27.2.1 相似三角形的判定 讲义 2025-2026学年人教版九年级数学下册

/人教版（2024）九年级下册27.2.1相似三角形的判定讲义【题型1】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【典型例题】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC-=OB：OD，则下列结论中一定正确的是()

A.①与②相似B.①与③相似C.①与④相似D.②与④相似【举一反三1】如图，每个小正方形边长均为1，则图中的三角形中与相似的是（

）

A.B.C.D.【举一反三2】如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（

）

A.B.C.D.【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，，，点E在边AD上，，点F在边DC上，则当

时，与相似．【举一反三4】如图，若

，则.【举一反三5】如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．【题型2】两角分别相等的两个三角形相似【典型例题】已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A.只有（1）相似B.只有（2）相似C.都相似D.都不相似【举一反三1】如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对【举一反三2】如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E．AB交EF于D．给出下列结论：①△ABC≌△AEF；②∠AFC＝∠C；③DF＝CF；④△ADE∽△FDB其中正确的结论是

（填写所有正确结论的序号）．【举一反三3】△ADE中，AD＝AE，C为DE延长线上一点，B为ED延长线上一点，∠DAE＝40°，当∠BAC＝

°时，△BDA∽△AEC．【举一反三4】如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）请你再写出两对相似三角形．【题型3】平行线分线段成比例定理【典型例题】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝3，BC＝1．点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD＝1，BE＝1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为（）A.B.C.D.1【举一反三1】如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（

）A.B.C.D.【举一反三2】如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为()A.12.5B.12C.8D.4【举一反三3】如图，点D、E分别在△ABC边BC、AC上，连接线段AD、BE交于点F，若AE：EC＝1：3，BD：DC＝2：3，则EF：FB＝

．【举一反三4】如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求．【举一反三5】如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB＝12，CD＝6，DE：EG：GA＝3：4：5．求EF和GH的长．【题型4】三边成比例的两个三角形相似【典型例题】如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（）A.△AFDB.△FEDC.△AEDD.不能确定【举一反三1】如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，正确的画法有（

）

A.1个B.2个C.3个D.4个【举一反三2】的边长分别为的边长分别，则与

（选填“一定”“不一定”“一定不”）相似【举一反三3】一个三角形的三边之比为3：4：5，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为时，这两个三角形相似．【举一反三4】如图，在中，，，，求证：．

人教版（2024）九年级下册27.2.1相似三角形的判定讲义（参考答案）【题型1】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【典型例题】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC-=OB：OD，则下列结论中一定正确的是()

A.①与②相似B.①与③相似C.①与④相似D.②与④相似【答案】C【解析】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，C正确；故选C．【举一反三1】如图，每个小正方形边长均为1，则图中的三角形中与相似的是（

）

A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由题意可得：，，，，，，，，，又，．故选：B．【举一反三2】如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（

）

A.B.C.D.【答案】B【解析】解：根据题意可得：，；A．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似．B．夹的两边之比为：，图中的三角形（阴影部分）与相似．C．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似．D．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似．故答案为：B．【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，，，点E在边AD上，，点F在边DC上，则当

时，与相似．【答案】5或【解析】解：由题意,知与都是直角三角形,所以当或时,与相似,由,,,得,,∴或,∴5或．故答案为:5或．【举一反三4】如图，若

，则.【答案】【解析】解：∵∠AOC=∠BOD，∴当时，故填：.【举一反三5】如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．【答案】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB，∴∠D＝∠B＝90°，设DP＝x，当PD：AB＝CD：PB时，△PDC∽△ABP，∴＝，解得DP＝2或12，当PD：PB＝CD：AB时，△PCD∽△PAB，∴＝，解得DP＝5.6∴DP＝5.6或2或12．【题型2】两角分别相等的两个三角形相似【典型例题】已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A.只有（1）相似B.只有（2）相似C.都相似D.都不相似【答案】C【解析】对于图（1）：180°﹣75°﹣35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似；对于（2）图：由于＝，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB．故选：C．【举一反三1】如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对【答案】C【解析】图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，∵DE＝CE，FC＝BC，∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，∴AE：EF＝AD：DE，即AD：AE＝DE：EF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CEF+∠AED＝90°，∴∠AEF＝90°，∴∠D＝∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选：C．【举一反三2】如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E．AB交EF于D．给出下列结论：①△ABC≌△AEF；②∠AFC＝∠C；③DF＝CF；④△ADE∽△FDB其中正确的结论是

