3 3　轴对称与坐标变化　讲义　北师大版数学八年级上册

3轴对称与坐标变化典型例题题型一根据图形的对称性求点的坐标例1线段MN在平面直角坐标系中的位置如图1所示，若线段M′N′与MN关于y轴对称，则点M的对应点M′的坐标是()A.(4，2) B.(-4，2) C.(-4，-2) D.(4，-2)图1审题关键：本题的关键语句是“线段M′N′与MN关于y轴对称”，由这句话可得出两个结论.其一，点M和点M′是一对对应点；其二，点M和点M′的坐标特点是横反纵同.解析：根据平面直角坐标系可得点M的坐标是(-4，-2)，故点M的对应点M′的坐标为(4，-2)，故选D.答案：D特别提示：此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握关于y轴对称的点的坐标的变化特点.题型二轴对称的点的坐标特征例2点P(3，2)关于y轴对称的点的坐标是.分析：此题考查平面直角坐标系与对称的结合.解：点P(m，n)关于y轴对称的点的坐标P′(-m，n)，所以点P(3，2)关于y轴对称的点的坐标为(-3，2).例3在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，-3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是(，).解析：∵点A的坐标是(2，-3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，∴A′的坐标为(2，3).∵点A′关于y轴的对称点，得到点A″，∴点A″的坐标为(-2，3).故答案为：-2；3.答案：-23题型三由点的对称性求字母的取值例4已知点关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是()ABCD解析：∵点关于原点的对称点的坐标为，且该点在第四象限，∴解得a<-1.∴选项C正确.答案：C点拨：先找出点P关于原点对称的点的坐标，再利用第四象限内点的坐标特征求出字母参数的取值范围，最后在数轴上表示出来.在这类题中,一要把握对称点的坐标特征;二要结合不等式思想，通过求解不等式(组)来解决问题.例5已知点P(3，-1)关于y轴对称的点Q的坐标是(a+b，1-b)，则ab的值为.分析：先根据点P，Q关于y轴对称求出点Q的坐标，再求出a，b的值，最后求出ab的值.解析：∵点P，Q关于y轴对称，∴点Q的坐标为(-3，-1)，∴a+b＝-3，1-b＝-1，解得a＝-5，b＝2，∴ab＝(-5)2＝25.答案：25点拨：这是一道综合性题目，考查了点关于y轴对称的特点，方程、幂的运算等.解答本题的关键是根据点的对称性建立关于a，b的方程，解方程求出a，b的值即可.对称点坐标的记忆方法(1)关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即P(a，b)P′(a，-b)；(2)关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，即P(a，b)P′(-a，b)；(3)关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，即P(a，b)P′(-a，-b).题型四利用点的对称性作轴对称图形例6如图2所示，网格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4，-1).(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；(2)作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标.图2图3解：(1)由图2知A(1，-4)，B(5，-4)，C(4，-1)，则关于x轴对称后各点的坐标为A1(1，4)，B1(5，4)，C1(4，1)，所得△A1B1C1如图3所示.(2)关于y轴对称，A2(-1，-4)，B2(-5，-4)，C2(-4，-1)，所得△A2B2C2如图3所示.题型五与轴对称有关的探究题例7如图4所示，将边长为1的等边△OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2007次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置.试写出P1，P3，P100，P2007的坐标.图4分析：根据等边三角形的性质可得到等边△OAP的高为边长的倍，易得到P1(1，0)，P3，从P1开始，根据图形的旋转可得每三次翻转后和原来的状态一样，而100＝3×33+1，则P100的纵坐标为0，横坐标为100，2007＝3×669，则P2007的纵坐标为，横坐标＝2005+1.5＝2006.5.解：P1(1，0).∵等边△OAP的高为边长的倍，∴P3.∵从P1开始，根据图形的旋转可得每三次翻转后和原来的状态一样，∴100＝3×33+1，∴P100的纵坐标为0，横坐标为100，∴P100(100，0).∵2007＝3×669，∴P2007的纵坐标为，横坐标＝2005+1.5＝2006.5，∴P2007.点拨：本题考查了坐标与图形变换的关系,通过图形变换，利用特殊的点的坐标变换找出其中变化规律.例8如图5，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是.图5解析：当点P第3次碰到矩形的边时，P3(8，3).观察可知，经过6次反弹后动点回到出发点(0，3)，∵2014÷6＝335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，∴P2014(5，0).答案：(8，3)(5，0)拓展资源知识拓展如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心.此时，M是线段PQ的中点.图6如图6，在直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(0，0).点列P1，P2，P3…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点