高三数学重难点题型培优练：立体几何体中的截面问题（常考题型梳理）解析版

专题3・4立体几何体中的截面问题（常考题型梳理）

|知识点•梳理］

一、如何做截面？

作出过EFG三点的截面

法一：作平行线并标出棱上的交点

法二：作延长线并标出棱上的交点

Di「Di「

//I/,

G：.....一¥11/

汽、/

t1t//

/i\//

£1ZFr

AFBAFr'B

二、如何确定截面是否已经“搞定”?

①题目所要求的点是否都用上？

②你所画的线是否围成了一个封闭图形？

③这个封闭图形的边是否都在几何体的表面（不能在几何体内部）？

重点题型•归类精讲

题里o作截面

类型1:三个点在棱上

1.作出过EFG三点的截面

【答案】（1）作平行线即可

(2)第一步：延长GF和BC,交于点H,可知H点为底面和右侧面的点;

第三步：连接FK,交CG与点K,此时截面为GFKE,GE这条线没有在正方体表面上，所以

还需要继续补全截面，在左侧面过点G作EK的平行线GM,故截面为GFKEM

B

B

B

3.如图①，正方体48。。一入8£2的棱长为2,〃为线段BC的中点，Q为线段CG上的动点，过点A、P、

Q的平面截该正方体所得的截面记为S,若1<CQ<2,请在图中作出截面S（保留尺规作图痕迹）;

G

【解析】延长。。交A产延长线尸点MDC=CE,延长石。文2GF点产

延长用G交P。延长线于点G,连接G/,并延长交A"于点，，连接A”

此时五边形APQFH就是截面S

4.如图，已知正方体A8CO—A4GR,点E为棱CC,的中点，在图中作出平面BED.截正方体所得的截面

图形（如需用到其它点，需用字母标记并说明位置），并说明理由.

【解答】如图取片儿的中点连接8M、M。，则M8皿为平面极正方体所得的横面,

证明：取力〃的中点N,连接N£.AN,因为石为棱的中点

所以AB//CD且AB=CD,NEHCD旦NE=CD,

所以AS//NE且AB=NE,

所以四边形48EN为平行四边形，

所以ANHBE,

又AMIIND.且AM=ND、,

所以四边形4NRM为平行四边形，

所以4V//RM,

所以MR〃BE,即8、E、D、、M四点共面，即M用犯为平面8ER极正方体所得的截面：

类型二：两个点在棱上，一个点在面上

5.已知G是底面ABCD上一点，E,F为棱上的点，作出过EFG三点的截面

【答案】

A

B

Dj

S补全截面再判断位置关系

武汉调研&浙江杭州二模

6.（多选）如图，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满

足直线MN〃平面ABC的是（）

ABcD

【答案】ABC

【解答】解：选项A,如图所示，点£,“为正方体的两个顶点，则何N〃七尸〃AC,

・・・MNC平面ABC,AC?平面ABC,

・・・MN〃平面A8C,即选项A正确；

N

选项8,如图所示，。为正方体的一个顶点，则AC〃M。，BC//ND,

•：ACQBC=C,MDCND=D,AC.BCu平面ABC,MD、NDu平面DMN,

・•・平面ABC〃平面DMN,

又MNu平面DMN,

・・・WN〃平面ABC,即选项B正确；

选项C,如图所示，G为正方体的一个顶点，则平面ABC〃平面GMN,

,，WNu平面GMN,

・・・MN〃平面4BC,即选项。正确；

选项。，连接CM则AB〃GV,

・・・A,B,C,N四点共面,

・・・MNn平面A8C=N,与MN〃平面人8c相矛盾，即选项。错误.

2023•温州模拟

7.下列正方体中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,。分别为其所在棱的中点，则能满足A5〃平面MNP

R

【答案】C

【分析】由4B与平面MNP相交，判断A;由结合E不在平面NGFMPH判断B；由线面平行

的判定判断C：由中位线定理判断D.