（填写所有正确结论的序号）．【答案】①②④【解析】在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF，故①正确，∴AC＝AF，∴∠C＝∠AFC，故②正确，∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，∴△ADE∽△FDB，故④正确，无法证明DF＝CF，故③错误．故答案为①②④．【举一反三3】△ADE中，AD＝AE，C为DE延长线上一点，B为ED延长线上一点，∠DAE＝40°，当∠BAC＝

°时，△BDA∽△AEC．【答案】110【解析】∵AD＝AE，∠DAE＝40°，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣70°＝110°．在△ABD中，∵∠ADB＝110°，∴∠B+∠BAD＝180°﹣110°＝70°，同理可得∠C+∠EAC＝70°．∵△BDA∽△AEC，∴∠B＝∠EAC，∠C＝∠BAD，∴∠B+∠C＝∠EAC+∠BAD＝∠B+∠BAD＝70°，∴∠BAC＝（∠EAC+∠BAD）+∠DAE＝70°+40°＝110°．【举一反三4】如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）请你再写出两对相似三角形．【答案】（1）证明：∵∠DME＝∠A＝∠B＝α，∴∠AMF+∠BMG＝180°﹣α，∵∠A+∠AMF+∠AFM＝180°，∴∠AMF+∠AFM＝180°﹣α，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF∽△BGM；（2）解：∵∠D＝∠D，∠DMG＝∠DBM．∴△DMG∽△DBM，同法可证：△EMF∽△EAM．【题型3】平行线分线段成比例定理【典型例题】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝3，BC＝1．点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD＝1，BE＝1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】取CF的中点G，连接BG，如图所示：∵BC＝1，BE＝1，∴点B为EC的中点，∴BG是△CEF的中位线，∴BG∥EF，∴＝，∴AF＝AG，∴FG＝CG＝2AF，∴AC＝AF+FG+CG＝5AF＝3，∴AF＝；故选：B．【举一反三1】如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（

）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：∵，，．故选：B．【举一反三2】如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为()A.12.5B.12C.8D.4【答案】C【解析】∵AD∥BE∥CF，∴，即，解得EF＝8，故选C.【举一反三3】如图，点D、E分别在△ABC边BC、AC上，连接线段AD、BE交于点F，若AE：EC＝1：3，BD：DC＝2：3，则EF：FB＝

．【答案】【解析】作EH∥BC交AD于H，∴＝，∵＝，∴＝，∵EH∥BC，∴＝＝．【举一反三4】如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求．【答案】解：∵，∴，∵，∴，∴，设，又，，∴，∴，（舍），∴．【举一反三5】如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB＝12，CD＝6，DE：EG：GA＝3：4：5．求EF和GH的长．【答案】解：过C作CQ∥AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，如图，∵CD∥AB，∴四边形AQCD为平行四边形，∴AQ＝CD＝6，同理可得GN＝EM＝CD＝6，∴BQ＝AB﹣AQ＝6，∵DC∥EF∥GH∥AB，∴DE：EG：GA＝CF：HF：HB＝3：4：5，∵MF∥NH∥BQ，∴MF：BQ＝CF：CB＝3：（3+4+5），NH：BQ＝CH：CB＝（3+4）：（3+4+5），∴MF＝×6＝1.5，NH＝×6＝3.5，∴EF＝EM+MF＝6+1.5＝7.5，HG＝GN+NH＝6+3.5＝9.5．【题型4】三边成比例的两个三角形相似【典型例题】如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（）A.△AFDB.△FEDC.△AEDD.不能确定【答案】A【解析】解：解：∵AF＝4，DF＝4，AD＝4，AB＝2，BC＝2，AC＝2，∴，∴△AFD∽△ABC．故选：A．【举一反三1】如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，正确的画法有（

）

A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】解：第一个网格中的两个三角形对应边的比例：，是相似三角形；第二个网格中的两个三角形对应边的比例：，这两个三角形是相似三角形；第三个网格中的两个三角形对应边的比例：，这两个三角形是相似三角形；第四个网格中的两个三角形对应边的比例：，不是相似三角形；综上，正确的画法有3个，故选：C．【举一反三2】的边长分别为的边长分别，则与

（选填“一定”“不一定”“一定不”）相似【答案】不一定【解