沪教版数学八年级上册《直角三角形全等的判定》练习（含解析）

19.7直角三角形全等的判定

一、单选题

1.如图，ABLBD,CD1BD,AD=BC,判定△48。和△CQ8全等的依据是（）

A.AASB.SASC.ASAD.HL

2.如图，ACA.CB,081c8,垂足分别为C,B,AB=DC,可证得△48OAOCB,则证明

3.如图，在业aABC中，ZB=90°,A。平分N84C,OEJ_4c于点E,则下列结不正确的

是（）

A.DE=DBB.AE=ABC.NADE=/ADBD.ED+BD=BC

4.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等

C.斜边和一直角边对应相等D.两个锐角对应相等

5.如图，BE=CF,AELBC,DFLBC,要根据"HL”证明町A4BE空心△OCR则还需要添

加一个条件是（）

D

A.AE=DFB.ZA=ZDC.ZB=ZCD.AB=DC

6.数学课上，同学们探讨利川不同画图工具画角的平分线的方法.小旭说：我用两块含30。

的直角三角板就可以画角平分线.如图，取0M=OM把直角三角板按如图所示的位置放

置，两直角边交于点P，则射线。尸是NA08的平分线，小祖这样画的理论依据是（）

7.如如图，RdABC中,ZC=90°,AO是N8AC的平分线，DEA.AB,垂足为日若

AB=10cm,AC=6cm,则股的长度是（）

A.①②③B.①②C.①D.0(3)

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，ZiABC中，ZABC.NE4C的角平分线HP、4P交于点P,延长84、AC,PM工BE,

PN1BF,则下列结论中正确的个数（）

①CP平分N4CR②NABC+2NAPC=180°；③NAC8=2N4PB；@SAMC=

S^MAP+SANCP.

A.1个B.2个C.3个D.4个

13.如图，在△ABC中，ZC=90°,DELAB于D,交AC于点E,若BC=BD,AC=6cm,

BC=8cm,AB=10cm,则△ADE的周长是______.

E

B

18.如图，在△A8C中，AB=CB,N4BO90。，尸为A8延长线上一点，点石在BC上，且

BE=BF.

(1)求证：R3ABE/R△CBFx

(2)若/C4E=30。，求NC"的度数.

19.如图1,己知A,E,F,C在同一条直线，AE=C6过E,尸分别作。月_LAC,BFA.AC,

(1)求证：DB平分EF：

(2)若△DEC的边EC沿AC方向移动，其余条件不变，如图2,上述结论是否仍成立？请

说明理由.

参考答案:

1.D

【分析】

根据已知条件进行推理证明，从而确定判定依据即可.

【解析】

解:VAB1BD,CD1BD,

NABD=NCD3=90°,

BP：AAB。和aCOB均为直角三角形，

iERt^ABDRt^CDB中，

/.MAABDGRmCDB(HL),

•••判定△480和ACOB全等的依据是HL,

故选：D.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定定理，能够准确分析题干信息，掌握每一种判定定理的区别和应

用场景是解题关键.

2.D

【分析】

根据全等三角形的判定定理即可得解.

【解析】

证明：VAC1CB,DBA.CB,

...△人仁月与^均为直角三角形，

在RiAACB与RSDBC+,

:.RmABSR小DCB(HL),

故选：D.

【点睛】

本题考杳了全等全角三角形的判定.注意本题是对两个直角三角形全等的判定，熟悉

定理是解答的关犍.

3.D

【分析】

根据角平分线的性质得到。后8。，再证明△”£)丝△AE。，故可判断.

【解析】

•••AO平分NBAC,N8=90。，DELAC

：.DE=BD,A正确:

VAD=ADfNABD=NAED

：./\ABD^AAED(HL)

：.AE=AB,ZADE=ZADB,8c正确：

YED+BKBC,故。不正确

故选。.

【点睛】

此题主要考查全等三角形与角平分线的性质，解题的关健是根据题意证明三角形全等.

4.D

【分析】

根据三角形全等的判定定理判断即可.

【解析】

解：A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意：

B、根据A4S定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；

C、根据”L定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；

D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.

5.D

【分析】

【解析】

解：添加的条件是4B=CZ)：理由如下：

VAE1BC,DFYBC,

：.ZCFD=ZAEB=90°,

在Ri/iABE和Ria。。尸中，

故选：D.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解

此题的关键.

6.B

【分析】

【解析】

故选B

【点睛】

此题考杳了全等三角形的判定方法，解题的关键是根据题意找到相等的量，再根据全等三角

形的判定方法求解.

7.B

【分析】

根据角平分线的性质得到。斤DC证明RQAE。丝R/ZkACD,根据全等三角形的性质得到

AE=AC=6cm,结合图形计算，得到答案.

【解析】

解：・・・AO是NB4C的平分线，DE.LAB,ZC=90°,

:.DE=DC,

在心△AEO和/?/△ACD中，

.,./?/△AED^Ri^ACD(HL),

,\AE=AC=()cfn,

BE=ABAE=106=4(c/n),

故选:B.

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两

边的距离相等是解题的关健.

8.B

【分析】

易证HAAPR名RIAAPS,可得AS二AR,NBAP=N1,再根据AQ=PQ,可得Nl=/2,即可

求得。0〃A从即可解题.

【解析】

解：如图，

在/?/△APR和/?/△APS中，

/./?/△APR^Rt^APSCHL),

・・・AR=AS,①正确；

ZBAP=Z1,

•：AQ=PQ,

/.Z1=Z2,

•••N84P=N2,

：.QP//AB,②正确，

•••△8RP和△QSP中，只有小PS,再没有其余条件可以证明△8RP之AQSA,故③错误.