【详解】对于A：连接M氏NC,由图可知,A8与平而MNP相交，故不满足人8//平面MVP,故A错误:

P

B

G,H,F,E分别是所在棱的中点，连接NH,NG,GF,FM,EM

则平面MNP和平面NGFMPH为同一平面，因为45〃,

因为EM与平面NGFMP/7相交，所以不满足A8//平面MNP,故B错误；

对于C:连接AO.丈MN与点、0,连接P0,因为0,。分别为中点,

所以PO//AB,由线面平行的判定定理可知，ABU平面MNP,故C正确；

对干D：DEE分别是所在棱的中点，迩接DN,NF,FM,ME,PE,DP,AC,

平面DNFMEP与平面MNP为同一平面，

取AC的中点为。，连接MO,由中位线定理可知，AR//MO,

因为MO与平面MNP相交，所以不满足AB"平面MNP,故D错误；

题I型S确定截面形状

8.在正方体A8C。-AMGR中，和£2的中点分别为M，N.如图，若以A,M,N所确定的平

面将正方体械为两个部分，则所得截面的形状为（）

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

【解答】解：在一个棱长为12的正方体人BC。-4线G。中，8片和G2的中点分别为例，N,

如图，截面与4G交于点石，且点£不会为打或6点，

截面与£>q交于尸点，且点尸不会为。或q点，

.•・截面有AM，ME，EV，NF,E共计5条边，

•••过A,M，N三点的平面被正方体所截得的截面图形为五边形AMENF.

故选：13.

9.如图，在正方体A5CO-中，AB=2,E为棱AC的中点，尸为棱4马上的一动点，过点A,E,

F作该正方体的截面，则该截面不可能是（）

等腰梯形C.五边形D.六边形

【解答】解：当4/=0,即尸与A重合时，如图1,取用c的中点，截面为矩形AEGA：

当O〈AA,1时，如图2,截面为平行四边形AEGF；

当1＜人尸＜2时，如图3,截面为五边形

当A尸二2,即尸与2重合时，如图4,截面为等腰梯形AEG「

2023•重庆巴蜀中学高三校考

10.（多选）已知截面定义：用-一个平面去截一•个几何体，得到的平面图形（包含图形内部）称为这个几

何体的一个截面.则下列关于正方体截面的说法，正确的是（）

A.截面图形可以是七边形

B.若正方体的截面为三角形，则只能为锐角三角形

C.当截面是五边形时，截面可以是正五边形

D.当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形

【答案】BD

【分析】根据正方体的性质判断A、C,画出图形设=BD=y,CD=z,利用余弦定理求出cosA、

cos8、cosC,即可判断B,利用反证法说明D.

