2025年下学期高中数学探索技术观试卷

2025年下学期高中数学探索技术观试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，则(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.(\varnothing)函数(f(x)=\frac{\sinx+e^x-e^{-x}}{x^2+1})在区间([-\pi,\pi])上的最大值与最小值之和为（）A.0B.1C.2D.(\pi)某科技公司开发的AI解题系统在测试中，对1000道数学题的解答正确率为98%，且每道题的解答结果相互独立。现从中随机抽取5道题，记其中解答正确的题数为(X)，则(P(X=4)=)（）A.(C_5^4(0.98)^4(0.02)^1)B.(C_5^4(0.98)^1(0.02)^4)C.((0.98)^4(0.02)^1)D.(1-P(X=5))已知向量(\vec{a}=(1,m))，(\vec{b}=(2,1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b}))，则实数(m=)（）A.-1或3B.-3或1C.-2或2D.-4或0双曲线(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的一条渐近线方程为(y=2x)，且过点((2,3))，则双曲线(C)的焦距为（）A.(2\sqrt{5})B.(2\sqrt{10})C.(\sqrt{5})D.(\sqrt{10})执行如图所示的程序框图，若输入的(x=1)，则输出的(y=)（）（注：程序框图功能为：当(x\leq0)时，(y=x^2+1)；当(x>0)时，(y=\log_2x+2)）A.1B.2C.3D.4在三棱锥(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，则三棱锥外接球的表面积为（）A.(13\pi)B.(25\pi)C.(29\pi)D.(34\pi)已知函数(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的部分图象如图所示，则(f(\frac{\pi}{6})=)（）A.(\sqrt{3})B.1C.(\frac{\sqrt{3}}{2})D.(\frac{1}{2})若(a=\log_32)，(b=\ln2)，(c=2^{0.1})，则(a,b,c)的大小关系为（）A.(a<b<c)B.(b<a<c)C.(c<a<b)D.(c<b<a)已知抛物线(y^2=4x)的焦点为(F)，过点(F)的直线交抛物线于(A,B)两点，若(|AF|=3)，则(|BF|=)（）A.(\frac{3}{2})B.2C.3D.4某学校为优化教学资源，计划在高一年级开设“数学建模”“数据分析”“人工智能”三门选修课程，要求每位学生至少选择一门，且最多选择两门，则不同的选课方案有（）A.6种B.7种C.8种D.9种已知函数(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=1)处取得极值，且其图象与直线(y=-3x+1)相切，则(a+b=)（）A.-4B.-2C.0D.2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若复数(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)为虚数单位），则(|z|=)________。已知(\tan\alpha=2)，则(\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=)________。已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，则其前(n)项和(S_n=)________。已知函数(f(x)=\begin{cases}x^2-4x+3,&x\leq2,\\log_a(x-1)+1,&x>2\end{cases})（(a>0)且(a\neq1)），若函数(f(x))的图象与直线(y=m)有三个不同的交点，则实数(a)的取值范围是________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，且满足(b\cosC+c\cosB=2a\cosA)。（1）求角(A)的大小；（2）若(a=2\sqrt{3})，(b+c=4)，求(\triangleABC)的面积。（本小题满分12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=BC=AA_1=2)，(\angleABC=90^\circ)，(D,E)分别为(AC,A_1C_1)的中点。（1）求证：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求二面角(B-A_1C-B_1)的余弦值。（本小题满分12分）某科技企业对一款新型芯片的使用寿命进行测试，随机抽取100个芯片，得到其使用寿命（单位：小时）的频率分布直方图如图所示：（注：频率分布直方图中，分组为([500,600))，([600,700))，([700,800))，([800,900))，([900,1000])，对应的频率分别为0.1，0.2，0.4，0.2，0.1）（1）求直方图中(a)的值，并估计该芯片使用寿命的平均数；（2）若该芯片的使用寿命服从正态分布(N(\mu,\sigma^2))，其中(\mu)为（1）中估计的平均数，(\sigma^2=10000)，现从该企业生产的芯片中随机抽取10个，记使用寿命在((\mu-2\sigma,\mu+2\sigma])之外的芯片个数为(Y)，求(Y)的数学期望。（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）过点(P(0,2))的直线(l)与椭圆(C)交于(M,N)两点，若以(MN)为直径的圆过原点(O)，求直线(l)的方程。（本小题满分12分）已知函数(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）讨论函数(f(x))的单调性；（2）若(f(x)\geq0)对任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求实数(a)的值；（3）在（2）的条件下，证明：(e^x-x-1\geqx^2\lnx)对任意(x>0)恒成立。（本小题满分12分）已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3^n)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）证明：数列({a_n-3^n})是等比数列；（2）求数列({a_n})的前(n)项和(S_n)；（3）若不等式((-1)^n\lambda<S_n+\frac{3^n}{2^n})对任意(n\in\mathbb{N}^*)恒成立，求实数(\lambda)的取值范围。参考答案及评分标准（仅供阅卷参考）一、选择题A2.C3.A4.B5.B6.C7.D8.A9.A10.A11.B12.A二、填空题(\frac{\sqrt{10}}{2})14.-415.(2^{n+1}-n-2)16.((1,2))三、解答题（1）由正弦定理得(\sinB\cosC+\sinC\cosB=2\sinA\cosA)，即(\sin(B+C)=2\sinA\cosA)，因为(B+C=\pi-A)，所以(\sinA=2\sinA\cosA)，又(\sinA\neq0)，故(\cosA=\frac{1}{2})，(A=\frac{\pi}{3})。（5分）（2）由余弦定理得(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA)，即(12=(b+c)^2-3bc)，代入