=Z7y

APf=AP

在AAB产和AACQ中，NPA8=NP4C,

AB=AC

:.^ABP'^MCP(SAS),

.•.80=CP=2,即点P到点8的距离等于定长，

.••点P'的轨迹是以8为圆心，2为半径的圆；

故答案为：圆；

②•.•A43C是等腰直角三角形，AC=4,

BC=OAC=4丘,

当点P'在线段3c上时，CP最小=8C-8户=4拒一2：

故答案为：4\/2-2；

(2)以AC为边长作等边AAC。，连接。Q、CP,如图2所示:

•.•AAP。和AAC。是等边三角形，

AP=AQ,AC=AD=CD=4,NE4Q=NC4。=60。，

ZDAQ=ZCAP,

AD=AC

在A4R2和A4cp中，«4DAQ=4CAP,

AQ=AP

:.SADQ^SACP(SAS),

DQ=CP=2,

当C、D、。三点共线时，CQ有最大值=8十OQ=4+2=6；

(3)如图3所示：”点的轨迹是以W为直径的一个圆O,

则尸加二弘=2,PMf=PA=4+2=6,

则CO'是梯形尸MMP的中位线，

.•.CO=g(2+6)=4,

连接MVT,

贝IJ/MMW90。，

:.PM"=PM=2,9"="=4,

.•.MMW=6-2=4=MMW,

.•.△wnr是等腰直角三角形，/

MM'4叵,

OM=2a,

:.CM=C(y-UM"=4-2y[i；

故答案为：4-2&.

13.（2025•沙坪坝区校级模拟）在AABC中，AC=BC,AC=6,ZACR=a,点。是AC边上任意一点，点石是

直线AD上一动点，连接3E,将座绕点3顺时针旋转，旋转角为a,得到线段班连接斯.

（1）如图1,a=90。，NB4O=15。，点r在射线AO上，求阴7的长；

（2）如图2,BF//AD,CG_LAE于点G，2ZABF-3NEBF=4/BAE,猜想线段GE,BE,AC之间存在的数

量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3,a=60。，点尸在射线4）上，点P是鸵上一点且满足A/=38尸，连接AP,直接写出当"最小

时，点P到的距离.

.3缶36卮

/.ZC4D=ZC4B-Za4D=45o-15o=30°,

在RtAADC中，CO=ACtan/C4O=6tan30°=2后,

AD=2CD=4y/3,BD=BC-CD=6-26，

将BE绕EB顺时针旋转90°,得到线段BF,

:.BF=BE,ZEBF=90°,

...NF=/BEF=45。，

.•.ZF=ZAB。，

\'ZBAF=ZDAB,

..MBF^AADB，

BFABHI1BF6核

，一=——，即----产=—十,

BDAD6-2V34G

:.BF=3瓜-3叵；

(2)vAC=BC,AC=6,ZACB=a,

//mnA180°—a

Z.CAB=NCAA=-----------»

2

同理/BEF=NBFE=侬〜,

2

•••BFNAD,

ZABF+ZEAB=\S()0,ZAEB=/EBF=a,

/.ZABF=180°-ZE4B

•.•2ZABF-3/EBF=4ZBAE，

3

ZABF=2NBAE+ea,