【详解】对于A：平面最多和正方沐的六个面都相交，所以最多6条交线，所以形成的多边形最多为六边形，

所以横,面图形一定不是七边形，故A锢误；

AB2=x2+y2

对于B：设AO=x,BD=y,CD=z,由勾股定理得（8C?=z?+9，

AC2=x2+z2

2x2

所以cos/84。=>0,

2ACAB2ACAB

2BCAB28cA4

2ACBC2BCAC

所以角㈤4c/48C,24C8均为锐角，所以为锐角三角形，故B正确；

对于C:正方体3组对面相互平行，由面面平行的性质定理可知，五边形中有两组对边平行，

所以假面五边形不可能为正五边形，故C错误；

对于D：极面EHGF分另4交楂、4。于点G、，，假设四边形EHGF为直角梯形，（EF//GH）,则EHLHG,

又因为AA_!_46且八4、EH共面,所以或MC=P,

当AA,HEH时，因为A4u面AA.FG,切g面AA.FG,则EHI/面AA.FG,

又面MFGc面EFGH=FG,所以EH//FG.又因为EF//GH,

所以四边形为平行四边形，与假设矛盾，

当AAnE〃=P,因为AA_L〃G、E”_L”G且4ApEH=P,A4,,E“u面人尸”，

所以HG工平面APH,即”G_L平面明。。，又因为平面M。。，

所以A8//G”，与A3cG〃=G矛盾，所以假设不成立，故D错误：

2024届雅礼中学月考（二）

11.如图所示，在棱长为2的正方体ABC。-4用GQ中，点”，N分别为棱耳G，8上的动点（包含端

点），

当M,N分别为棱耳G，CD的中点时•，则过A,M,N三点作正方体的截面，所得截面为边形

【答案】五

如图2,取8。中点M',连接有MM11BBJ/AA、,且用M'=B片=人4，

则四边形AAMAT是平行四边形，有AM"幽M,过N作AW的平行线交AO于点E,

此时。£则EN/M.M,即EN为过A,M,N三点的平面与平面AAC。的交线,

连接AE,在BC上取点尸，4更得CF=-CB,同证AM"4M的方法得AE//4尸，

4

在棱CG上取点G,使CG=；CC|,连接A/G并延长交直线8C于〃，«'JCH=1c,M=CF,

即FH=C1M=B1M,而FH//BM,于是四边形"知用是平行四边形，

有MG"B\F"AE,则MG为过A,M、N三点的平面与平面BCC；耳的交线，

连接NG,则可得五边形AMGNE即为正方体中过A,M,N三点的极面，D正确.

12.如图正方体4BCO-A4GA，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CG上的动点，过A、P、Q的平面截该

正方体所得的截面记为C.若=，则下列结论错误的是（）

A.当％G（O,£j时，C为四边形B.当4=3时，C为等腰梯形

C.当时，C为六边形D.当2=1时，。的面积为直

【答案】C

【解析】当0<4vg时，如下图1,Q是四边形，故A正确：

当2=（时，如下图2,C为等腰悌形，B正确：

3

当二</1<1时，如下图3,。是五边形，C错误：

4

当2=1时，。与G重合，取4a的中点尸，连接4尸，如下图4,由正方体的性质易得尸CJ/BW//A/，且

PC}=AF,截面。为APC/为菱形，其面积为:AG//二半，D正确.

故选：C

AB

图3

圆截面周长，面积相关计算

13.如图，在棱长为1的正方体ABC。-A4GA中，点E/分别是棱用8,"G的中点，点G

是棱G。中点，则过线段AG且平行于平面AE尸的截面的面积为.

9

【答案】8,

【解答】解：取8c的中点凡作如图连接,

易证平面AHGDi〃平面A]EF,

等腰梯形AHGD|的上下底分别为冷，啦，

小3yf29

腰长为2,求得梯形的高为4，进而求得梯形面枳为以

14.如图，在棱长为2的正方体ABCD—AiBiQDi中，E是棱CQ的中点，则过三点AQ,七的

截面面积等于（）

l3诉9

A.3^2B.2C.2D.3

【答案】C

【分析】画出截,而图形，利用已知条件，样化求解假面面积即可.

【解答】解：取BC的中点F,连接EF,AF,则EF〃人。1,所以平面4回石尸为所求截面，

EF=pADi=2//尸=#22+12=4,所以梯形的高为:

2啦+啦3^29

过三点石的截面面积：2x2=2«

15.如图，在棱长为4的正方体/WC。-48cB中，M,N分别为棱AB,BC的中点，过C,M,N三

点作正方体的截面，则以8点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为（）

【解答】解：取人区的中点Q,连接MQ.GQ,可得四边形CGQM为平行四边形，

则GQ//CM,取用Q的中点尸，连接NP,可得NP//GQ,

则NP//CM,即四边形MCNQ为过C,M,N三点的截而截止方体所得图形，

•••三方体棱长为4,

•••所求体积展匕…+匕^^=衿,力汽4+-S^c-B,B=|x|x2x4x2+-x-x4x2x4=8.

16.如图，在棱长为a的正方体A8CO—W&C7y中，点E、F、G分别是棱A宣、BC、CQ的中点,

则由点E、F、G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于.