故选:B.

【点睛】

本题涉及到全等三角形的判定和角平分线的判定，需要结合已知条件，求出全等三角形或角

平分线，从而判定三个选项的正确与否.

9.C

【分析】

【解析】

*：AD=AD,

•••AO垂直平分夕故③正确；

由已知及①②③的结论无法得出E尸垂直平分A。，故④错误：

・•・正确的个数有3个；

故选C.

【点睛】

本题主要考查直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理，熟

练掌握直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理是解题的关

键.

10.D

【分析】

过点〃作户加工人。于根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明

Rl^PAM^Rt^PAD,根据全等三角形的性质得出NAPM=NAPD,同理得出NCPO=NCPN,

可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三用形的性质判断④.

【解析】

解：①过点尸作PO_LAC于。，

1•PB平分NABC,%平分NE4C,PM1BE,PNLBF,PDLAC,

:.PM=PN,PM=PD,

:.PM=PN=PD,

平分N4C凡故①正确；

PNtBC,

/.NA6C+90°+NMPN+90°=360°,

:.NABC+NMPN=180。,

在即△附M和心△心。中，

，放△以M且心△心。(HL),

ZAPM=NAPD,

同理：RmPCD"RmPCN(HL),

:./CPD=/CPN,

:・/MPN=2/APC,

：,ZABC+2ZAPC=\S0°t②正确；

③•・•布平分NCAE,BP平分NABC,

/.ZCAE=ZABC+ZACB=2ZPAM,ZPAM=ZABC+ZAPB,

：.ZACB=2ZAPB,③正确；

④由②可知M△以”会心4%。(HL),RtAPCD^Rt^PCN(HL)

：.S^APD=S^APM,S&CPD=S〉CPN,

：.S^APM+S^CPN=SAAPC,故④正确，

故选：D.

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两

边的距离相等是解题的关健.

11.50°

只需要证明得至IJN1=NCA£>=40。，贝JN2=9O°NCAQ=5O°.

【解析】

解：VZB=ZZ>90°,

:.&ABC和"OC均为直角三角形，

在心“3。和心"OC中，

:.RSBCQRmADC(HL),

，N1=NCAD=4O。，

/.Z2=90oZC/4D=50°.

故答案为:50°.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，解题的关键在「能够熟

练掌握全等三角形的性质与判定条件.

12.10

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE二AD,利用7证明/?/△A3。和RtXEBD

全等，根据全等三角形对应边相等可得/W=AE,然后求出△DEC的周长=8C,再根据8c=10,

即可得出答案.

【解析】

解：是NA4C的平分线，DE工BC,ZA=90°f

：.DE=AD,

在RsABD和RIAEBD中,

ABD^RtLEBD(HL)，

：.AB=BE,

：.丛DEC的周长=OE+C7>CE

=AD+CD+CE

=AC+CE

=AB+CE

=BE+CE

=BC,

・"GIO,

••.△OEC的周长是10.

故答案为：10.

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质，涉及到等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质,

熟记各性质并求出△DEC的周长二BC是解题的关键.

13.8cm

【分析】

【解析】

连接BE,

B

故答案为：8cm

【点睛】

本题考查了证明三角形全等以全等三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题

的关键.

14.55°

【分析】

根据可证得心△△即△CFQ,从而得到NBDE=NC/7A35。，即可求解.

【解析】

解：VZ£>FC+ZAFD=18D°,ZAFD=145°,

：.ZCFD=35°.

又・・・DE_LAB,DF1BC,

/.ZBED=ZCDF=90°,

在R3BDE与4R3CFD中，

，心△BDE必RmCFDQHL),

：./BDE=/CFD=35。,

:NEDF+NBDE=90。,

NEDF=55。.

故答案是：55°.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，能根据“心证得

RS8OE丝△/?/△CFQ是解题的关键.

15.8或4##4或8

【分析】

根据直角三角形全等的判定方法确定AD的长度.

【解析】

*：AC±BCfAPA.AC,

/.NACB=NE4Q=90°,

•：DE=AB,

/.当AD=AC=Scm时，根据“小广可判断RtAAQE0RSCAB；

当八。=4c=4cm时，根据“〃L”可判断RS/IDE^RtACHA；

综上所述，当AO=8cm或4cm时，ZkAOE和^ABC全等.

故答案为：8或4.

【点睛】

本题考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握判定直角三角形全等的“HL”判定，另外要

注意这里有两种情况.

【分析】

(1)由角平分线的性质得DE=DF,再根据HL证明/?/△AEDWRmAFD,得AE=AF,从

而证明结论：

【解析】

(1)证明：:八。是△人小。的角平分线，DE、分别是△/!"£＞和△ACD的高，

：,DE=DF,

在RtLAED与RthAFD中,

:・R小AEDWRmAFD(HL),

：,AE=AF,

•；DE=DF,

••・A。垂直平分£”；

(2)解：・；DE=DF,

•・・4B+AC=10,

，OE=3.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点.

17.(1)见解析；(2)5

【分析】

【解析】

：・/D=/EBC；

：・NE=/DFC；

又•：CB=CD

(2)解：由(1)得CE=CFBE=DF=2

VZ£=ZDFC=90°,AC=AC,

：,AF=AE

：,AF=AE=AB+BE=AI3+DF=5

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质.

18.(I)证明见解析；(2)ZACF=60°.

【分析】

(1)利用“印广证明三角形全等即可；

【解析】

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的

判定方法与性质.

19.(I)见