2025年下学期初中探究学习数学试卷

2025年下学期初中探究学习数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.正五边形已知点P（m+2，2m-4）在x轴上，则点P的坐标是（）A.（4，0）B.（0，4）C.（-4，0）D.（0，-4）下列计算正确的是（）A.a³+a²=a⁵B.（a³）²=a⁵C.a⁶÷a²=a³D.a³·a²=a⁵某班50名学生的身高数据如下表所示：|身高（cm）|150≤x<155|155≤x<160|160≤x<165|165≤x<170|170≤x<175||----|----|----|----|----|----||人数|3|12|18|14|3|则这组数据的中位数落在（）A.155≤x<160B.160≤x<165C.165≤x<170D.170≤x<175若关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m<1B.m>1C.m≤1D.m≥1如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，则EC的长是（）A.1.5B.2C.2.5D.3已知反比例函数y=k/x的图象经过点（2，-3），则这个函数的图象一定经过点（）A.（-3，-2）B.（-2，-3）C.（-2，3）D.（3，2）一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（）A.15πcm²B.20πcm²C.25πcm²D.30πcm²如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（）A.2B.2.4C.2.5D.3已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.a>0，b>0，c>0B.a<0，b<0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b>0，c>0二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）分解因式：x³-4x=______．若式子√(x-2)在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=8，BD=10，则OA的长为______，OB的长为______．已知点A（1，y₁）、B（2，y₂）在函数y=-x²+2x+1的图象上，则y₁与y₂的大小关系是y₁______y₂（填“>”、“<”或“=”）．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A'B'C'，则点A'到AC的距离是______．三、解答题（本大题共8小题，共72分）（8分）计算：（-1）²⁰²⁵+√12-4sin60°+（π-3.14）⁰．（8分）先化简，再求值：（x-1）÷（x-2x+1/x），其中x=√2+1．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，求证：BD=CE．（8分）某校为了解学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果分为“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”、“D.不了解”四个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少名学生？（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1200名学生，请估计该校对“垃圾分类”知识“非常了解”的学生人数．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m/x的图象交于A（-2，1）、B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据图象直接写出当kx+b>m/x时，x的取值范围．（10分）某商店准备购进A、B两种商品，已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元．（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的2倍，问最多能购进多少件A商品？（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D，连接AC、BC．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若OA=2，∠D=30°，求BC的长．（12分）如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上一动点，且在直线BC上方，连接PB、PC，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析一、选择题C【解析】矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选C．A【解析】∵点P在x轴上，∴2m-4=0，解得m=2，∴m+2=4，∴点P的坐标是（4，0），故选A．D【解析】A选项，a³与a²不是同类项，不能合并；B选项，（a³）²=a⁶；C选项，a⁶÷a²=a⁴；D选项，a³·a²=a⁵，正确，故选D．B【解析】共有50名学生，中位数是第25、26名学生身高的平均数，前两组共有3+12=15人，前三组共有15+18=33人，∴第25、26名学生的身高落在160≤x<165范围内，故选B．A【解析】∵方程有两个不相等的实数根，∴△=（-2）²-4m>0，解得m<1，故选A．A【解析】∵DE∥BC，∴AD/DB=AE/EC，即2/3=1/EC，解得EC=1.5，故选A．C【解析】∵反比例函数y=k/x经过点（2，-3），∴k=2×（-3）=-6，∴反比例函数的表达式为y=-6/x．A选项，-3×（-2）=6≠-6；B选项，-2×（-3）=6≠-6；C选项，-2×3=-6；D选项，3×2=6≠-6，故选C．A【解析】圆锥的侧面积=πrl=π×3×5=15πcm²，故选A．B【解析】在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5，设点C到AB的距离为h，则S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×AB×h，即1/2×3×4=1/2×5×h，解得h=2.4，∵圆C与直线AB相切，∴r=h=2.4，故选B．D【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0；∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴-b/2a>0，又∵a<0，∴b>0；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，故选D．二、填空题x(x+2)(x-2)【解析】x³-4x=x(x²-4)=x(x+2)(x-2)．x≥2【解析】由题意得x-2≥0，解得x≥2．3/5【解析】袋子中共有5个球，其中红球有3个，∴摸到红球的概率是3/5．4，5【解析】∵平行四边形的对角线互相平分，∴OA=1/2AC=4，OB=1/2BD=5．【解析】函数y=-x²+2x+1的对称轴为直线x=-b/2a=-2/(2×(-1))=1，∵a=-1<0，∴当x>1时，y随x的增大而减小，∵1<2，∴y₁>y₂．√3+1【解析】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，∴AB=4，AC=2√3．将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A'B'C'，则A'B=AB=4，∠ABA'=60°，∴△ABA'是等边三角形，∴AA'=AB=4，∠BAA'=60°，∴∠CA'A=∠CAB+∠BAA'=30°+60°=90°，∴A'到AC的距离为AA'·sin60°=4×√3/2=2√3，又∵AC=2√3，∴点A'到AC的距离为2√3×1/2+2×1/2=√3+1．三、解答题解：原式=-1+2√3-4×√3/2+1=-1+2√3-2√3+1=0解：原式=（x-1）÷（x²-2x+1/x）=（x-1）÷（(x-1)²/x）=（x-1）×x/(x-1)²=x/(x-1)当x=√2+1时，原式=(√2+1)/(√2+1-1)=(√2+1)/√2=（2+√2）/2=1+√2/2证明：∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE．解：（1）本次调查共抽取的学生人数为：20÷40%=50（名）；（2）C等级的学生人数为：50-10-20-5=15（名），补全条形统计图略；（3）该校对“垃圾分类”知识“非常了解”的学生人数约为：1200×（10/50）=240（名）．解：（1）∵反比例函数y=m/x的图象经过点A（-2，1），∴m=-2×1=-2，∴反比例函数的表达式为y=-2/x．∵点B（1，n）在反比例函数y=-2/x的图象上，∴n=-2/1=-2，∴点B的坐标为（1，-2）．将A（-2，1）、B（1，-2）代入y=kx+b，得{-2k+b=1，k+b=-2，解得{k=-1，b=-1，∴一次函数的表达式为y=-x-1；（2）x的取值范围是x<-2或0<x<1．解：（1）设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，根据题意得{3x+2y=120，5x+4y=220，解得{x=20，y=30，答：A商品每件的进价为20元，B商品每件的进价为30元；（2）设购进A商品m件，则购进B商品（1000-20m）/30件，根据题意得m≥2×（1000-20m）/30，解得m≥40，∵m为整数，∴m的最大值为40，答：最多能购进40件A商品．（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠ACD+∠OCA=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠OAC=90°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACD=∠B；（2）解：∵OA=2，∴AB=2OA=4，OC=OA=2．∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2OC=4，∴AD=OD+OA=4+2=6，∴CD=√(OD²-OC²)=√(4²-2²)=2√3．∵∠ACD=∠B，∠D=∠D，∴△ACD∽△CBD，∴AC/CB=CD/BD=AD/CD，∴AC/CB=2√3/(OD-OB)=2√3/(4-2)=√3，设BC=x，则AC=√3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，即（√3x）²+x²=4²，解得x=2，∴BC的长为2．解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax²+bx+c，得{a-b+c=0，9a+3b+c=0，c=3，解得{a=-1，b=2，c=3，∴抛物线的表达式为y=-x²+2x+3；（2）设直线BC的表达式为y=kx+d，将B（3，0）、C（0，3）代入，得{3k+d=0，d=3，解得{k=-1，d=3，∴直线BC的