DGC

【答案】孚

【解析】因为E、/分别为A9、XC的中点，则瓦7〃VC且x2=1,

因为A47/CC且AA'=CC',所以，四边形AA'CC为平行四边形，所以，AfC//AC,

所以，EF//AC,设平面EFG交枝40于点，，

因为平面ABCD//平面，平面EFGc平面AB'C'D'=EF,

平面EFGc平面ABCD=GH,所以，EF/IGH,则GHHAC,

因为G为。。的中点，所以，〃为40的中点，

设直线防分别交。4、的延长线于点P、Q,连接交棱AA于点

连接如交棱CC于点N,连接E/W、FN,则散面为六边形EFNGHM,

A'PA'E,

因为A7V/CB,则...-...=1,

B'FB'E

所以，A:P=B'F=-B'C=-A!D'=-AD=AH,

222

AMAH

因为A"//AP,则「一二丁=1,所以，AM=AM则M为AA的中点，

AMAPf

同理可知，N为CC'的中点，易知六边形EFNGHM是边长为EF=1的正六边形,

所以，板面面积为6xJxfxsin6。=6x=8='叵.

242

17.如图，在正方人区。。一4869中，/13=2,££夕,知,"分别是人仇。0,。〃,4),。。的中

点，存在过点E,F的平面〃与平面尸MN平行，平面a截该正方体得到的截面面积为

D,G

【答案】3x/3

分别取C]0工10A41的中点”，K,1,连接HF,HK,KI、3,

可证平面EGF/7K/〃平面PMN,则存在过点E,尸的平面a与平面PMN平行,

六边形EGFHKT是平面a截该正方体得到的截面，

龙厂「

极面的面积是6x4x（也）2=3小，故C正确；

球的截面计算

计算球截面基本规律

1.确定球心和半径

2.寻找做出并计算截而与球心的距离

3.要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中点”这个性质

4.强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。

18.（2023・湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）如图，在楼长为1的正方体4BCD-48£仅中，M,N

分别为棱A。，DR的中点，过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（）

A.iB-7D-I

【答案】C

【解析】如图,

正方体外接球的球心在其中心点0处，球的半径R=1>/12+12+12=立,

22

要使过MN的平面极该球得到的极面面积最小，则截面圆的圆心为线段MN的中点Q,

连接OM.ON,则OM=ON=MN=g

2

Y_V6

所以OQ=JOM2—（；MN

；-4,

此时截面圆的半径r=y1R'-OQ2=>/6

3

此时，截面面积的最小值S=兀产=-71.

8

19.已知某球的体积为丁，该球的某截面圆的面积为3%则球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为（）

A.1B.3C.2+x/3D.|

【答案】B

【解析】设横面圆的半径为广，球0的半径为R球心到截面的距离为d,

则r+d2=R2,

因为球的体积为亚=如/?\

33

所以R=2,

因为截面圆的面积为3n，

所以3兀=兀/,鼠r=6,

所以d=l,

所以球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为d+R=3,

故最大距离为3.

20.已知正方体ABC。-44GR的棱长为2,E为棱CG上的一点，且满足平面平面A8O,则平面

A/Q截四面体A8CE的外接球所得截面的面积为（）

132589

A.—江B.C.一乃D.—7T

61233

【答案】A

【解析】在正方体ABC。—480也中，设平面8OEC平面ACG=OE,且AC；_L平面43。，

由平面3£）E_L平面AB。，可得ACJ/OE,所以E是CG的中点，

._________3

又四面体ABCE的外接球的直径为AE=A/AC2+CE2=3,可得半径R=j,

设M是4E的中点即球心，球心M到平面A的距离为d,

文设AC与5£）的交点为O,0']OA=,则sinNAOA/=cosNA。！=,

则（1=OMsinZAOM=—x—=—,则截而圆的半径/=R?-d2=7-77=T^=~7»

、236412126

、13

所以截面圆的面积为nr:=—7t.

故选：A

21.如图，正方体ABC。-Age.,中，反尸分别是棱/W、BC的中点，过点。|、瓦产的截面将正方体分割

成两个部分，记这两个部分的体积分别为忆匕，记V＜匕，则匕：匕=.

【答案】石

【解析】延长E产交QC的延长线与点连接。/交CG于点G,连接死：

延长在交D4的延长线与点O,连接。。交AA于点〃，连接HE：

所以过。,改厂的截面为。〃瓦'G,如下图示：

设正方体的棱长为为，

则过外反尸的板面下方几何体的体积为

V=-SOD-2-SOA=--3a2a3a-2--a-a=—a\

13…fxDP3mAEH323239

所以另一部分体积为匕=8/=?/,则乂：匕吟.

