优化设计一轮总复习数学-第8节直线与圆锥曲线的位置关系

第8节直线与圆锥曲线的位置关系高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截弦长及中点弦问题的求解方法.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法:把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y,整理得到关于x的方程ax2+bx+c=0.方程ax2+bx+c=0的解

l与C的交点个数a=0b=0无解

b≠0有一解

a≠0Δ>0两个不相等的解

Δ=0两个相等的解

Δ<0无解

曲线C为双曲线,直线l为其渐近线

对双曲线来说,直线l可能平行于渐近线;对抛物线来说,直线l可能与抛物线的对称轴平行或重合

0

1210

(2)几何法:在同一平面直角坐标系中画出圆锥曲线和直线,利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系.微点拨1.判定直线与圆锥曲线的位置关系,一般用代数法.2.对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有无交点.2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则微点拨1.解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的规律:联立方程求交点,根与系数的关系求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘.2.当直线过抛物线的焦点时,可利用焦点弦弦长公式求弦长.微思考AB为椭圆

=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦的中点为M(x0,y0),请你推出直线AB的斜率的表达式.微点拨1.解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的规律:联立方程求交点,根与系数的关系求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘.2.当直线过抛物线的焦点时,可利用焦点弦弦长公式求弦长.微思考AB为椭圆

=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦的中点为M(x0,y0),请你推出直线AB的斜率的表达式.常用结论

自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C只有一个公共点”.(

)2.若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.(

)3.与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.(

)4.圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.(

)√×√√题组二回源教材5.(人教A版选择性必修第一册习题3.2第13题改编)过点P(2,1)的直线l与双曲线x2-=1相交于A,B两点,若P是线段AB的中点,则直线l的方程是(

)A.6x-y-11=0 B.6x+y-13=0 C.2x-3y-1=0

D.3x-2y-4=0A6.(人教A版选择性必修第一册3.1.2节例7改编)已知直线l:4x-5y+m=0和椭圆C:=1有两个公共点,则m的取值范围是

.

-25<m<25

方程①的根的判别式Δ=64m2-4×25×(m2-225)=36×(252-m2).由Δ>0,得-25<m<25.此时方程①有两个不相等的实数根,直线l与椭圆C有两个不同的公共点.7.(人教B版选择性必修第一册习题2-8B第5题改编)已知斜率为2的直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,如果线段AB的长等于5,则直线l的方程为

.

2x-y-2=0

题组三连线高考

C9.(2020·新高考Ⅰ,13)斜率为

的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=

.

解析如图所示,直线与抛物线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.2研考点精准突破考点一直线与圆锥曲线的位置关系例1(1)直线y=k(x-1)+2与抛物线x2=4y的位置关系为(

)A.相交

B.相切C.相离

D.不能确定A∴点(1,2)在抛物线x2=4y内部,∴直线y=k(x-1)+2与抛物线x2=4y相交.(2)(2024·山东滨州模拟)已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是(

)A.相交

B.相切C.相离

D.无法确定C解析

联立

消去y,整理得5x2-24x+32=0,该方程判别式Δ=(-24)2-4×5×32=576-640=-64<0,于是此方程无解,即直线和椭圆没有交点,故直线和椭圆相离.(3)(2024·四川成都玉林中学模拟)过点(0,-1)且与双曲线=1有且只有一个公共点的直线有(

)条.A.0 B.2

C.3

D.4D[对点训练1](1)直线3x-4y=0与双曲线=1的交点个数是(

)A.0 B.1

C.2

D.3A(2)直线y=kx+1与抛物线y2=4x至多有一个公共点,则k的取值范围为

.

{0}∪[1,+∞)

Δ=(2k-4)2-4k2=16-16k≤0,解得k≥1.综上所述,k的取值范围是{0}∪[1,+∞).考点二弦长问题(2)证明

由(1)得曲线为x2+y2=1(x>0).当直线MN的斜率不存在时,直线MN:x=1,不合题意;当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2).(2)由(1)知抛物线C的方程为y2=4x,F(1,0).设M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n,=(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4=(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2=-4m2n-4n+4m2n-4m2+n2-2n+1=0,∴4m2=n2-6n+1≥0,又Δ1=16m2+16n=4(n-1)2>0,考点三中点弦问题(多考向探究预测)考向1利用中点弦确定直线或曲线方程例3(1)(2024·河南新乡模拟)已知直线l交抛物线C:y2=18x于M,N两点,且线段MN的中点为(5,3),则直线l的斜率为(

)CAD考向2对称问题

[对点训练4]若双曲线x2-