22.正方体A8C。-中，E,尸分别是棱4G，G。的中点，则正方体被截面3EED分成两部分的体

积之比为.

【答案】17：7或7：17

【分析】

如国，正方体被截面8EED所截的一部分为棱台，求出棱台的体积，然后用正方体的体积减去棱台的体积可

得另一部分的体积，从而可求得结果

【详解】

设正方体的棱长为2,则正方体的体积为8,因为E,尸分别是棱瓦G,CQ的中点,

所以棱台EFC「BDC的体积为■Lx2x(』x2x2+，xlxl+J—x2x2x—xlxl)=—,

322Y223

717

所以另一部分的体积为8-§二丁，所以正方体被截面4£7刀分成两部分的体积之比为17:7或7:17,故

答案为：17:7或7:17

23.如图所示，在长方体ABC。-A夕CQ'中，用截面截下一个棱锥则棱锥的体积与

剩余部分的体积之比为()

A.1：5B.1：4C.1：3D.1：2

【答案】A

【分析】

由长方体的性质，结合三棱锥的体积公式、长方体的体积公式求及轲余部分的体积，进而求其比

例印可.

【详解】由图知：^AHCD-A'ti'CD'=C少•,而SA，D，DA=,

••刎余部分的体积为^ABCD-ARCD,-^C-ADD,=5C。,»

...棱锥C-A”的体积与轲余部分的体积之比为1：5.

24.在正四棱锥S-ABCD中，M为SC的中点，过AM作截面将该四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部

分的体积分别为匕匕，则也的最大值是.

【答案】2

V

【解析】记正四棱维S-A38的体积为V,1的最大值，由匕+匕=『为定值知，只需求匕的最小值，

设过4M的截面分别交SB和SO于E产，平面&4C与平面S3。的交线为SO,SO与A"相交于G,如图,

+SB)=±SE+±SFt即有导力］,

SFSE

匕=Vs-AFM+^S-AEM=匕YAM+^E-SAM=“/-$AM+,^B-SAM

11V、乙、/11、V刃yX、V

=）•产1Z3c+1Zx=小/+））=小+），）（豆+豆）=五（2+;+7因，

此时AW1=""

2-1=2

当且仅当x=y=§时取等号,

所以，■的最大值是2.

in截面最值与范围

2024届•长沙雅礼校考

25.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面。所成的角都相等，则平面。截此正方体所得截面面积

的最大值为.

【答案】逮

4

【分析】利用正方体的结构特征，判断平面a所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可.

【详解】根据相互平行的直线与立面所成的角是相等的，可知在正方体A3co-A4GA中，平面4片。与

直线人A,A用，AA所成的角是相等的，

所以平面八与R与平面a平行，

C

由正方体的对称性：要求极面面枳最大，则盛面的位优为过棱的中点的正六边形(过正方体的中心)，边长

为旦,所以其面积为S=6x且x3G

24

26.如图所示,在长方ABCD-A^C^中，A8=3,A。=4,例=5,点E是棱9上的一个动点，若平面BED.

交棱4A于点儿则四棱锥4-区。尸的体枳为,截面四边形尸的周长的最小值为

【分析】

根据锥体的体积计算，利用切割法可得四棱锥用-8EQL的体积；将几何体展开，根据两点之间直线最短,

即可求出最短周长的截面，进而根据勾股定理即可求得结果.

【详解】

由题意可得D、FHBE,利用切割法可得力-3以*,=VB「BED,+V%_BFD.=%-3阳+%-"4

=-•BB}•BC-AB+—BB}-D^-AB=gxg(5x4x3+5x4x3)=20：

将长方体展开，如图所示，

当点E为8R与CG的交点、点户为与A4的交点时，截,面周长最小，此时截面的周长为28口，

而在中，/犯=即+(3+4『=6,所以截面周长的最小值为2取.

27.正三棱锥P-ABC中，&E4="=40，点E在棱E4上，且PE=3E4,已知点P、A、B、C都在球

。的表面上，过点E作球O的截面。，则。截球。所得截面面枳的最小值为.

【答案】3冗

【分析】通过补体把正三棱锥补成正方体，则正方体的体对角线为外接球直径：求出。石=3,当OE_L平面

。时，平面。盛球O的截面面积最小，此时微面为圆而，从而可计算截面的半径，从而推导出裁面的面积.

222

【详解】•;PA=PC=PB=4,AB=AC=BC=4x/2.:.PA+PC=AC,:.ZCPA=^t

同理=?A=],故可把正三棱锥补成正方体（如图所示）,

其外接球即为球O,直径为正方体的体对角线，故2R=46,

设物的中点为产，连接则。尸=2应且。尸.所以。石=廊斤=3,

当。E_L平面。时，平面。盛球0的极面面积最小，此时板而为圆面

28.己知正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）A8C-4耳G的体枳为66,AB=26,。是4G的中点，点2

是线段A力上的动点，过4c且与心垂直的截面a与”交于•点E,则三棱锥P-8CE的体积的最小值

为

A.B.-C.2D.--

222

【答案】A

【分析】

由正三棱柱A8C—A4G的体积为66,八8=26,可求得明=2,由于匕,_八抬==%_皿+匕_雌，所

以要使三棱锥P-8CE的体积最小，则三棱锥E-AAC的体积最大，设的中点为尸，作出曲面如图所示，

可得点£在以A/•、为直径的圆上，从而可求出点E到底面A8C距离的最大值，进而可求得三棱维P-8CE的

体积的最小值

【详解】

如图所示，

A,_________________G

因为正三棱柱ABC-AB。]的体不只为,AB=26,所以~^x（2G）xA4,=6\/5,即AAj=2,

因为匕，=gx2x曰X仅6丫=26=Vp_8CE+匕-88，所以要使三棱维P-8CE的体积最小，则三棱锥

E-A4C的体积最大，设8C的中点为产，作出截面如图所示，

因为所以AE工EF,所以点E在以4/；为直径的圆上，

所以点E到底面A8C距离的最大值为立x2jjx」=2,

222

所以三棱维P—8CE的体积的最小值为2J5-gx■|x¥x（2J5）2=*.

29.已知球。是正三棱锥A-8C/）（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=6,

AB=C，点七是线段BC的中点，过点E作球。的截面，则所得截面面积的最小值是（）

A3兀1127tn元

A.—B.—C.-D.一

4324

【答案】A

【解析】如图：

A

e4|^D

c

。1是A在底面的射影，由正弦定理得，△2C。的外接圆半径r=i_x4=l

sin602

由勾股定理得棱锥的高Ha1=J%工=i设球。的半径为R,

则R2=（JR>+l.解得R=l,

所以|oq|二o,即。1与o重合，

所以当过点E作球0的截面垂直于。石时，截面面积最小，

此时曲面半径为忸同=孝，极面面积为手.

30.已知球。和正四面体A-8CZ），点氏C、。在球面上，底面6CQ过球心0,棱AB、AC、4。分别交球面于

瓦、c、A，若球的半径在=石，则所得多面体SGA-BC。的体积为（）

A90R9x/2r23&n13a

84126

【答案】D

【解析】设正四面体A-8C7）,校长为。，

如图所示：

设外接球的球心为O,半径为R=G，所以6。=氏=]Xa=G,解得a=3,

由千AO_L8O,所以AO=柠二两=#，

在Rt^ABO中，过0作AB垂线0H,由面积可得10HA3,则丝土=啦,

22AB

利用勾股定理：BH2+OH-=OB\

..也一任」.匕场c倒一1

•~AB~3''Aii~3""27

多面体B£D「BCD的体积为％c"310nl=杯匕一8cLl|x：x*x9x6=1立

31.已知半径为4的球O,被两个平面截得圆。|、。2,记两圆的公共弦为A8,且。02=2,若二面角

a-/w-o?的大小为[兀，则四面体/woo?的体积的最大值为（）

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